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1. 一次函数的解析式为
2. 二次函数的定义：
形如
1. 一次函数的解析式为
y=kx+b（k≠0，k、b为常数）
.2. 二次函数的定义：
形如
y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）
的函数，叫作二次函数. 其中x是自变量
，a是二次项系数
，b是一次项系数
，c是常数项
.答案
1. y=kx+b（k≠0，k、b为常数）
2. 形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数. 其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
2. 形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数. 其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
解析
【分析】
本题考查一次函数与二次函数的基础定义，属于识记类题目。解题时需回忆两类函数的标准形式及各部分的名称规定：①求解一次函数解析式时，需注意一次项系数k不能为0，否则函数不含一次项，不属于一次函数；②求解二次函数相关填空时，需注意二次项系数a不能为0，否则函数最高次低于2次，不属于二次函数，再对应填写x、a、b、c的身份即可。
【解析】
1. 根据一次函数的定义，一次函数的一般解析式为$ y=kx+b $，其中k、b为常数，且一次项系数不为0，即$ k ≠ 0 $。
2. 根据二次函数的定义，形如$ y=ax^2+bx+c $（其中a、b、c是常数，且二次项系数不为0，即$ a ≠ 0 $）的函数叫做二次函数。在该式中，x是主动变化的量，即自变量；a是$ x^2 $项的系数，即二次项系数；b是x项的系数，即一次项系数；c是不含未知数的常数，即常数项。
【答案】
1. $ y=kx+b $（$ k≠0 $，k、b为常数）
2. $ y=ax²+bx+c $（a,b,c是常数，$ a≠0 $）；自变量；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
一次函数的概念；二次函数的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心是考察对一次、二次函数基本定义的掌握程度，相关概念是后续学习函数图象、性质及应用的基础，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查一次函数与二次函数的基础定义，属于识记类题目。解题时需回忆两类函数的标准形式及各部分的名称规定：①求解一次函数解析式时，需注意一次项系数k不能为0，否则函数不含一次项，不属于一次函数；②求解二次函数相关填空时，需注意二次项系数a不能为0，否则函数最高次低于2次，不属于二次函数，再对应填写x、a、b、c的身份即可。
【解析】
1. 根据一次函数的定义，一次函数的一般解析式为$ y=kx+b $，其中k、b为常数，且一次项系数不为0，即$ k ≠ 0 $。
2. 根据二次函数的定义，形如$ y=ax^2+bx+c $（其中a、b、c是常数，且二次项系数不为0，即$ a ≠ 0 $）的函数叫做二次函数。在该式中，x是主动变化的量，即自变量；a是$ x^2 $项的系数，即二次项系数；b是x项的系数，即一次项系数；c是不含未知数的常数，即常数项。
【答案】
1. $ y=kx+b $（$ k≠0 $，k、b为常数）
2. $ y=ax²+bx+c $（a,b,c是常数，$ a≠0 $）；自变量；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
一次函数的概念；二次函数的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心是考察对一次、二次函数基本定义的掌握程度，相关概念是后续学习函数图象、性质及应用的基础，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
3. 你能举出几个二次函数的例子吗？
合作学习
自学教科书第30页问题1和问题2，思考并回答下列问题：
1. 函数用来表示某些问题中变量之间的关系. 书中函数①②③有什么共同点？
2. 二次函数的定义：
(1)一般形式：
思考：二次项的系数a为什么不等于0？
b,c可以为0吗？为什么？
(2)自变量的取值范围：x取
注意：由实际问题抽象出的二次函数，其自变量的取值范围，应使实际问题有意义。
合作学习
自学教科书第30页问题1和问题2，思考并回答下列问题：
1. 函数用来表示某些问题中变量之间的关系. 书中函数①②③有什么共同点？
2. 二次函数的定义：
(1)一般形式：
y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）
.思考：二次项的系数a为什么不等于0？
b,c可以为0吗？为什么？
(2)自变量的取值范围：x取
全体实数
.注意：由实际问题抽象出的二次函数，其自变量的取值范围，应使实际问题有意义。
答案
3. 示例：y=2x²，y=x²+3，y=-x²+2x-1等，合理即可
1. 三个函数的自变量最高次数都是2，各项都是整式，二次项系数不为0
2. (1) 一般形式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）；若a=0，解析式就不含二次项，不再是二次函数，变为一次函数或常数函数；b、c可以为0，此时函数仍满足二次项系数不为0、自变量最高次数为2的要求，属于二次函数的特殊形式，比如y=ax²、y=ax²+bx都是二次函数
(2) 全体实数
