探究 (1)如图,用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径折叠,重复几次,发现:直径两旁的部分能够互相重合,由此可知圆是图形,任何一条所在直线都是它的对称轴;
(2)如图,AB是$\odot O$的任意一条弦,作直径CD,使$CD ⊥ AB$,垂足为点E. 把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,故点A与点重合,AE与重合,$\overset{\frown}{AD}$与重合,$\overset{\frown}{AC}$与重合.因此$AE =$,$\overset{\frown}{AD} =$,$\overset{\frown}{AC} =$.

(1) 轴对称 直径
(2) B BE $\overset{\frown}{BD}$ $\overset{\frown}{BC}$ BE $\overset{\frown}{BD}$ $\overset{\frown}{BC}$

【分析】
本题围绕圆的对称性展开考查，解题思路如下：
(1)先回忆轴对称图形的定义：若一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线是它的对称轴。结合题目中沿直径折叠圆的操作，即可判断圆的图形类型和对应的对称轴。
(2)折叠操作本质是轴对称变换，根据轴对称的性质，折叠后重合的点互为对称点，重合的线段、重合的弧分别相等，结合CD是垂直于弦AB的直径这一条件，即可找到对应的重合元素，推导得到相等的线段和弧。
【解析】
(1)根据轴对称图形的定义，将圆沿任意一条直径折叠时，直径两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形；对称轴是折叠时的折痕所在直线，即任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
(2)把圆沿着垂直于AB的直径CD折叠时，CD两侧半圆重合，点A的对称点为点B，因此点A与点B重合；线段AE的对应线段是BE，因此AE与BE重合；$\overset{\frown}{AD}$的对应弧是$\overset{\frown}{BD}$，因此$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{BD}$重合；$\overset{\frown}{AC}$的对应弧是$\overset{\frown}{BC}$，因此$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$重合。根据重合的线段相等、重合的弧相等，可得$AE=BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【答案】
(1) 轴对称；直径
(2) B；BE；$\overset{\frown}{BD}$；$\overset{\frown}{BC}$；BE；$\overset{\frown}{BD}$；$\overset{\frown}{BC}$
【知识点】
圆的轴对称性；轴对称的性质；垂径定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对圆的对称性和垂径定理推导过程的理解，熟练掌握轴对称的相关性质，就能快速准确解题，也为后续学习圆的其他性质打下基础。
【难度系数】
0.9

归纳 垂径定理:垂直于弦的直径弦,并且平分弦所对的两条。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径于弦,并且弦所对的两条弧。

平分 弧 垂直 平分

【分析】
本题考查垂径定理及其推论的基础内容，解题思路为回忆教材中垂径定理及推论的原文表述，直接对应空缺位置填入对应的术语即可。首先回忆垂径定理的完整内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；再回忆垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，对应空缺依次匹配内容即可。
【解析】
根据垂径定理的定义：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，因此第一个空缺填“平分”，第二个空缺填“弧”；
根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，因此第三个空缺填“垂直”，第四个空缺填“平分”。
【答案】
平分 弧 垂直 平分
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，核心是对基础定理内容的识记，只要熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1.【例1】如图，AB是$\odot O$的直径，CD为弦，$CD ⊥ AB$于点E，连接OC，OD，则下列结论中不一定成立的是（）

A.$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$
B.$∠ COE = ∠ DOE$
C.$OE = BE$
D.$CE = DE$

1. C

【分析】
本题考查圆的相关性质，解题思路如下：首先明确已知条件：AB是⊙O的直径，CD为弦且CD⊥AB，需判断四个结论中不一定成立的选项。首先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；再结合圆的半径相等、等腰三角形三线合一的性质逐一验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，CD⊥AB，因此AB平分$\overset{\frown}{CD}$，可得$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$，该结论一定成立；
B选项：OC、OD都是⊙O的半径，故OC=OD，△OCD为等腰三角形，又OE⊥CD，根据等腰三角形三线合一的性质，OE平分∠COD，即$∠ COE = ∠ DOE$，该结论一定成立；
C选项：题干未给出E是OB中点的相关条件，仅当CD平分OB时才有OE=BE，一般情况下该关系不成立，故结论不一定成立；
D选项：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，CD⊥AB，因此CE=DE，该结论一定成立。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；圆的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对垂径定理的理解和运用，解题时需注意题目要求选“不一定成立”的选项，不要误选必然成立的结论，解题的关键是熟练掌握垂直于弦的直径的相关性质。
【难度系数】
0.8

3.【例2】如图,在$\odot O$中,直径$CD ⊥ AB$于点$E$, $AB=8, OE=3$,求$\odot O$的半径及$ED$的长.

