10 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,tan∠BAC=$\frac{1}{2}$,BC=2,AD=1,线段AD绕点A旋转,P为CD的中点,则BP长的最大值为。

10. $2\sqrt{2}+\frac{1}{2}$ 【解析】如图,取 AC 的中点Q,连接 PQ,BQ.
∵ P 是CD 的中点,Q 是 AC 的中点,
∴ PQ 是△ACD 的中位线.
∴ PQ=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$.
∴ 当线段 AD 绕点 A 旋转时,点 P 在以点Q 为圆心,PQ 长为半径的圆上. 延长 BQ 交⊙Q 于点 P',当点 P 旋转到点 P'的位置时,BP 长的值最大.
∵ BC=2,tan∠BAC=$\frac{1}{2}$,
∴ AC=4.
∴ AQ=CQ=2.
∵ ∠ACB=90°,
∴ 由勾股定理,得 BQ=$\sqrt{BC^2+CQ^2}=2\sqrt{2}$.
∴ BP 长的最大值为$2\sqrt{2}+\frac{1}{2}$.

11 计算：
（1）$\sin 45° + \cos 30° · \tan 60° - \sqrt{(-3)^2}$；
（2）$2\sin^2 60° + 3\cos 60° - 4\tan 45° + \tan 30° · \cos 45°$。

11. (1) $\frac{\sqrt{2}-3}{2}$ (2) $\frac{\sqrt{6}-6}{6}$

12 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，根据下面的条件解直角三角形.
(1) $b=10$，$∠ B=60°$；
(2) $a+b=3+\sqrt{3}$，$∠ A=30°$.

12. (1) $∠A=30°,a=\frac{10\sqrt{3}}{3},c=\frac{20\sqrt{3}}{3}$ (2) $∠B=60°,a=\sqrt{3},b=3,c=2\sqrt{3}$

13 [2026 南京]如图,一支竹竿插在水底固定处,第一次露出水平面3尺,第二次露出水平面4尺,已知两次与水平面的夹角分别是$53°$与$62°$,求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离.
(参考数据:$\sin53°\approx\frac{4}{5},\sin62°\approx\frac{8}{9}$)

13. 如图,过点 B 作 BP//AE,过点 D 作 DH⊥BP 于点 H 交AE 于点 M,过点 C 作 CG⊥BP 于点 G,交直线 AE 于点 N,则四边形 MHGN 是矩形.
∴ MH=NG,∠EBG=∠CEN=53°,∠DAM=∠DBH=62°. 设 BD=BC=x 尺. 在 Rt△DAM 中,DM=AD·sin∠DAM=4×sin 62°≈4×$\frac{8}{9}$=$\frac{32}{9}$(尺);在Rt△DBH 中,DH=BD·sin∠DBH=x×sin 62°≈$\frac{8}{9}x$(尺);在Rt△CEN 中,CN=CE·sin∠CEN=3×sin 53°≈3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$(尺);在Rt△CBG 中,CG=BC·sin∠CBG=x×sin 53°≈$\frac{4}{5}x$(尺).
∴ $\frac{8}{9}x-\frac{32}{9}=\frac{4}{5}x-\frac{12}{5}$.
∴ x=13.
∴ $\frac{8}{9}x-\frac{32}{9}=8$. 答:竹竿的长度为 13 尺,水底固定处到水平面的距离为 8 尺.