1. 三个函数的自变量最高次数都是2，各项都是整式，二次项系数不为0
2. (1) 一般形式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）；若a=0，解析式就不含二次项，不再是二次函数，变为一次函数或常数函数；b、c可以为0，此时函数仍满足二次项系数不为0、自变量最高次数为2的要求，属于二次函数的特殊形式，比如y=ax²、y=ax²+bx都是二次函数
(2) 全体实数
解析
【分析】
解答本题需围绕二次函数的核心特征逐步思考：
1. 举二次函数例子时，只要满足“表达式为整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0”的要求即可；
2. 分析三个函数的共同点时，从表达式类型、自变量最高次数、二次项系数三个维度对比总结；
3. 记忆二次函数一般形式时，抓住“二次”的核心：必须存在二次项，因此二次项系数a不能为0，若a=0则不存在二次项，不再是二次函数；b、c是一次项和常数项，不影响二次项的存在，因此可以为0；
4. 无实际背景限制的二次函数，自变量取任意实数都能使表达式有意义，因此取值范围是全体实数，有实际背景的需结合实际限制判断。
【解析】
1. 举二次函数例子：只要符合二次函数定义即可，例如y=2x²，y=x²+3，y=-x²+2x-1等；
2. 书中三个函数的共同点：均为整式函数，自变量的最高次数都是2，且二次项系数不为0；
3. 二次函数一般形式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）；若a=0，解析式不含二次项，不再是二次函数，会变为一次函数或常数函数，因此a不能为0；b、c可以为0，此时仍满足二次项系数不为0、自变量最高次数为2的要求，属于二次函数的特殊形式，比如y=ax²、y=ax²+bx都属于二次函数；
4. 无实际背景限制的二次函数，自变量x的取值范围是全体实数，有实际背景的需使实际问题有意义。
【答案】
3. 示例：y=2x²，y=x²+3，y=-x²+2x-1等，合理即可
1. 三个函数的自变量最高次数都是2，各项都是整式，二次项系数不为0
2. (1) 一般形式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）；若a=0，解析式就不含二次项，不再是二次函数，变为一次函数或常数函数；b、c可以为0，此时函数仍满足二次项系数不为0、自变量最高次数为2的要求，属于二次函数的特殊形式，比如y=ax²、y=ax²+bx都是二次函数
(2) 全体实数
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的一般形式
3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数的入门基础题，围绕概念核心设置问题，帮助学生明确二次函数的本质特征，掌握“二次项系数不为0、自变量最高次数为2”这一判断关键，能为后续二次函数的图像、性质及应用学习打下坚实基础。
【难度系数】
0.9
解答本题需围绕二次函数的核心特征逐步思考：
1. 举二次函数例子时，只要满足“表达式为整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0”的要求即可；
2. 分析三个函数的共同点时，从表达式类型、自变量最高次数、二次项系数三个维度对比总结；
3. 记忆二次函数一般形式时，抓住“二次”的核心：必须存在二次项，因此二次项系数a不能为0，若a=0则不存在二次项，不再是二次函数；b、c是一次项和常数项，不影响二次项的存在，因此可以为0；
4. 无实际背景限制的二次函数，自变量取任意实数都能使表达式有意义，因此取值范围是全体实数，有实际背景的需结合实际限制判断。
【解析】
1. 举二次函数例子：只要符合二次函数定义即可，例如y=2x²，y=x²+3，y=-x²+2x-1等；
2. 书中三个函数的共同点：均为整式函数，自变量的最高次数都是2，且二次项系数不为0；
3. 二次函数一般形式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）；若a=0，解析式不含二次项，不再是二次函数，会变为一次函数或常数函数，因此a不能为0；b、c可以为0，此时仍满足二次项系数不为0、自变量最高次数为2的要求，属于二次函数的特殊形式，比如y=ax²、y=ax²+bx都属于二次函数；
4. 无实际背景限制的二次函数，自变量x的取值范围是全体实数，有实际背景的需使实际问题有意义。
【答案】
3. 示例：y=2x²，y=x²+3，y=-x²+2x-1等，合理即可
1. 三个函数的自变量最高次数都是2，各项都是整式，二次项系数不为0
2. (1) 一般形式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）；若a=0，解析式就不含二次项，不再是二次函数，变为一次函数或常数函数；b、c可以为0，此时函数仍满足二次项系数不为0、自变量最高次数为2的要求，属于二次函数的特殊形式，比如y=ax²、y=ax²+bx都是二次函数
(2) 全体实数
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的一般形式
3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数的入门基础题，围绕概念核心设置问题，帮助学生明确二次函数的本质特征，掌握“二次项系数不为0、自变量最高次数为2”这一判断关键，能为后续二次函数的图像、性质及应用学习打下坚实基础。
【难度系数】
0.9
3. 下列函数解析式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各个对应项的系数.
