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1. 用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是 (
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆内
D
)A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆内
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心要点：一是反证法的假设规则，反证法证明命题时，需假设原结论不成立，即原结论的反面成立；二是点与圆的位置关系总共有三类，分别是点在圆外、点在圆上、点在圆内。原结论为“点在圆外”，该结论不成立就说明点不在圆外，只需排除点在圆外的情况，剩余的位置关系就是所有可能的结果，以此推导即可得到答案。
【解析】
1. 明确点与圆的三类位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内；
2. 根据反证法的要求，假设“点在圆外”不成立，等价于“点不在圆外”；
3. 排除“点在圆外”的情况后，剩余的位置关系为点在圆上或点在圆内，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查反证法的假设逻辑以及点与圆的位置分类，解题时要注意结论的反面需要包含所有不符合原结论的情况，避免遗漏点在圆上的情况。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个核心要点：一是反证法的假设规则，反证法证明命题时，需假设原结论不成立，即原结论的反面成立；二是点与圆的位置关系总共有三类，分别是点在圆外、点在圆上、点在圆内。原结论为“点在圆外”，该结论不成立就说明点不在圆外，只需排除点在圆外的情况，剩余的位置关系就是所有可能的结果，以此推导即可得到答案。
【解析】
1. 明确点与圆的三类位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内；
2. 根据反证法的要求，假设“点在圆外”不成立，等价于“点不在圆外”；
3. 排除“点在圆外”的情况后，剩余的位置关系为点在圆上或点在圆内，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查反证法的假设逻辑以及点与圆的位置分类，解题时要注意结论的反面需要包含所有不符合原结论的情况，避免遗漏点在圆上的情况。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法中，正确的是 （
A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
B
）A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
答案
2. B
解析
【分析】
本题属于圆相关概念的辨析题，解题时需结合确定圆的条件、外接圆、圆内接多边形的定义逐个分析选项：首先回忆确定圆的核心要求是“不在同一直线上的三个点”，再依次判断每个选项是否符合概念的限制条件，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，因此该说法错误；
B. 三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，根据确定圆的条件，三个不共线的点能确定唯一的一个圆，即三角形的外接圆，因此三角形有且只有一个外接圆，该说法正确；
C. 并非所有四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆，如普通的平行四边形没有外接圆，因此该说法错误；
D. 在圆上任意选取三个不重合的点都可以组成一个圆的内接三角形，因此圆有无数个内接三角形，该说法错误。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；三角形外接圆；圆内接多边形
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握各类概念的限制条件，切忌忽略前提死记硬背概念，这类题是对基础知识点掌握情况的常见考查形式。
【难度系数】
0.8
本题属于圆相关概念的辨析题，解题时需结合确定圆的条件、外接圆、圆内接多边形的定义逐个分析选项：首先回忆确定圆的核心要求是“不在同一直线上的三个点”，再依次判断每个选项是否符合概念的限制条件，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，因此该说法错误；
B. 三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，根据确定圆的条件，三个不共线的点能确定唯一的一个圆，即三角形的外接圆，因此三角形有且只有一个外接圆，该说法正确；
C. 并非所有四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆，如普通的平行四边形没有外接圆，因此该说法错误；
D. 在圆上任意选取三个不重合的点都可以组成一个圆的内接三角形，因此圆有无数个内接三角形，该说法错误。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；三角形外接圆；圆内接多边形
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握各类概念的限制条件，切忌忽略前提死记硬背概念，这类题是对基础知识点掌握情况的常见考查形式。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在由小正方形组成的网格中,点A,B,C,D,E,F,O均在格点上.下列三角形中,外心不是点O的是 (
A.$△ ABC$
B.$△ ABD$
C.$△ ABE$
D.$△ ABF$
C
)A.$△ ABC$
B.$△ ABD$
C.$△ ABE$
D.$△ ABF$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断哪个三角形的外心不是点O，首先明确三角形外心的核心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。因此解题思路为：设每个小正方形边长为1，利用勾股定理分别计算点O到每个选项中三角形三个顶点的距离，若三个距离不全相等，则O不是该三角形的外心。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度：
首先计算OA、OB的长度：
$OA=OB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
接下来分别验证各选项：
A. 对于$△ ABC$，计算$OC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，可得$OA=OB=OC$，故O是$△ ABC$的外心，不符合题意；
B. 对于$△ ABD$，计算$OD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，可得$OA=OB=OD$，故O是$△ ABD$的外心，不符合题意；
