登录
14 [2026 苏州]如图，P 是以 AB 为直径的$\odot O$外一点，C 为$\odot O$上的一点，PA 是$\odot O$的切线，$BC// OP$，D 为 OB 的中点，连接 DP 交 OC 于 E.
（1）求证：PC 是$\odot O$的切线.
（2）若$OA=2$，$PA=4$. 求：
① BC 的长；
② $\tan∠ PEC$的值.
（1）求证：PC 是$\odot O$的切线.
（2）若$OA=2$，$PA=4$. 求：
① BC 的长；
② $\tan∠ PEC$的值.
答案
14. (1)
∵ AB 为⊙O 的直径,
∴ OB=OC=OA.
∴ ∠B=∠OCB.
∵ PA 是⊙O 的切线,切点为 A,
∴ OA⊥PA.
∴ ∠OAP=90°.
∵ BC//OP,
∴ ∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB.
∴ ∠COP=∠AOP. 在△COP 和△AOP 中,$\begin{cases}OC=OA,\\∠COP=∠AOP,\\OP=OP,\end{cases}$
∴ △COP≌△AOP(SAS).
∴ ∠OCP=∠OAP=90°.
∴ OC⊥PC. 又
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ PC 是⊙O 的切线 (2) ① 如图①,连接 AC.
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ OA=2,
∴ OB=OC=OA=2.
∴ AB=OA+OB=4. 在△OAP 中,∠OAP=90°,PA=4,由勾股定理,得 OP=$\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
∴ cos∠AOP=$\frac{OA}{OP}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. 由(1),得∠B=∠AOP.
∴ cos B=cos∠AOP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$. 在△ACB 中,∠ACB=90°,
∴ cos B=$\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{4}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∴ BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$ ② 如图②,设 OC 的中点为 F,连接DF.
∵ OB=OC=OA=2,
∴ OF=CF=1.
∵ D 为 OB 的中点,F 是 OC 的中点,
∴ DF 是△OBC 的中位线.
∴ DF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,DF//BC.
∵ BC//OP,
∴ DF//OP.
∴ △DEF∽△PEO.
∴ $\frac{EF}{EO}=\frac{DF}{PO}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{5}$.
∴ OE=5EF.
∴ OF=OE+EF=6EF=1.
∴ EF=$\frac{1}{6}$.
∴ EC=EF+CF=1+$\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$.
∵ △COP≌△AOP,PA=4,
∴ PC=PA=4. 在△PCE 中,∠OCP=90°,
∴ tan∠PEC=$\frac{PC}{CE}=\frac{4}{\frac{7}{6}}=\frac{24}{7}$
15 [2026 深圳]综合与探究:若四边形的一条对角线被另一条对角线平分,且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为$k(k≥1)$,则称该四边形为$k$倍四边形.
(1) ① 如图①,在$□ ABCD$中,对角线$AC$与$BD$交于点$O$,$E$为$OB$的中点.易知四边形$AECD$为$k$倍四边形,则$k$的值为
② 如图②,在$k$倍四边形$ABCD$中,若对角线$AC$被$BD$平分,则$\dfrac{S_{△ ACD}}{S_{△ ACB}}=$
(2) 如图③,四边形$ABCD$为$k$倍四边形,其对角线$BD$平分对角线$AC$,且满足$∠ BDC=2∠ ABD$,$BD=4CD$,求$k$的值.
(3) 如图④,已知定点$A,B$,且$AB⊥ BM$,$C$为射线$BM$上一动点,$D$为平面内一点,连接$A,B,C,D$构成四边形$ABCD$.若$BD$平分$AC$,$∠ BAC=∠ DAC$,四边形$ABCD$是2倍四边形,求$\tan∠ ACD$的值.
(1) ① 如图①,在$□ ABCD$中,对角线$AC$与$BD$交于点$O$,$E$为$OB$的中点.易知四边形$AECD$为$k$倍四边形,则$k$的值为
2
;② 如图②,在$k$倍四边形$ABCD$中,若对角线$AC$被$BD$平分,则$\dfrac{S_{△ ACD}}{S_{△ ACB}}=$
k
(用含$k$的代数式表示).(2) 如图③,四边形$ABCD$为$k$倍四边形,其对角线$BD$平分对角线$AC$,且满足$∠ BDC=2∠ ABD$,$BD=4CD$,求$k$的值.