(1)$y=1-3x^2$;
(2)$y=3x^2+2x$;
(3)$y=x(x-5)+2$;
(4)$y=3x^3+2x$;
(5)$y=x+\frac{1}{x}$;
(6)$y=x^2 -x(1+x)$.
【归纳总结】判定二次函数需三个条件:
①各项都是整式;②$x$的最高次数是2;③二次项系数$a≠0$.
(1)$y=1-3x^2$;
(2)$y=3x^2+2x$;
(3)$y=x(x-5)+2$;
(4)$y=3x^3+2x$;
(5)$y=x+\frac{1}{x}$;
(6)$y=x^2 -x(1+x)$.
【归纳总结】判定二次函数需三个条件:
①各项都是整式;②$x$的最高次数是2;③二次项系数$a≠0$.
答案
(1) 是二次函数，二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1
(2) 是二次函数，二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为0
(3) 整理得y=x²-5x+2，是二次函数，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为2
(4) 不是二次函数，x的最高次数是3
(5) 不是二次函数，含有分式项，不是整式
(6) 整理得y=-x，是一次函数，不是二次函数
(2) 是二次函数，二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为0
(3) 整理得y=x²-5x+2，是二次函数，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为2
(4) 不是二次函数，x的最高次数是3
(5) 不是二次函数，含有分式项，不是整式
(6) 整理得y=-x，是一次函数，不是二次函数
解析
【分析】
解题时需依据二次函数的三个判定条件逐步判断：①先将每个函数解析式去括号、合并同类项，化简为最简形式；②判断化简后等号右侧是否为整式，若不是整式则直接判定不是二次函数；③若为整式，再看自变量x的最高次数是否为2，最高次数不是2则不是二次函数；④若最高次数为2，最后检查二次项系数是否不为0，满足所有条件即为二次函数。判定为二次函数的，再对应提取二次项系数、一次项系数和常数项，缺失的项对应的系数为0。
【解析】
(1) $y=1-3x^2$ 已是最简整式形式，x的最高次数为2，二次项系数$-3≠0$，符合二次函数定义，二次项系数为-3，无一次项故一次项系数为0，常数项为1。
(2) $y=3x^2+2x$ 是最简整式形式，x的最高次数为2，二次项系数$3≠0$，符合二次函数定义，二次项系数为3，一次项系数为2，无常数项故常数项为0。
(3) 先化简解析式：$y=x(x-5)+2=x^2-5x+2$，化简后为整式，x的最高次数为2，二次项系数$1≠0$，符合二次函数定义，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为2。
(4) $y=3x^3+2x$ 是整式，但x的最高次数为3，不符合最高次数为2的要求，不是二次函数。
(5) $y=x+\frac{1}{x}$ 中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式，不符合要求，不是二次函数。
(6) 先化简解析式：$y=x^2 -x(1+x)=x^2 -x -x^2=-x$，化简后x的最高次数为1，无二次项，不是二次函数。
【答案】
(1) 是二次函数，二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1
(2) 是二次函数，二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为0
(3) 整理得y=x²-5x+2，是二次函数，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为2
(4) 不是二次函数，x的最高次数是3
(5) 不是二次函数，含有分式项，不是整式
(6) 整理得y=-x，是一次函数，不是二次函数
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 整式的判定 3. 整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，解题核心是牢记二次函数的三个判定条件，特别注意要先将解析式化简后再判断，避免仅凭原始形式有二次项就误判为二次函数，同时要注意二次函数中缺失的项对应的系数为0。
【难度系数】
0.7
解题时需依据二次函数的三个判定条件逐步判断：①先将每个函数解析式去括号、合并同类项，化简为最简形式；②判断化简后等号右侧是否为整式，若不是整式则直接判定不是二次函数；③若为整式，再看自变量x的最高次数是否为2，最高次数不是2则不是二次函数；④若最高次数为2，最后检查二次项系数是否不为0，满足所有条件即为二次函数。判定为二次函数的，再对应提取二次项系数、一次项系数和常数项，缺失的项对应的系数为0。
【解析】
(1) $y=1-3x^2$ 已是最简整式形式，x的最高次数为2，二次项系数$-3≠0$，符合二次函数定义，二次项系数为-3，无一次项故一次项系数为0，常数项为1。
(2) $y=3x^2+2x$ 是最简整式形式，x的最高次数为2，二次项系数$3≠0$，符合二次函数定义，二次项系数为3，一次项系数为2，无常数项故常数项为0。
(3) 先化简解析式：$y=x(x-5)+2=x^2-5x+2$，化简后为整式，x的最高次数为2，二次项系数$1≠0$，符合二次函数定义，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为2。
(4) $y=3x^3+2x$ 是整式，但x的最高次数为3，不符合最高次数为2的要求，不是二次函数。
(5) $y=x+\frac{1}{x}$ 中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式，不符合要求，不是二次函数。
(6) 先化简解析式：$y=x^2 -x(1+x)=x^2 -x -x^2=-x$，化简后x的最高次数为1，无二次项，不是二次函数。
【答案】
(1) 是二次函数，二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1
(2) 是二次函数，二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为0
(3) 整理得y=x²-5x+2，是二次函数，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为2
(4) 不是二次函数，x的最高次数是3
(5) 不是二次函数，含有分式项，不是整式
(6) 整理得y=-x，是一次函数，不是二次函数
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 整式的判定 3. 整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，解题核心是牢记二次函数的三个判定条件，特别注意要先将解析式化简后再判断，避免仅凭原始形式有二次项就误判为二次函数，同时要注意二次函数中缺失的项对应的系数为0。
【难度系数】
0.7
例1 已知关于$x$的函数$y=(m-2)x^2 + mx +1$是二次函数，求$m$的值.