C. 对于$△ ABE$，计算$OE=3=\sqrt{9}$，显然$\sqrt{9}≠\sqrt{13}$，即$OE≠ OA=OB$，故O不是$△ ABE$的外心，符合题意；
D. 对于$△ ABF$，计算$OF=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，可得$OA=OB=OF$，故O是$△ ABF$的外心，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题解题的关键是掌握三角形外心到三个顶点距离相等的性质，结合网格特征用勾股定理计算线段长度即可快速判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要判断哪个三角形的外心不是点O，首先明确三角形外心的核心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。因此解题思路为：设每个小正方形边长为1，利用勾股定理分别计算点O到每个选项中三角形三个顶点的距离，若三个距离不全相等，则O不是该三角形的外心。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度：
首先计算OA、OB的长度：
$OA=OB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
接下来分别验证各选项：
A. 对于$△ ABC$，计算$OC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，可得$OA=OB=OC$，故O是$△ ABC$的外心，不符合题意；
B. 对于$△ ABD$，计算$OD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，可得$OA=OB=OD$，故O是$△ ABD$的外心，不符合题意；
C. 对于$△ ABE$，计算$OE=3=\sqrt{9}$，显然$\sqrt{9}≠\sqrt{13}$，即$OE≠ OA=OB$，故O不是$△ ABE$的外心，符合题意；
D. 对于$△ ABF$，计算$OF=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，可得$OA=OB=OF$，故O是$△ ABF$的外心，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题解题的关键是掌握三角形外心到三个顶点距离相等的性质，结合网格特征用勾股定理计算线段长度即可快速判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,4),B(4,4),C(6,2),则经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为
(2,0)
。答案
4. (2,0)
解析
【分析】
要确定经过A、B、C三点的圆弧的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，可知圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。我们可以先分析弦AB的特征求出其垂直平分线，再求出弦BC的垂直平分线，两条直线的交点就是所求圆心。
【解析】
解：根据圆的性质，圆心到A、B、C三点的距离相等，即圆心是弦AB、BC的垂直平分线的交点。
1. 求弦AB的垂直平分线：
已知A(0,4)、B(4,4)，两点纵坐标相同，AB为水平线段，AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2})=(2,4)$，因此AB的垂直平分线是过中点且垂直于x轴的直线，即$\boldsymbol{x=2}$。
2. 求弦BC的垂直平分线：
设圆心坐标为$(2,y)$，根据圆心到B、C两点距离相等，可列方程：
$\sqrt{(2-4)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(2-6)^2+(y-2)^2}$
两边平方化简得：
$4+(y-4)^2=16+(y-2)^2$
展开得：$4+y^2-8y+16=16+y^2-4y+4$
整理得：$-4y=0$，解得$y=0$。
验证：点$(2,0)$到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$，符合圆心的特征。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
①线段垂直平分线性质
②圆的基本性质
③两点间距离公式
【点评】
本题考查平面直角坐标系中圆心坐标的确定，解题核心是利用圆心到圆上各点距离相等的性质，将问题转化为求解两条垂直平分线的交点，是圆的性质的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
要确定经过A、B、C三点的圆弧的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，可知圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。我们可以先分析弦AB的特征求出其垂直平分线，再求出弦BC的垂直平分线，两条直线的交点就是所求圆心。
【解析】
解：根据圆的性质，圆心到A、B、C三点的距离相等，即圆心是弦AB、BC的垂直平分线的交点。
1. 求弦AB的垂直平分线：
已知A(0,4)、B(4,4)，两点纵坐标相同，AB为水平线段，AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2})=(2,4)$，因此AB的垂直平分线是过中点且垂直于x轴的直线，即$\boldsymbol{x=2}$。
2. 求弦BC的垂直平分线：
设圆心坐标为$(2,y)$，根据圆心到B、C两点距离相等，可列方程：
$\sqrt{(2-4)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(2-6)^2+(y-2)^2}$
两边平方化简得：
$4+(y-4)^2=16+(y-2)^2$
展开得：$4+y^2-8y+16=16+y^2-4y+4$
整理得：$-4y=0$，解得$y=0$。
验证：点$(2,0)$到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$，符合圆心的特征。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
①线段垂直平分线性质
②圆的基本性质
③两点间距离公式
【点评】
本题考查平面直角坐标系中圆心坐标的确定，解题核心是利用圆心到圆上各点距离相等的性质，将问题转化为求解两条垂直平分线的交点，是圆的性质的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知点A,B,C不在同一条直线上,请用尺规作图法作经过A,B,C三点的$\odot O$.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
解:如图所示,⊙O即为所求.
