三、二次函数与周长的最值
3. 在平面直角坐标系中，直线$y=-x-2$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图象经过$A,B$两点，并与$x$轴的正半轴交于点$C$.
(1)求$a,b$满足的关系式及$c$的值；
(2)如图①，当$a=\frac{1}{4}$时，若点$P$是抛物线对称轴上的一个动点，求$△ ABP$周长的最小值.

3. 解:(1)对于直线 $y=-x-2$,
当 x=0 时,y=-2,
∴B(0,-2).
当 y=0 时,x=-2,
∴A(-2,0).
将点 A(-2,0),B(0,-2)分别代入抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 中,得$\begin{cases} 4a-2b+c=0, \\ c=-2. \end{cases}$
∴a,b 满足的关系式为 2a-b=1,c 的值为-2.
(2)由(1)知,2a-b=1,c=-2.
当 $a=\frac{1}{4}$ 时,$2×\frac{1}{4}-b=1$,
∴$b=-\frac{1}{2}$,
∴抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$
$=\frac{1}{4}(x-1)^2-\frac{9}{4}$,
∴抛物线的对称轴是直线 x=1.
由对称性,得 C(4,0).
要使△ABP 的周长最小,只需 AP+BP 的值最小即可.
如图,连接 BC 交直线 x=1 于点 P.

∵点 A 与点 C 关于直线 x=1 对称,
由对称性可知 AP+BP=PC+BP=BC,
此时△ABP 的周长最小,
∴此时△ABP 的周长等于 AB+BC.
在 Rt△AOB 中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
在 Rt△BOC 中,$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.
∴△ABP 周长的最小值为 $2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 先通过直线解析式求出它与x轴交点A、与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，代入后直接可得c的值，整理等式即可得到a、b满足的关系式。
(2) 首先代入a的值，结合(1)的结论求出b，得到抛物线的完整解析式，进而确定抛物线的对称轴，再根据抛物线对称性求出点C的坐标。△ABP的周长为AB+AP+BP，其中AB的长度是固定值，因此周长最小等价于AP+BP最小；利用抛物线对称性可知点A与点C关于对称轴对称，因此AP=CP，那么AP+BP=PC+BP，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时PC+BP取得最小值，即BC的长度，最后用勾股定理分别计算AB、BC的长度，二者相加即为△ABP周长的最小值。
【解析】
(1) 对于直线 $y=-x-2$，
当 $x=0$ 时，$y=-2$，$\therefore B(0,-2)$，
当 $y=0$ 时，$x=-2$，$\therefore A(-2,0)$。
将点 $A(-2,0)$、$B(0,-2)$ 分别代入抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 中，得：
$\begin{cases} 4a-2b+c=0 \\ c=-2 \end{cases}$
将$c=-2$代入第一个等式，整理得$2a-b=1$，
即a,b满足的关系式为$2a-b=1$，c的值为$-2$。
(2) 由(1)知$2a-b=1$，$c=-2$，
当 $a=\frac{1}{4}$ 时，代入得$2×\frac{1}{4}-b=1$，解得$b=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=\frac{1}{4}(x-1)^2-\frac{9}{4}$，
$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线 $x=1$，
由抛物线对称性可得点C坐标为$(4,0)$。
$△ ABP$的周长为$AB+AP+BP$，其中$AB$为定值，要使$△ ABP$的周长最小，只需$AP+BP$的值最小即可。
如图，连接$BC$交直线$x=1$于点$P$，

$\because$ 点$A$与点$C$关于直线$x=1$对称，由对称性可知$AP=PC$，
$\therefore AP+BP=PC+BP=BC$，此时$AP+BP$取得最小值，即$△ ABP$的周长最小，
$\therefore$ 此时$△ ABP$的周长等于$AB+BC$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
在$Rt△ BOC$中，$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore △ ABP$周长的最小值为$2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $a,b$满足的关系式为$\boldsymbol{2a-b=1}$，$c$的值为$\boldsymbol{-2}$；
(2)

$△ ABP$周长的最小值为$\boldsymbol{2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}$。
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数性质，最短路径问题
【点评】
本题综合考查了函数图象上点的坐标特征、二次函数的对称性、最短路径的应用以及勾股定理计算线段长度，解题的关键是利用轴对称将动态的周长最值问题转化为静态的两点间线段长度计算，是二次函数综合类的典型基础题型。
【难度系数】
0.6

四、二次函数与面积的最值
4. 如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2 - x + 4$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。
(1) 求点 $A,B$ 的坐标；
(2) 求 $△ ABC$ 的面积；
(3) $P$ 为第二象限内抛物线上的一个动点，求 $△ ACP$ 面积的最大值。

4. 解:(1)令 y=0,则 $0=-\frac{1}{2}x^2-x+4$.
解得 $x_1=-4,x_2=2$.
∴A(-4,0),B(2,0).
(2)令 x=0,可得 y=4.
∴C(0,4).
∴AB=6,CO=4.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CO=\frac{1}{2}×6×4=12$.
(3)如图,作 PD⊥AO 交 AC 于点 D.

