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3. 某校科技小组在野外考察的途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道。该小组利用学习函数的经验，准备探究木板对地面的压强与木板的底面积之间的关系。已知当压力不变时，木板对地面的压强$ p $（单位：Pa）与木板的底面积$ S $（单位：$ m^2 $）的对应值如下表：
（1）求$ p $与$ S $之间满足的函数解析式。
（2）在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象。
（3）结合图形，如果要求压强不超过4000 Pa，那么木板的底面积至少要多大？
（1）求$ p $与$ S $之间满足的函数解析式。
（2）在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象。
（3）结合图形，如果要求压强不超过4000 Pa，那么木板的底面积至少要多大？
答案
1. $\because 1 × 600 = 1.5 × 400 = 2 × 300 = 600,\therefore p = \dfrac{600}{S}$ 2. 图略 3. 木板的底面积至少要$0.15\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用类问题，解题思路如下：
1. 第（1）问：结合压强公式$ p=\frac{F}{S} $，压力不变时p与S成反比例关系，先验证表格中p和S的乘积为定值，再代入反比例函数一般形式求出解析式即可；
2. 第（2）问：按照描点法画函数图象的步骤操作即可，注意底面积S为正数，因此图象仅出现在第一象限；
3. 第（3）问：将压强不超过4000Pa转化为不等式$ p≤4000 $，代入解析式，结合S＞0解不等式即可求出底面积的最小值。
【解析】
（1）已知压力不变时压强p与底面积S成反比例关系，设函数解析式为$ p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0) $。
根据表格数据计算：$ 1×600=600 $，$ 1.5×400=600 $，$ 2×300=600 $，可得定值$ k=600 $，因此p与S的函数解析式为$ p=\frac{600}{S}(S＞0) $。
（2）画图步骤：①建立平面直角坐标系，横轴为S（单位：$ m^2 $），纵轴为p（单位：Pa）；②描出表格中各对应坐标点；③用光滑曲线连接第一象限内的各点，即得到该函数的图象。
（3）由题意得$ p≤4000 $，将$ p=\frac{600}{S} $代入不等式得：
$ \frac{600}{S}≤4000 $
因为$ S＞0 $，不等式两边同时乘S，不等号方向不变，得$ 600≤4000S $，解得$ S≥\frac{600}{4000}=0.15 $。
【答案】
（1）$ p=\dfrac{600}{S} $（$ S＞0 $）
（2）图略
（3）木板的底面积至少要$ 0.15\ \mathrm{m}^2 $
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数图象画法；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数相关知识，核心是明确压力不变时压强与底面积的反比例关系，既考查了待定系数法求解析式、描点画图的基础能力，也考查了用函数性质解决实际问题的应用能力，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用类问题，解题思路如下：
1. 第（1）问：结合压强公式$ p=\frac{F}{S} $，压力不变时p与S成反比例关系，先验证表格中p和S的乘积为定值，再代入反比例函数一般形式求出解析式即可；
2. 第（2）问：按照描点法画函数图象的步骤操作即可，注意底面积S为正数，因此图象仅出现在第一象限；
3. 第（3）问：将压强不超过4000Pa转化为不等式$ p≤4000 $，代入解析式，结合S＞0解不等式即可求出底面积的最小值。
【解析】
（1）已知压力不变时压强p与底面积S成反比例关系，设函数解析式为$ p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0) $。
根据表格数据计算：$ 1×600=600 $，$ 1.5×400=600 $，$ 2×300=600 $，可得定值$ k=600 $，因此p与S的函数解析式为$ p=\frac{600}{S}(S＞0) $。
（2）画图步骤：①建立平面直角坐标系，横轴为S（单位：$ m^2 $），纵轴为p（单位：Pa）；②描出表格中各对应坐标点；③用光滑曲线连接第一象限内的各点，即得到该函数的图象。
（3）由题意得$ p≤4000 $，将$ p=\frac{600}{S} $代入不等式得：
$ \frac{600}{S}≤4000 $
因为$ S＞0 $，不等式两边同时乘S，不等号方向不变，得$ 600≤4000S $，解得$ S≥\frac{600}{4000}=0.15 $。
【答案】
（1）$ p=\dfrac{600}{S} $（$ S＞0 $）
（2）图略
（3）木板的底面积至少要$ 0.15\ \mathrm{m}^2 $
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数图象画法；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数相关知识，核心是明确压力不变时压强与底面积的反比例关系，既考查了待定系数法求解析式、描点画图的基础能力，也考查了用函数性质解决实际问题的应用能力，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
4. 将油箱注满k升油后,轿车可行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系$s = \frac{k}{a}$(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为0.1升/千米的耗油速度行驶,可行驶700千米.