解析
【分析】
要作经过不在同一直线上的A、B、C三点的圆，本质是作△ABC的外接圆，外接圆的圆心是三角形的外心，即三边垂直平分线的交点，该点到三个顶点的距离相等，符合圆心到圆上各点距离相等的性质。解题思路为：先连接任意两条线段（如AB、BC），再分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O，最后以O为圆心，OA（或OB、OC）的长度为半径画圆，即可得到所求的⊙O。
【解析】
根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的原理求解：
1. 连接AB、BC，得到△ABC的两条边；
2. 用尺规分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，由线段垂直平分线的性质可得OA=OB=OC，O即为所求圆的圆心；
3. 以O为圆心，OA的长度为半径作圆，该圆经过A、B、C三点，即为所求的⊙O，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图所示,⊙O即为所求.
【知识点】
确定圆的条件，线段垂直平分线性质，尺规作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，重点考查三角形外接圆的作法，理解外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键，要求学生熟练掌握常见的尺规作图操作。
【难度系数】
0.8
要作经过不在同一直线上的A、B、C三点的圆，本质是作△ABC的外接圆，外接圆的圆心是三角形的外心，即三边垂直平分线的交点，该点到三个顶点的距离相等，符合圆心到圆上各点距离相等的性质。解题思路为：先连接任意两条线段（如AB、BC），再分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O，最后以O为圆心，OA（或OB、OC）的长度为半径画圆，即可得到所求的⊙O。
【解析】
根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的原理求解：
1. 连接AB、BC，得到△ABC的两条边；
2. 用尺规分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，由线段垂直平分线的性质可得OA=OB=OC，O即为所求圆的圆心；
3. 以O为圆心，OA的长度为半径作圆，该圆经过A、B、C三点，即为所求的⊙O，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图所示,⊙O即为所求.
【知识点】
确定圆的条件，线段垂直平分线性质，尺规作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，重点考查三角形外接圆的作法，理解外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键，要求学生熟练掌握常见的尺规作图操作。
【难度系数】
0.8
6. 将图中的破轮子复原，已知弧上三点A,B,C.
(1)利用尺规画出该轮的圆心;(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16 cm，腰AB=10 cm，求圆片的半径R.
(1)利用尺规画出该轮的圆心;(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16 cm，腰AB=10 cm，求圆片的半径R.
答案
6. 解:(1)如图,点O即为所求的圆心.
(2)如图,连接AO,OB,OC,BC,AO交BC于点D.
由题意,得AB = AC.
∴ ∠AOB = ∠AOC.
∵ OB = OC,
∴ OA ⊥ BC.
∴ BD = $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×16 = 8(\mathrm{cm}).$
∵ AB = 10 cm,
∴ AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2} = 6(\mathrm{cm}).$
∵ 圆片的半径为R,
∴ OD = R - 6.
在$\mathrm{Rt}△BOD$中,$OB^2 = BD^2 + OD^2$,
∴ $R^2 = 8^2 + (R - 6)^2$. 解得 $R = \frac{25}{3}$.
∴ 圆片的半径R为$\frac{25}{3}$ cm.
解析
【分析】
(1) 找残缺圆的圆心可依据圆的性质：弦的垂直平分线必过圆心，因此只需作出两条不同弦的垂直平分线，二者的交点就是圆心。
(2) 求半径需结合已知条件构造直角三角形求解：首先利用等腰△ABC的性质和垂径定理，得到AO垂直平分BC，先求出BD、AD的长度，再在Rt△BOD中用半径R表示出OD的长度，代入勾股定理列方程即可求出R的值。
【解析】
(1) 分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心O，作图痕迹如图所示。
(2) 连接AO、OB、OC，设AO与BC交于点D。
已知AB=AC，OB=OC，OA为公共边，可得△AOB≌△AOC，故∠AOB=∠AOC。
结合OB=OC，由等腰三角形三线合一性质可得OA⊥BC，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}$。
在Rt△ABD中，AB=10 cm，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\mathrm{cm}$。
设圆片半径为R，则OB=R，$OD=R-6$。
在Rt△BOD中，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，代入得：
$R^2=8^2+(R-6)^2$
展开化简得$12R=100$，解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 如图,点O即为所求的圆心.
(2) 圆片的半径R为$\frac{25}{3}$ cm.
