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5.【例3】(方程思想)如图，$\odot O$的直径$CD ⊥$弦$AB$于点$E$.若$AB=8$，$DE=2$，求$\odot O$的半径. 
答案
5. 解:如图,连接OB. 设$\odot O$的半径为r.
$\because DE = 2,\therefore OE = r - 2$.
$\because AB ⊥ CD,AB = 8$,
$\therefore BE = \frac{1}{2}AB = 4$.
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中,$OB^2 = OE^2 + BE^2$,
即$r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$. 解得$r = 5$.
$\therefore \odot O$的半径为5.
解析
【分析】
本题是圆中求半径的典型问题，解题思路清晰：首先看到直径垂直弦的结构，优先想到垂径定理，可得到弦被平分，先算出半弦长；接着设圆的半径为未知数，将构造出的直角三角形的各边用含未知数的式子表示；最后利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径长度。
【解析】
解：如图，连接OB，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because DE = 2$，$\therefore OE = OD - DE = r - 2$
$\because CD ⊥ AB$，$CD$是$\odot O$的直径，$AB=8$
由垂径定理可得：$BE = \frac{1}{2}AB = 4$
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中，根据勾股定理有$OB^2 = OE^2 + BE^2$
代入对应边的表达式得：$r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$
展开计算得：$r^2 = r^2 -4r +4 +16$
化简解得：$4r=20$，即$r=5$
【答案】
$\odot O$的半径为5。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是垂径定理应用的常规题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，将几何线段求解问题转化为方程求解问题，是圆中求线段长度的常用方法，需要熟练掌握该类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
本题是圆中求半径的典型问题，解题思路清晰：首先看到直径垂直弦的结构，优先想到垂径定理，可得到弦被平分，先算出半弦长；接着设圆的半径为未知数，将构造出的直角三角形的各边用含未知数的式子表示；最后利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径长度。
【解析】
解：如图，连接OB，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because DE = 2$，$\therefore OE = OD - DE = r - 2$
$\because CD ⊥ AB$，$CD$是$\odot O$的直径，$AB=8$
由垂径定理可得：$BE = \frac{1}{2}AB = 4$
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中，根据勾股定理有$OB^2 = OE^2 + BE^2$
代入对应边的表达式得：$r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$
展开计算得：$r^2 = r^2 -4r +4 +16$
化简解得：$4r=20$，即$r=5$
【答案】
$\odot O$的半径为5。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是垂径定理应用的常规题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，将几何线段求解问题转化为方程求解问题，是圆中求线段长度的常用方法，需要熟练掌握该类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
6. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD与半径OA互相垂直平分，且$CD=6$，求直径AB的长.
答案
6. 解:如图,设AB与CD交于点E,连接OD.
$\because$ 弦CD与半径OA互相垂直平分,$CD = 6$,
$\therefore OA ⊥ CD,DE = \frac{1}{2}CD = 3$,
$OE = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{4}AB$.
设$OE = x$,则$OD = 2x,AB = 4x$.
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中,$OE^2 + DE^2 = OD^2$,
即$x^2 + 3^2 = (2x)^2$. 解得$x = \sqrt{3}$(负值舍去).
$\therefore AB = 4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时优先关联圆中弦与直径垂直对应的垂径定理。首先我们设AB与CD的交点为E，连接OD构造直角三角形：根据弦CD与半径OA互相垂直平分的条件，一方面可利用垂直平分得到DE为CD的一半，算出DE的长度；另一方面可得到OE是OA的一半，即等于半径OD的一半；接下来设未知数表示OE、OD的长度，在直角三角形ODE中用勾股定理列方程求解，最后根据直径与半径的数量关系算出AB的长度即可。
【解析】
设AB与CD交于点E，连接OD.
