1.举反例
一般地,对于一个命题,如果能举出一个例子,使之符合命题,但不满足命题,就可判断该命题为假命题,这种做法称为举反例.
2.证明
判断一个命题是真命题,通常需从命题的条件出发,运用、以及已经判断其成立的真命题,进行逻辑推理、计算,得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明.
3.反证法
定义:当直接从条件出发证明一个命题比较困难时,可以先假设命题,从这样的假设出发,经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾,得出假设不成立,从而判断所求证命题正确.这种证明方法叫作反证法.
基本步骤:(1)假设命题不成立;(2)导出矛盾;(3)肯定结论.

1. 条件 结论
2. 定义 基本事实
3. 不成立

【分析】
本题考查证明相关的基础概念识记，解题时结合课本对应定义内容逐一填空即可：1.回忆举反例的要求，反例需要满足命题给出的前提条件，但无法得到命题的结论，可确定第一题的填空内容；2.回忆证明的推理依据，证明过程中可使用的依据包含定义、基本事实及已被证实的真命题，可确定第二题的填空内容；3.回忆反证法的核心步骤，反证法第一步是先假设待证命题不成立，再推导矛盾验证原命题正确，可确定第三题的填空内容。
【解析】
1. 按照举反例的定义：判断一个命题为假命题时，所举的例子需要符合命题的条件，但不满足命题的结论，因此两个空依次填条件、结论。
2. 按照证明的定义：判断一个命题是真命题时，需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断成立的真命题进行逻辑推理，因此两个空依次填定义、基本事实。
3. 按照反证法的定义：反证法首先要假设命题不成立，再通过推理导出矛盾，从而证实原命题正确，因此该空填不成立。
【答案】
1. 条件 结论
2. 定义 基本事实
3. 不成立
【知识点】
举反例的定义；证明的概念；反证法的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，内容均来自核心基础定义，难度较低，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【例1】用一组$a,b,c$的值说明命题“若$ac=bc$，则$a=b$”是假命题，所举反例可以是（）

A.$a=2,b=2,c=1$
B.$a=0,b=2,c=1$
C.$a=2,b=3,c=0$
D.$a=2,b=2,c=0$

C

【分析】
要说明“若ac=bc，则a=b”是假命题，所举反例需要同时满足两个条件：①符合命题的题设，即ac=bc成立；②不符合命题的结论，即a≠b。解题时可先明确这两个判定标准，再逐一验证每个选项是否符合要求即可。
【解析】
我们按照反例的两个判定标准逐一验证选项：
选项A：a=2，b=2，c=1，ac=2×1=2，bc=2×1=2，满足ac=bc，但a=b=2，符合命题结论，不是反例，排除；
选项B：a=0，b=2，c=1，ac=0×1=0，bc=2×1=2，ac≠bc，不满足命题题设，不是反例，排除；
选项C：a=2，b=3，c=0，ac=2×0=0，bc=3×0=0，满足ac=bc，且a=2≠3=b，不符合命题结论，是符合要求的反例；
选项D：a=2，b=2，c=0，ac=2×0=0，bc=2×0=0，满足ac=bc，但a=b=2，符合命题结论，不是反例，排除。
【答案】
C
【知识点】
举反例判断假命题；等式的基本性质
【点评】
本题是举反例判断假命题的基础题型，解题关键是牢记反例需要同时满足“符合命题题设、不符合命题结论”两个特征，本题也能帮助大家加深对等式性质中“等式两边同时除以同一个数时，该数不能为0”的理解。
【难度系数】
0.8

【例2】(沧州模拟)聪聪和妍妍都用长为$4l$ cm的铁丝折四边形.聪聪折的是正方形,其面积记为$S_1$ cm²;妍妍折的是长、宽不相等的长方形,其一边长为$a$ cm,其面积记为$S_2$ cm².
(1)请用含$l$和$a$的式子分别表示$S_1$,$S_2$;
(2)当$l=3$,$a=4$时,请比较$S_1$,$S_2$的大小;
(3)请先猜想$S_1$,$S_2$的大小关系,再用求差法证明你的猜想.
易错提醒 证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理、已经学过的定理等.