【知识点】
垂径定理、勾股定理、确定圆心的方法
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关知识，既考查了尺规作图的操作能力，又考查了垂径定理、勾股定理的综合应用，需要掌握利用方程思想求解几何线段的方法，是圆章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 找残缺圆的圆心可依据圆的性质：弦的垂直平分线必过圆心，因此只需作出两条不同弦的垂直平分线，二者的交点就是圆心。
(2) 求半径需结合已知条件构造直角三角形求解：首先利用等腰△ABC的性质和垂径定理，得到AO垂直平分BC，先求出BD、AD的长度，再在Rt△BOD中用半径R表示出OD的长度，代入勾股定理列方程即可求出R的值。
【解析】
(1) 分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心O，作图痕迹如图所示。
(2) 连接AO、OB、OC，设AO与BC交于点D。
已知AB=AC，OB=OC，OA为公共边，可得△AOB≌△AOC，故∠AOB=∠AOC。
结合OB=OC，由等腰三角形三线合一性质可得OA⊥BC，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}$。
在Rt△ABD中，AB=10 cm，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\mathrm{cm}$。
设圆片半径为R，则OB=R，$OD=R-6$。
在Rt△BOD中，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，代入得：
$R^2=8^2+(R-6)^2$
展开化简得$12R=100$，解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 如图,点O即为所求的圆心.
(2) 圆片的半径R为$\frac{25}{3}$ cm.
【知识点】
垂径定理、勾股定理、确定圆心的方法
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关知识，既考查了尺规作图的操作能力，又考查了垂径定理、勾股定理的综合应用，需要掌握利用方程思想求解几何线段的方法，是圆章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
7. (拓展题)如图,在平面直角坐标系中,点A,B,P的坐标分别为$(1,0),(2,5),(4,2)$.若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,点P是$△ ABC$的外心,则点C的坐标为
(7,4)或(6,5)或(1,4)
.答案
7. (7,4)或(6,5)或(1,4)
解析
【分析】
解题的核心是利用三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，因此PC=PA=PB。首先计算PA的平方，再设点C坐标为(x,y)，根据距离公式列方程，结合点C在第一象限、横纵坐标均为整数的条件分类讨论求解，最后排除与点A、B重合的解即可。
【解析】
∵点P是△ABC的外心，
∴PA=PB=PC。
已知A(1,0)、P(4,2)，由两点间距离公式得：
$PA^2=(4-1)^2+(2-0)^2=3^2+2^2=13$，故$PC^2=13$。
设点C坐标为(x,y)，其中x＞0、y＞0，且x、y均为整数，则：
$(x-4)^2+(y-2)^2=13$
由于13只能拆分为两个整数的平方和：$13=2^2+3^2=3^2+2^2$，分情况讨论：
1. 当$(x-4)^2=4$，$(y-2)^2=9$时：
解得有效解为$\begin{cases}x=6\\y=5\end{cases}$（其余解y为负或与点B重合，舍去）；
2. 当$(x-4)^2=9$，$(y-2)^2=4$时：
解得有效解为$\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$（其余解y非正或与点A重合，舍去）。
综上，点C的坐标为(7,4)或(6,5)或(1,4)。
【答案】
(7,4)或(6,5)或(1,4)
【知识点】
三角形外心的性质，两点间的距离公式，不定方程的整数解
【点评】
本题属于几何与代数结合的综合题，重点考查外心性质的应用，需要学生熟练掌握两点间距离公式，同时具备分类讨论的意识，注意舍去不符合题意的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
解题的核心是利用三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，因此PC=PA=PB。首先计算PA的平方，再设点C坐标为(x,y)，根据距离公式列方程，结合点C在第一象限、横纵坐标均为整数的条件分类讨论求解，最后排除与点A、B重合的解即可。
【解析】
∵点P是△ABC的外心，
∴PA=PB=PC。
已知A(1,0)、P(4,2)，由两点间距离公式得：
$PA^2=(4-1)^2+(2-0)^2=3^2+2^2=13$，故$PC^2=13$。
设点C坐标为(x,y)，其中x＞0、y＞0，且x、y均为整数，则：
$(x-4)^2+(y-2)^2=13$
由于13只能拆分为两个整数的平方和：$13=2^2+3^2=3^2+2^2$，分情况讨论：
1. 当$(x-4)^2=4$，$(y-2)^2=9$时：
解得有效解为$\begin{cases}x=6\\y=5\end{cases}$（其余解y为负或与点B重合，舍去）；
2. 当$(x-4)^2=9$，$(y-2)^2=4$时：
解得有效解为$\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$（其余解y非正或与点A重合，舍去）。
综上，点C的坐标为(7,4)或(6,5)或(1,4)。
【答案】
(7,4)或(6,5)或(1,4)
【知识点】
三角形外心的性质，两点间的距离公式，不定方程的整数解
【点评】
本题属于几何与代数结合的综合题，重点考查外心性质的应用，需要学生熟练掌握两点间距离公式，同时具备分类讨论的意识，注意舍去不符合题意的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