∵ 弦CD与半径OA互相垂直平分，$CD = 6$,
∴ $OA ⊥ CD$，根据垂径定理得$DE = \frac{1}{2}CD = 3$，且$OE = \frac{1}{2}OA$。
∵ OA、OD都是$\odot O$的半径，$AB=2OD=2OA$，
∴ $OE = \frac{1}{2}OD$。
设$OE = x$，则$OD = 2x$，$AB = 4x$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$OE^2 + DE^2 = OD^2$，
代入数值得：$x^2 + 3^2 = (2x)^2$，
整理得$3x^2=9$，即$x^2=3$，解得$x = \sqrt{3}$(负值不符合线段长度要求，舍去)。
∴ $AB = 4x = 4\sqrt{3}$。
【答案】
$AB=4\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的性质相关的典型基础题型，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和线段的数量关系设未知数列方程求解，熟练掌握这类辅助线的构造方法能快速解决同类弦长、直径长度计算的问题。
【难度系数】
0.7
解题时优先关联圆中弦与直径垂直对应的垂径定理。首先我们设AB与CD的交点为E，连接OD构造直角三角形：根据弦CD与半径OA互相垂直平分的条件，一方面可利用垂直平分得到DE为CD的一半，算出DE的长度；另一方面可得到OE是OA的一半，即等于半径OD的一半；接下来设未知数表示OE、OD的长度，在直角三角形ODE中用勾股定理列方程求解，最后根据直径与半径的数量关系算出AB的长度即可。
【解析】
设AB与CD交于点E，连接OD.
∵ 弦CD与半径OA互相垂直平分，$CD = 6$,
∴ $OA ⊥ CD$，根据垂径定理得$DE = \frac{1}{2}CD = 3$，且$OE = \frac{1}{2}OA$。
∵ OA、OD都是$\odot O$的半径，$AB=2OD=2OA$，
∴ $OE = \frac{1}{2}OD$。
设$OE = x$，则$OD = 2x$，$AB = 4x$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$OE^2 + DE^2 = OD^2$，
代入数值得：$x^2 + 3^2 = (2x)^2$，
整理得$3x^2=9$，即$x^2=3$，解得$x = \sqrt{3}$(负值不符合线段长度要求，舍去)。
∴ $AB = 4x = 4\sqrt{3}$。
【答案】
$AB=4\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的性质相关的典型基础题型，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和线段的数量关系设未知数列方程求解，熟练掌握这类辅助线的构造方法能快速解决同类弦长、直径长度计算的问题。
【难度系数】
0.7
7.【例4】(人教九上$\mathrm{P}_{132}$习题$\mathrm{T}_{8}$改编)如图,实线为一条公路,公路有一段是圆弧($\overset{\frown}{AB}$),半径$OC ⊥ AB$于点$D$,已知$AB = 12$米,$CD = 2$米,求$OA$的长.
答案
7. 解:$\because$ 半径$OC ⊥ AB$,$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 12 = 6$.
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,由勾股定理,得
$OA^2 = OD^2 + AD^2 = (OC - CD)^2 + AD^2 = (OA - 2)^2 + 6^2$,
即$OA^2 - (OA - 2)^2 = 6^2$. 解得$OA = 10$.
$\therefore OA$的长为10米.
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,由勾股定理,得
$OA^2 = OD^2 + AD^2 = (OC - CD)^2 + AD^2 = (OA - 2)^2 + 6^2$,
即$OA^2 - (OA - 2)^2 = 6^2$. 解得$OA = 10$.
$\therefore OA$的长为10米.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：已知圆的半径OC垂直于弦AB，首先可运用垂径定理得到弦AB一半的长度；其次OA和OC都是圆的半径，长度相等，因此OD的长度可表示为OA减去CD的长度；最后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于OA的方程，解方程即可求出OA的长度。
【解析】
解：$\because$ 半径$OC ⊥ AB$，根据垂径定理可得$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 12 = 6$（米）。
设$OA = r$米，$\because OA$和$OC$都是圆$O$的半径，$\therefore OC = OA = r$，则$OD = OC - CD = (r - 2)$米。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理，得：
$OA^2 = OD^2 + AD^2$
代入对应长度得：
$r^2 = (r - 2)^2 + 6^2$
展开计算：$r^2 = r^2 - 4r + 4 + 36$
整理得$4r = 40$，解得$r = 10$。
【答案】
OA的长为10米
【知识点】
垂径定理，勾股定理，半径的性质
【点评】
本题是圆中线段长度计算的常见题型，解题的关键是结合垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理通过列方程的方法求解，体现了几何问题代数化的思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：已知圆的半径OC垂直于弦AB，首先可运用垂径定理得到弦AB一半的长度；其次OA和OC都是圆的半径，长度相等，因此OD的长度可表示为OA减去CD的长度；最后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于OA的方程，解方程即可求出OA的长度。
【解析】
解：$\because$ 半径$OC ⊥ AB$，根据垂径定理可得$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 12 = 6$（米）。
设$OA = r$米，$\because OA$和$OC$都是圆$O$的半径，$\therefore OC = OA = r$，则$OD = OC - CD = (r - 2)$米。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理，得：
$OA^2 = OD^2 + AD^2$
代入对应长度得：
$r^2 = (r - 2)^2 + 6^2$
展开计算：$r^2 = r^2 - 4r + 4 + 36$
整理得$4r = 40$，解得$r = 10$。
【答案】
OA的长为10米
【知识点】
垂径定理，勾股定理，半径的性质
【点评】
本题是圆中线段长度计算的常见题型，解题的关键是结合垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理通过列方程的方法求解，体现了几何问题代数化的思想。
【难度系数】
0.7
8. 如图所示是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，$CM = DM = 2$，延长MO交$\odot O$于点E. 若$EM = 6$，求$\odot O$的半径.