(1) 求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式.
(2) 当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?
(1) 求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式.
(2) 当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?
答案
1. 由题意得$a = 0.1$时,$S = 700$,代入反比例函数关系$S = \dfrac{k}{a}$,将$k = s,a = 70. \therefore S = \dfrac{70}{a}$ 2. 该轿车可以行驶875千米
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 已知s与a符合反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$，要确定函数解析式，只需利用题目给出的a、s的对应值代入关系式，求出未知常数k即可；
(2) 第二问属于已知自变量求函数值的问题，直接将给定的a值代入第一问求出的解析式中，计算就能得到对应的行驶路程。
【解析】
(1) 由题意得：当平均耗油量$a=0.1$升/千米时，可行驶路程$s=700$千米，将其代入反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$中，可得：
$700=\frac{k}{0.1}$
解得$k=700×0.1=70$
因此s与a的函数解析式为$s=\frac{70}{a}$。
(2) 将平均耗油量$a=0.08$升/千米代入解析式$s=\frac{70}{a}$中，计算得：
$s=\frac{70}{0.08}=875$（千米）
【答案】
(1) $s=\dfrac{70}{a}$；(2) 875千米
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数实际应用
【点评】
本题为基础应用题，核心考查待定系数法的掌握情况和基础计算能力，解题时注意数值代入准确，避免计算错误即可。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 已知s与a符合反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$，要确定函数解析式，只需利用题目给出的a、s的对应值代入关系式，求出未知常数k即可；
(2) 第二问属于已知自变量求函数值的问题，直接将给定的a值代入第一问求出的解析式中，计算就能得到对应的行驶路程。
【解析】
(1) 由题意得：当平均耗油量$a=0.1$升/千米时，可行驶路程$s=700$千米，将其代入反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$中，可得：
$700=\frac{k}{0.1}$
解得$k=700×0.1=70$
因此s与a的函数解析式为$s=\frac{70}{a}$。
(2) 将平均耗油量$a=0.08$升/千米代入解析式$s=\frac{70}{a}$中，计算得：
$s=\frac{70}{0.08}=875$（千米）
【答案】
(1) $s=\dfrac{70}{a}$；(2) 875千米
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数实际应用
【点评】
本题为基础应用题，核心考查待定系数法的掌握情况和基础计算能力，解题时注意数值代入准确，避免计算错误即可。
【难度系数】
0.9
5. 如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高$y$(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)$x$(单位:cm)的反比例函数,当$x=6$时,$y=2$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
答案
解：
(1) 由题意，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=6$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{6}$
解得$k=12$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$3=\frac{12}{x}$
解得$x=4$。
答：小孔到蜡烛的距离为4 cm。
(1) 由题意，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=6$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{6}$
解得$k=12$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$3=\frac{12}{x}$
解得$x=4$。
答：小孔到蜡烛的距离为4 cm。
解析
【分析】
（1）题目明确说明y是x的反比例函数，我们可先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=6、y=2$代入解析式，求出待定系数$k$的值，即可得到函数解析式，注意x代表距离，取值范围为正数。
（2）第二问已知像高y的数值，只需将$y=3$代入第一问求出的函数解析式，解方程即可得到对应的x值，也就是小孔到蜡烛的距离。
【解析】
(1) 由题意，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=6$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{6}$
解得$k=12$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$3=\frac{12}{x}$
解得$x=4$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}(x＞0)$
(2) 4 cm
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合小孔成像的跨学科背景，考查反比例函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，再代入对应值求解即可，注重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.8
（1）题目明确说明y是x的反比例函数，我们可先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=6、y=2$代入解析式，求出待定系数$k$的值，即可得到函数解析式，注意x代表距离，取值范围为正数。
（2）第二问已知像高y的数值，只需将$y=3$代入第一问求出的函数解析式，解方程即可得到对应的x值，也就是小孔到蜡烛的距离。
【解析】
(1) 由题意，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=6$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{6}$
解得$k=12$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$3=\frac{12}{x}$
解得$x=4$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}(x＞0)$
(2) 4 cm
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合小孔成像的跨学科背景，考查反比例函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，再代入对应值求解即可，注重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.8