设直线 AC 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$.
将点 A(-4,0),C(0,4)代入,得$\begin{cases} 0=-4k+b, \\ 4=b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=1, \\ b=4. \end{cases}$
∴直线 AC 的表达式为 y=x+4.
设 $P(t,-\frac{1}{2}t^2-t+4)$,则 D(t,t+4).
∴$PD=(-\frac{1}{2}t^2-t+4)-(t+4)$
$=-\frac{1}{2}t^2-2t$
$=-\frac{1}{2}(t+2)^2+2$.
∴$S_{△ACP}=\frac{1}{2}PD·|x_A|$
$=\frac{1}{2}×[-\frac{1}{2}(t+2)^2+2]×4$
$=-(t+2)^2+4$.
∴当 t=-2 时,△ACP 面积的最大值是 4.

【分析】
(1) 求抛物线与x轴交点A、B的坐标，利用x轴上点纵坐标为0的性质，令y=0，解对应的一元二次方程得到横坐标，结合A在B左侧即可写出两点坐标。
(2) 求△ABC的面积，先令x=0求出抛物线与y轴交点C的坐标，得到高OC的长度，再由A、B坐标算出底AB的长度，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 求△ACP面积最大值，采用铅垂高法：先求出直线AC的解析式，设P点横坐标为t，写出P和AC上同横坐标的点D的坐标，得到铅垂高PD的表达式，将△ACP的面积转化为关于t的二次函数，结合P在第二象限的取值范围，求二次函数的最大值即可。
【解析】
(1) 令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$0=-\frac{1}{2}x^2-x+4$
解方程得$x_1=-4,x_2=2$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-4,0)$，$B(2,0)$。
(2) 令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=4$，
∴$C(0,4)$，
$AB=2-(-4)=6$，$OC=4$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×6×4=12$。
(3) 如图，作$PD⊥AO$交AC于点D。

设直线AC的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(-4,0)$、$C(0,4)$代入得：
$\begin{cases} 0=-4k+b \\ 4=b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=4 \end{cases}$，
∴直线AC的解析式为$y=x+4$。
设第二象限内点P的坐标为$(t,-\frac{1}{2}t^2-t+4)$（$-4＜t＜0$），则D点坐标为$(t,t+4)$，
∴$PD=(-\frac{1}{2}t^2-t+4)-(t+4)=-\frac{1}{2}t^2-2t=-\frac{1}{2}(t+2)^2+2$，
$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}PD·|x_A|=\frac{1}{2}×[-\frac{1}{2}(t+2)^2+2]×4=-(t+2)^2+4$，
该二次函数开口向下，当$t=-2$时，面积取得最大值4。
【答案】
4. 解:(1)令 y=0,则 $0=-\frac{1}{2}x^2-x+4$.
解得 $x_1=-4,x_2=2$.
∴A(-4,0),B(2,0).
(2)令 x=0,可得 y=4.
∴C(0,4).
∴AB=6,CO=4.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CO=\frac{1}{2}×6×4=12$.
(3)如图,作 PD⊥AO 交 AC 于点 D.

设直线 AC 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$.
将点 A(-4,0),C(0,4)代入,得$\begin{cases} 0=-4k+b, \\ 4=b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=1, \\ b=4. \end{cases}$
∴直线 AC 的表达式为 y=x+4.
设 $P(t,-\frac{1}{2}t^2-t+4)$,则 D(t,t+4).
∴$PD=(-\frac{1}{2}t^2-t+4)-(t+4)$
$=-\frac{1}{2}t^2-2t$
$=-\frac{1}{2}(t+2)^2+2$.
∴$S_{△ACP}=\frac{1}{2}PD·|x_A|$
$=\frac{1}{2}×[-\frac{1}{2}(t+2)^2+2]×4$
$=-(t+2)^2+4$.
∴当 t=-2 时,△ACP 面积的最大值是 4.
【知识点】
二次函数交点求解、一次函数解析式确定、二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数与几何面积结合的典型习题，前两问侧重基础，考查二次函数基本性质的应用；第三问通过铅垂法将三角形面积转化为二次函数求最值，体现了数形结合和函数思想的应用，是二次函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.7