答案
8. 解:如图,连接OC.
$\because CM = DM = 2,ME$过圆心,
$\therefore OM ⊥ CD$.
设$\odot O$的半径为r,则$OM = 6 - r$.
在$\mathrm{Rt}△ COM$中,由勾股定理,得
$OC^2 = CM^2 + OM^2$, 即 $r^2 = 2^2 + (6 - r)^2$.
解得$r = \frac{10}{3}. \therefore \odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
要求圆的半径，首先考虑构造包含半径的直角三角形求解。根据垂径定理，平分弦（非直径）且过圆心的直线垂直于弦，可得OM⊥CD；连接半径OC，即可得到Rt△COM，设半径为r，将OC、OM用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：如图，连接OC。
∵CM = DM = 2，ME过圆心O，
∴根据垂径定理可得OM⊥CD。
设$\odot O$的半径为r，则$OC=r$，$OM = EM - OE = 6 - r$。
在$\mathrm{Rt}△COM$中，由勾股定理得：
$OC^2 = CM^2 + OM^2$，
代入得$r^2 = 2^2 + (6 - r)^2$，
展开得$r^2 = 4 + 36 - 12r + r^2$，
移项化简得$12r = 40$，
解得$r = \frac{10}{3}$。
【答案】
8. 解:如图,连接OC.
$\because CM = DM = 2,ME$过圆心,
$\therefore OM ⊥ CD$.
设$\odot O$的半径为r,则$OM = 6 - r$.
在$\mathrm{Rt}△ COM$中,由勾股定理,得
$OC^2 = CM^2 + OM^2$, 即 $r^2 = 2^2 + (6 - r)^2$.
解得$r = \frac{10}{3}. \therefore \odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆中求半径的常规题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解，体现了数形结合思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
要求圆的半径，首先考虑构造包含半径的直角三角形求解。根据垂径定理，平分弦（非直径）且过圆心的直线垂直于弦，可得OM⊥CD；连接半径OC，即可得到Rt△COM，设半径为r，将OC、OM用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：如图，连接OC。
∵CM = DM = 2，ME过圆心O，
∴根据垂径定理可得OM⊥CD。
设$\odot O$的半径为r，则$OC=r$，$OM = EM - OE = 6 - r$。
在$\mathrm{Rt}△COM$中，由勾股定理得：
$OC^2 = CM^2 + OM^2$，
代入得$r^2 = 2^2 + (6 - r)^2$，
展开得$r^2 = 4 + 36 - 12r + r^2$，
移项化简得$12r = 40$，
解得$r = \frac{10}{3}$。
【答案】
8. 解:如图,连接OC.
$\because CM = DM = 2,ME$过圆心,
$\therefore OM ⊥ CD$.
设$\odot O$的半径为r,则$OM = 6 - r$.
在$\mathrm{Rt}△ COM$中,由勾股定理,得
$OC^2 = CM^2 + OM^2$, 即 $r^2 = 2^2 + (6 - r)^2$.
解得$r = \frac{10}{3}. \therefore \odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆中求半径的常规题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解，体现了数形结合思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