变式 已知函数$y=(m-2)x^{m^2 - m} + mx +1$.
(1)当$m$取何值时，$y$是$x$的二次函数？
(2)当$m$取何值时，$y$是$x$的一次函数？
变式 已知函数$y=(m-2)x^{m^2 - m} + mx +1$.
(1)当$m$取何值时，$y$是$x$的二次函数？
(2)当$m$取何值时，$y$是$x$的一次函数？
答案
例1 由二次函数定义得m-2≠0，解得m≠2
变式 (1) 要使y是x的二次函数，需满足m²-m=2且m-2≠0，解得m=-1
(2) 要使y是x的一次函数，分情况讨论：① m²-m=1且m-2+m≠0，解得m=(1±√5)/2；② m-2=0且m≠0，解得m=2
变式 (1) 要使y是x的二次函数，需满足m²-m=2且m-2≠0，解得m=-1
(2) 要使y是x的一次函数，分情况讨论：① m²-m=1且m-2+m≠0，解得m=(1±√5)/2；② m-2=0且m≠0，解得m=2
解析
【分析】
解决本题需紧扣一次函数、二次函数的定义分析：
1. 二次函数需满足三个条件：自变量的最高次数为2、二次项系数不为0、函数表达式为整式；
2. 一次函数需满足：自变量的最高次数为1、一次项系数不为0、函数表达式为整式。
例1中函数最高次项已为$x^2$，只需保证二次项系数不为0即可；变式(1)需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0两个条件联立求解；变式(2)需分两种情况讨论：一是最高次项次数为1且一次项系数不为0，二是二次项系数为0且剩余项为一次项，分别求解即可。
【解析】
例1
根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
变式
(1) 若$y$是$x$的二次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 - m = 2\\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
结合$m≠2$，舍去$m=2$，得$m=-1$。
(2) 若$y$是$x$的一次函数，分两种情况讨论：
① 当$m^2 - m = 1$且一次项系数$(m-2)+m≠0$时：
解方程$m^2 - m -1=0$，由求根公式得$m=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，代入验证一次项系数均不为0，符合要求；
② 当$m-2=0$且$m≠0$时：
解得$m=2$，此时函数化简为$y=2x+1$，属于一次函数，符合要求。
【答案】
例1：$m≠2$
变式 (1) $m=-1$；(2) $m=2$或$m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
二次函数的定义，一次函数的定义，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查对一次、二次函数概念的理解，解题时要注意最高次项系数不为0的隐含条件，求解一次函数参数时需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题需紧扣一次函数、二次函数的定义分析：
1. 二次函数需满足三个条件：自变量的最高次数为2、二次项系数不为0、函数表达式为整式；
2. 一次函数需满足：自变量的最高次数为1、一次项系数不为0、函数表达式为整式。
例1中函数最高次项已为$x^2$，只需保证二次项系数不为0即可；变式(1)需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0两个条件联立求解；变式(2)需分两种情况讨论：一是最高次项次数为1且一次项系数不为0，二是二次项系数为0且剩余项为一次项，分别求解即可。
【解析】
例1
根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
变式
(1) 若$y$是$x$的二次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 - m = 2\\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
结合$m≠2$，舍去$m=2$，得$m=-1$。
(2) 若$y$是$x$的一次函数，分两种情况讨论：
① 当$m^2 - m = 1$且一次项系数$(m-2)+m≠0$时：
解方程$m^2 - m -1=0$，由求根公式得$m=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，代入验证一次项系数均不为0，符合要求；
② 当$m-2=0$且$m≠0$时：
解得$m=2$，此时函数化简为$y=2x+1$，属于一次函数，符合要求。
【答案】
例1：$m≠2$
变式 (1) $m=-1$；(2) $m=2$或$m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
二次函数的定义，一次函数的定义，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查对一次、二次函数概念的理解，解题时要注意最高次项系数不为0的隐含条件，求解一次函数参数时需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
