6.已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 -6x+3=0$.
(1)若方程的一个根为$x=-1$,求$a$的值.
(2)若方程有实数根,求满足条件的正整数$a$的值.

解: (1) $a=-8$。
(2)满足条件的正整数$a$的值为4,3,2。

7.已知关于$x$的一元二次方程$(c+a)x^2 - 2bx + (c - a)=0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
(1)如果$x=1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(2)如果$△ ABC$是直角三角形，$c$为斜边，证明：一元二次方程$(c+a)x^2 -2bx + (c -a)=0$有两个相等的实数根.

(1)解:$△ ABC$ 是等腰三角形.理由如下：
将 $x=1$ 代入方程,得 $c+a-2b+c-a=0$,
整理并化简,得 $b=c$。
所以$△ ABC$ 是等腰三角形。
(2)证明: 由题意可知 $\Delta=(-2b)^2-4(c+a)(c-a)=4b^2-4(c^2-a^2)=4(a^2+b^2-c^2)$。
因为$△ ABC$ 是直角三角形,$c$ 为斜边，
所以 $a^2+b^2=c^2$，
所以 $\Delta=0$，
所以一元二次方程$(c+a)x^2-2bx+(c-a)=0$有两个相等的实数根。