(3) 如图④,已知定点$A,B$,且$AB⊥ BM$,$C$为射线$BM$上一动点,$D$为平面内一点,连接$A,B,C,D$构成四边形$ABCD$.若$BD$平分$AC$,$∠ BAC=∠ DAC$,四边形$ABCD$是2倍四边形,求$\tan∠ ACD$的值.
答案
15. (1) ① 2 ② k (2) 如图①,过点 A 作 AG//CD 交 BD 于点 G,
∴ ∠3=∠BDC.
∵ ∠BDC=2∠ABD,
∴ ∠3=2∠2. 又
∵ ∠1+∠2=∠3,
∴ ∠1=∠2.
∴ AG=BG.
∵ 四边形ABCD 为 k 倍四边形,其对角线 BD 平分对角线 AC,
∴ AP=PC. 又
∵ ∠APG=∠CPD,
∴ △APG≌△CPD.
∴ AG=CD,GP=DP. 设 CD=a,则 AG=CD=a.
∴ BG=a.
∵ BD=4CD=4a,
∴ GD=BD−BG=4a−a=3a.
∴ GP=PD=$\frac{1}{2}$GD=$\frac{3}{2}a$,则BP=BG+GP=a+$\frac{3}{2}a$=$\frac{5}{2}a$.
∴ k=$\frac{BP}{PD}=\frac{\frac{5}{2}a}{\frac{3}{2}a}=\frac{5}{3}$ (3) 设AC,BD 交于点 E,过点 B,D 分别作 AC 的垂线,垂足分别为H,G. ① 当$\frac{BE}{DE}=2$ 时,设 BE=2a,DE=a,如图②.
∵ ∠ABC=90°,E 是 AC 的中点,
∴ BE=AE=EC=2a.
∵ ∠BEH=∠DEG,∠BHE=∠DGE=90°,
∴ △BHE∽△DGE.
∴ $\frac{BE}{DE}=\frac{BH}{DG}=\frac{EH}{EG}=2$. 设 EH=2m,则 EG=m,
∴ AH=AE+EH=2a+2m,AG=AE−GE=2a−m.
∵ ∠BAC=∠DAC,∠AGD=∠AHB=90°,
∴ △ABH∽△ADG.
∴ $\frac{AH}{AG}=\frac{BH}{DG}=2$.
∴ AH=2AG,即 2a+2m=2(2a−m),解得 m=$\frac{1}{2}a$.
∴ CG=CE+GE=2a+$\frac{1}{2}a$=$\frac{5}{2}a$. 在Rt△DEG 中,GD=$\sqrt{DE^2-GE^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$,
∴ tan∠ACD=$\frac{GD}{CG}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{5}{2}a}=\frac{\sqrt{3}}{5}$. ② 当$\frac{DE}{BE}=2$ 时,设 BE=b,DE=2b,如图③,易得 BE=AE=EC=b,△ABH∽△ADG,
∴ $\frac{AH}{AG}=\frac{BH}{DG}=\frac{1}{2}$. 易得△BHE∽△DGE,
∴ $\frac{BE}{DE}=\frac{BH}{DG}=\frac{EH}{EG}=\frac{1}{2}$. 设 EH=n,则 EG=2n,
∴ AH=AE−HE=b−n,AG=AE+EG=b+2n.
∵ 2AH=AG,
∴ 2(b−n)=b+2n,解得 n=$\frac{1}{4}b$.
∴ EG=2n=$\frac{1}{2}b$,CG=CE−EG=b−2×$\frac{1}{4}b$=$\frac{1}{2}b$. 在 Rt△DEG 中,GD=$\sqrt{DE^2-GE^2}=\sqrt{(2b)^2-(\frac{1}{2}b)^2}=\frac{\sqrt{15}}{2}b$,
∴ tan∠ACD=$\frac{GD}{CG}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}b}{\frac{1}{2}b}=\sqrt{15}$. 综上所述,tan∠ACD 的值为$\frac{\sqrt{3}}{5}$ 或$\sqrt{15}$