解:(1)$S_1=(\frac{4l}{4})^2=l^2$,$S_2=a(\frac{4l}{2}-a)=2al-a^2$.
(2)当$l=3,a=4$时,
$S_1=3^2=9$,$S_2=2×4×3-4^2=8$.
因为$9＞8$,
所以当$l=3,a=4$时,$S_1＞S_2$.
(3)猜想:$S_1＞S_2$.
证明:因为$S_1-S_2=l^2-(2al-a^2)=l^2-2al+a^2=(l-a)^2$,
又因为妍妍折的是长、宽不相等的长方形,其一条边的长为$a$ cm,
所以$S_1-S_2=(l-a)^2＞0$,
即$S_1＞S_2$.

【分析】
（1）先根据正方形周长公式计算出边长，再结合正方形面积公式即可推导$S_1$的表达式；长方形周长等于2倍的长与宽之和，已知周长和一边长$a$，先求出邻边长度，再根据长方形面积公式推导$S_2$的表达式。
（2）将$l=3$、$a=4$分别代入（1）得到的两个代数式，计算出$S_1$、$S_2$的具体数值后直接比较大小即可。
（3）可猜想周长相等的正方形面积大于长宽不等的长方形面积，利用求差法计算$S_1-S_2$，将差因式分解为完全平方式，再结合长方形长宽不等的条件判断差的正负，即可证明猜想。
【解析】
(1) 正方形周长为$4l$ cm，因此边长为$\frac{4l}{4}=l$ cm，故$S_1 = l^2$；
长方形周长为$4l$ cm，一边长为$a$ cm，因此邻边长为$\frac{4l}{2}-a=2l-a$ cm，故$S_2 = a(2l-a)=2al-a^2$。
(2) 当$l=3$，$a=4$时：
$S_1=3^2=9$，
$S_2=2×4×3 - 4^2=24-16=8$，
因为$9＞8$，所以$S_1＞S_2$。
(3) 猜想：$S_1＞S_2$。
证明：$S_1 - S_2 = l^2-(2al-a^2)=l^2-2al+a^2=(l-a)^2$，
因为妍妍折的是长、宽不相等的长方形，所以$a≠ 2l-a$，即$a≠ l$，因此$(l-a)^2＞0$，
即$S_1-S_2＞0$，故$S_1＞S_2$。
【答案】
(1) $S_1=l^2$，$S_2=2al-a^2$；
(2) $S_1＞S_2$；
(3) 猜想$S_1＞S_2$，证明如上。
【知识点】
列代数式；代数式求值；作差法比较大小
【点评】
本题结合四边形周长、面积的计算，考查了代数式相关知识和作差法的实际应用，解题时要注意利用“长方形长宽不等”的条件作为判断差正负的依据，同时可掌握规律：周长相等的矩形中，正方形的面积最大。
【难度系数】
0.7

【变式】命题“若$n$是自然数，则代数式$(3n+1)·(3n+2)+1$的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明。

解:是真命题,证明如下:
$(3n+1)(3n+2)+1=9n^2+9n+2+1=9n^2+9n+3=3(3n^2+3n+1)$,
由$n$是自然数可知,$3n^2+3n+1$是自然数,
则$3(3n^2+3n+1)$是3的倍数,
即代数式$(3n+1)(3n+2)+1$的值是3的倍数,
所以是真命题.

【分析】
要判断该命题的真假，可先对代数式进行化简：第一步利用多项式乘多项式的法则展开$(3n+1)(3n+2)$，第二步合并同类项，第三步观察化简结果是否可以提取公因数3，若能提取出3，再结合n是自然数的条件，判断剩余因式是否为自然数，即可确定原式是否为3的倍数，进而判断命题真假。
【解析】
该命题是真命题，证明如下：
先展开并化简代数式：
$\begin{aligned}(3n+1)(3n+2)+1&=9n^2+6n+3n+2+1\\&=9n^2+9n+3\\&=3(3n^2+3n+1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$3n^2+3n+1$也是自然数，因此$3(3n^2+3n+1)$是3的倍数，即代数式$(3n+1)(3n+2)+1$的值是3的倍数，故原命题为真命题。
【答案】
该命题是真命题
【知识点】
整式的乘法运算，提取公因式法因式分解，命题真假判断
【点评】
本题侧重考查整式运算的实际应用，核心思路是通过化简代数式判断其结构特征，解题关键是正确展开多项式并提取公因式，结合自然数的性质即可完成判断，是对代数运算基本功的考查。
【难度系数】
0.7