3. 解:如图,连接OB.
$\because AB = 8,CD ⊥ AB$,
$\therefore EB = \frac{1}{2}AB = 4$.
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中,由勾股定理,得
$OB = \sqrt{OE^2 + EB^2} = 5$.
$\therefore \odot O$的半径为5. $\therefore ED = OD - OE = 2$.

【分析】
首先根据题目给出的“直径CD⊥弦AB”的条件，可联想到垂径定理，由此得到AB被点E平分，先求出EB的长度；要求圆的半径，通常连接半径构造直角三角形，因此连接OB，得到Rt△OEB，已知OE和EB的长度，借助勾股定理即可算出OB的长度，也就是⊙O的半径；最后ED的长度等于半径OD减去OE的长度，代入数值计算即可。
【解析】
连接OB，
∵AB=8，CD⊥AB，根据垂径定理，
∴$EB=\frac{1}{2}AB=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中，OE=3，EB=4，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OE^2+EB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
即⊙O的半径为5，
∵OD是⊙O的半径，
∴OD=5，
∴$ED=OD-OE=5-3=2$。
【答案】
3. 解:如图,连接OB.
$\because AB = 8,CD ⊥ AB$,
$\therefore EB = \frac{1}{2}AB = 4$.
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中,由勾股定理,得
$OB = \sqrt{OE^2 + EB^2} = 5$.
$\therefore \odot O$的半径为5. $\therefore ED = OD - OE = 2$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础典型题，解题关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，掌握“连半径构造直角三角形”的常用辅助线做法，结合勾股定理求解未知线段长度。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$\odot O$中，半径OC与弦AB交于点E，且点E是AB的中点，$AE=2$，则下列结论正确的是（）

A.$OE=2$
B.$EC=2$
C.AB垂直平分OC
D.OC垂直平分AB

2. D

【分析】
解题时先回忆垂径定理的相关推论，结合已知条件逐一分析选项：首先已知OC是过圆心的半径，E是AB中点，首先排除没有长度依据的A、B选项；再判断C、D，要注意题目未给出E是OC中点的条件，因此无法得出AB平分OC，而根据垂径定理推论可直接判断OC垂直平分AB，进而选出正确答案。
【解析】
根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分这条弦。
已知半径OC过圆心O，点E是AB的中点，因此可得：OC⊥AB，且E为AB中点，即OC垂直平分AB，故D选项正确。
对其余选项分析如下：
A选项：题目仅给出AE=2，无OE长度的相关条件，无法推出OE=2，错误；
B选项：题目未给出EC的相关长度条件，无法推出EC=2，错误；
C选项：题目未说明E是OC的中点，无法得出AB平分OC，错误。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及其推论；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握垂径定理的推论，注意不要随意添加题目未给出的条件，通过排除法可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$\odot O$中,直径CD与弦AB交于点E,且点E是AB的中点,若$CD = 10\ \mathrm{cm},AB = 8\ \mathrm{cm}$,求OE的长.

4. 解:如图,连接OB.
$\because$ 点E是弦AB的中点,CD为$\odot O$的直径,
$\therefore AE = BE = \frac{1}{2}AB = 4(\mathrm{cm}),OC ⊥ AB$.
$\because CD = 10\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OB = OC = \frac{1}{2}CD = 5(\mathrm{cm})$.
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中,由勾股定理,得
$OE = \sqrt{OB^2 - BE^2} = 3(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题时首先结合已知条件回忆圆的相关性质：直径平分非直径的弦时，直径垂直于该弦，也就是垂径定理。我们可以先连接半径OB构造直角三角形OEB，先利用垂径定理求出BE的长度，再根据直径长度求出圆的半径OB的长度，最后在直角三角形中用勾股定理即可计算出OE的长度。
【解析】
解：如图，连接OB.
∵ 点E是弦AB的中点，CD为$\odot O$的直径，
∴ $AE = BE = \frac{1}{2}AB = 4\ \mathrm{cm}$，$CD ⊥ AB$，即$∠ OEB = 90°$.
∵ $CD = 10\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆的半径$OB = \frac{1}{2}CD = 5\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3\ \mathrm{cm}$.
【答案】
OE的长为3cm.
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，是需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7