一、二次函数与线段的最值
1. (2026滨州月考)如图,二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,点$A$的坐标为$(-4,0)$,且$OA=OC$,$E$是线段$OA$上的一个动点,过点$E$作直线$EF$垂直于$x$轴交直线$AC$和抛物线分别于点$D,F$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)设点$E$的横坐标为$m$,当$m$为何值时,线段$DF$有最大值?并求出最大值.

备用图

1. 解:(1)
∵点 A 的坐标为(-4,0),且 OA=OC,
则 OA=OC=4,
∴C(0,4),
∴$\begin{cases} c=4, \\ -(-4)^2-4b+c=0, \end{cases}$
∴$\begin{cases} c=4, \\ b=-3, \end{cases}$
∴$y=-x^2-3x+4$.
(2)设直线 AC 的表达式为 $y=kx+n$,
∵A(-4,0),C(0,4),
∴$\begin{cases} n=4, \\ -4k+n=0, \end{cases}$
∴$\begin{cases} n=4, \\ k=1, \end{cases}$
∴$y=x+4$,
∴D(m,m+4),
∵F(m,$-m^2-3m+4$),
∴DF=$(-m^2-3m+4)-(m+4)=-m^2-4m=-(m+2)^2+4$,
∴当 m=-2 时,$DF_{最大}=4$.

【分析】
第(1)问解题思路：首先根据点A的坐标确定OA的长度，结合OA=OC的条件求出点C的坐标，再将A、C两点坐标代入二次函数的一般式，解二元一次方程组即可求出b、c的值，得到抛物线表达式。
第(2)问解题思路：先利用A、C两点坐标，用待定系数法求出直线AC的表达式；由于EF垂直x轴，D、F两点横坐标均为m，分别代入直线和抛物线表达式得到两点纵坐标，竖直线段DF的长度等于上方点F的纵坐标减去下方点D的纵坐标，整理得到关于m的二次函数，配方为顶点式后即可求出最值及对应的m值。
【解析】
(1)
∵点A的坐标为$(-4,0)$，且$OA=OC$，
则$OA=OC=4$，
∴$C(0,4)$，
将A、C坐标代入$y=-x^2+bx+c$得：
$\begin{cases} c=4, \\ -(-4)^2-4b+c=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=4, \\ b=-3, \end{cases}$
∴抛物线表达式为$y=-x^2-3x+4$。
(2)设直线AC的表达式为 $y=kx+n$，
∵$A(-4,0)$，$C(0,4)$，
代入得$\begin{cases} n=4, \\ -4k+n=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} n=4, \\ k=1, \end{cases}$
∴直线AC的表达式为$y=x+4$，
∵点E横坐标为m，EF垂直x轴，
∴$D(m,m+4)$，$F(m,-m^2-3m+4)$，
∴$DF=(-m^2-3m+4)-(m+4)=-m^2-4m=-(m+2)^2+4$，
∵$-1＜0$，二次函数开口向下，
∴当$m=-2$时，$DF$取得最大值，最大值为4。
【答案】
(1)$y=-x^2-3x+4$；
(2)当$m=-2$时，线段DF有最大值，最大值为4。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；坐标与线段长度
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的应用以及线段最值的求解思路，将竖直线段长度转化为两点纵坐标的差，进而构造二次函数求最值是这类题型的常用解法，属于二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

二、二次函数与线段的数量关系
2. 若二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象经过点 $ A(-2,0),B(0,-4) $，其对称轴为直线 $ x=1 $，与 $ x $ 轴的另一交点为 $ C $。
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 如图，若点 $ M $ 在直线 $ AB $ 上，且在第四象限，过点 $ M $ 作 $ MN ⊥ x $ 轴于点 $ N $，若点 $ N $ 在线段 $ OC $ 上，且 $ MN=3NC $，求点 $ M $ 的坐标。

2. 解:(1)
∵二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象经过点 B(0,-4),
∴c=-4.
∵ 对称轴为直线 x=1,且经过 A(-2,0),
∴$\begin{cases} -\frac{b}{2a}=1, \\ 4a-2b-4=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\frac{1}{2}, \\ b=-1. \end{cases}$
∴二次函数的表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2-x-4$.
(2)设直线 AB 的函数表达式为 $y=kx+n$.
∵A(-2,0),B(0,-4),
∴$\begin{cases} -2k+n=0, \\ n=-4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2, \\ n=-4. \end{cases}$
∴直线 AB 的函数表达式为 $y=-2x-4$.
∵ 点 A,C 关于直线 x=1 对称,
∴C(4,0).
设 N(m,0).
∵MN⊥x轴,点 M 在第四象限,
∴M(m,-2m-4),m＞0,
∴NC=4-m.
∵MN=3NC,
∴2m+4=3(4-m),
解得 $m=\frac{8}{5}$,
∴$M(\frac{8}{5},-\frac{36}{5})$.

【分析】
(1) 求二次函数表达式采用待定系数法：首先将点B(0,-4)代入解析式可直接得到c的值，再结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$和点A(-2,0)代入解析式得到的方程，联立成关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值即可确定二次函数表达式。
(2) 求点M坐标的思路：①先用待定系数法求出直线AB的解析式；②利用二次函数的对称性，点A、C关于对称轴x=1对称，求出C点坐标；③设N点坐标为$(m,0)$，由MN⊥x轴可知M点横坐标也为m，代入直线AB解析式可表示出M点坐标，进而用含m的代数式表示MN和NC的长度；④根据MN=3NC的等量关系列方程求解m，结合M在第四象限的条件验证m的取值，最终得到M点坐标。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点B(0,-4)，
∴将$x=0,y=-4$代入得$c=-4$。
∵函数对称轴为直线$x=1$，且经过点A(-2,0)，
∴可得方程组$\begin{cases} -\frac{b}{2a}=1 \\ 4a-2b-4=0 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=-1 \end{cases}$，
∴二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 - x - 4$。
(2) 设直线AB的函数表达式为$y=kx+n$，
将A(-2,0)、B(0,-4)代入得$\begin{cases} -2k+n=0 \\ n=-4 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k=-2 \\ n=-4 \end{cases}$，
∴直线AB的函数表达式为$y=-2x-4$。
∵点A、C关于对称轴直线$x=1$对称，A(-2,0)，
∴C点坐标为(4,0)。
设点N坐标为$(m,0)$，
∵MN⊥x轴，点M在直线AB上且在第四象限，
∴M点横坐标为m，代入直线AB解析式得纵坐标为$-2m-4$，即$M(m,-2m-4)$，其中$0＜m＜4$，
则$MN$的长度为M点纵坐标的绝对值，即$MN=0-(-2m-4)=2m+4$，$NC=4-m$。
∵$MN=3NC$，
∴$2m+4=3(4-m)$，
解得$m=\frac{8}{5}$，
将$m=\frac{8}{5}$代入M点坐标得纵坐标为$-2×\frac{8}{5}-4=-\frac{36}{5}$，
∴$M(\frac{8}{5},-\frac{36}{5})$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2 - x - 4$；(2) $M(\frac{8}{5},-\frac{36}{5})$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数综合应用
【点评】
本题属于函数综合基础题，重点考察待定系数法的运用、二次函数的对称性以及坐标与线段长度的转化，解题时需注意第四象限内点的坐标符号特征，避免线段长度表示时出现符号错误。
【难度系数】
0.7