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6. (2025 惠州月考)一个小球从地面竖直向上弹出,它在空中距离地面的高度$h$(m)与弹出的时间$t$(s)满足的关系式为 $h=15t-5t^2$.当小球第一次距离地面 10 m 时,小球弹出的时间是多少秒？
答案
6. 解:当$h=10$时,$15t-5t^2=10$,
解得$t_1=1,t_2=2$,
$\because$小球第一次距离地面 10 m,
$\therefore t=1$,即 1 s.
解得$t_1=1,t_2=2$,
$\because$小球第一次距离地面 10 m,
$\therefore t=1$,即 1 s.
解析
【分析】
要求小球第一次距离地面10m时的弹出时间，首先结合已知的高度h与时间t的关系式，将h=10代入关系式即可得到关于t的一元二次方程；解出方程的两个根后，结合“第一次距离地面10m”的实际场景分析：小球上升过程中第一次到达10m的时间更小，下落过程中第二次到达10m的时间更大，因此取较小的根即为所求结果。
【解析】
解：当小球距离地面高度$h=10\mathrm{m}$时，将$h=10$代入$h=15t-5t^2$，可得：
$15t-5t^2=10$
整理方程得：$t^2-3t+2=0$
因式分解得：$(t-1)(t-2)=0$
解得：$t_1=1$，$t_2=2$
∵$t=1\mathrm{s}$是小球上升过程中第一次到达10m的时间，$t=2\mathrm{s}$是小球下落过程中第二次到达10m的时间，题目要求第一次到达的时间
∴取$t=1$
【答案】
1秒（或1s）
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，实际问题根的取舍
【点评】
本题是二次函数结合运动场景的基础应用题，解题关键是准确代入已知量建立方程，同时要结合实际场景对解出的根进行合理取舍，避免因忽略题意限制出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要求小球第一次距离地面10m时的弹出时间，首先结合已知的高度h与时间t的关系式，将h=10代入关系式即可得到关于t的一元二次方程；解出方程的两个根后，结合“第一次距离地面10m”的实际场景分析：小球上升过程中第一次到达10m的时间更小，下落过程中第二次到达10m的时间更大，因此取较小的根即为所求结果。
【解析】
解：当小球距离地面高度$h=10\mathrm{m}$时，将$h=10$代入$h=15t-5t^2$，可得：
$15t-5t^2=10$
整理方程得：$t^2-3t+2=0$
因式分解得：$(t-1)(t-2)=0$
解得：$t_1=1$，$t_2=2$
∵$t=1\mathrm{s}$是小球上升过程中第一次到达10m的时间，$t=2\mathrm{s}$是小球下落过程中第二次到达10m的时间，题目要求第一次到达的时间
∴取$t=1$
【答案】
1秒（或1s）
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，实际问题根的取舍
【点评】
本题是二次函数结合运动场景的基础应用题，解题关键是准确代入已知量建立方程，同时要结合实际场景对解出的根进行合理取舍，避免因忽略题意限制出现多解错误。
【难度系数】
0.7
7.抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为$(-4,0)$，对称轴为直线$x=-1$，则$y＞0$时，x的取值范围是
$x＜-4$或$x＞2$
。答案
7. $x＜-4$或$x＞2$
解析
【分析】
解题思路：首先利用抛物线的对称性，结合已知的x轴交点坐标和对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标；再根据抛物线的开口方向，判断y＞0对应的图像位置（x轴上方的部分），即可得到x的取值范围。具体步骤：1. 利用对称轴是两个x轴交点的中点横坐标，计算另一个交点坐标；2. 结合开口向上的图像特征，确定x轴上方对应的x区间。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且与x轴的一个交点为$(-4,0)$，
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点坐标为$(x,0)$，
则 $\frac{-4+x}{2}=-1$，
解得 $x=2$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(2,0)$。
由图像可知抛物线开口向上，当图像在x轴上方时$y＞0$，
对应x的取值范围为$x＜-4$或$x＞2$。
【答案】
$x＜-4$或$x＞2$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数图像性质；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数的图像与性质，结合数形结合思想解题，利用抛物线对称性求出未知交点是解题的关键，属于二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先利用抛物线的对称性，结合已知的x轴交点坐标和对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标；再根据抛物线的开口方向，判断y＞0对应的图像位置（x轴上方的部分），即可得到x的取值范围。具体步骤：1. 利用对称轴是两个x轴交点的中点横坐标，计算另一个交点坐标；2. 结合开口向上的图像特征，确定x轴上方对应的x区间。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且与x轴的一个交点为$(-4,0)$，
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点坐标为$(x,0)$，
则 $\frac{-4+x}{2}=-1$，
解得 $x=2$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(2,0)$。
由图像可知抛物线开口向上，当图像在x轴上方时$y＞0$，
对应x的取值范围为$x＜-4$或$x＞2$。
【答案】
$x＜-4$或$x＞2$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数图像性质；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数的图像与性质，结合数形结合思想解题，利用抛物线对称性求出未知交点是解题的关键，属于二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 如图，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4),B(1,1)$，则关于$x$的方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为
$x_1=-2$
$x_2=1$
.答案
8. $x_1=-2,x_2=1$
解析
【分析】
拿到题目首先观察所求方程的形式，我们可以先对目标方程变形，将其转化为两个函数表达式相等的形式：$ax^2 = bx + c$。根据所学的函数与方程的关系可知，两个函数图象交点的横坐标，就是对应两个函数值相等时方程的解。本题已经直接给出了抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标就能得到方程的解，无需计算参数$a、b、c$的值再解方程。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c = 0$变形为$ax^2 = bx + c$。
根据函数与方程的关系，方程$ax^2 = bx + c$的解就是抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交点的横坐标。
已知两函数图象的交点坐标为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
函数与方程的关系，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程的解
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程求解问题转化为函数图象交点问题，省略了参数计算的步骤，是二次函数模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先观察所求方程的形式，我们可以先对目标方程变形，将其转化为两个函数表达式相等的形式：$ax^2 = bx + c$。根据所学的函数与方程的关系可知，两个函数图象交点的横坐标，就是对应两个函数值相等时方程的解。本题已经直接给出了抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标就能得到方程的解，无需计算参数$a、b、c$的值再解方程。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c = 0$变形为$ax^2 = bx + c$。
根据函数与方程的关系，方程$ax^2 = bx + c$的解就是抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交点的横坐标。
已知两函数图象的交点坐标为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
函数与方程的关系，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程的解
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程求解问题转化为函数图象交点问题，省略了参数计算的步骤，是二次函数模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
9. (2026西安一模)小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数。已知实心球出手时候的高度是2 m，当水平距离是4 m时，实心球达到最大高度3.6 m.
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；
(2)若规定在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于9.6 m时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由.
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；
(2)若规定在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于9.6 m时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由.
答案
9. 解:(1)由题意可知,抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$,
设抛物线的函数表达式是$y=a(x-4)^2+3.6(a≠0)$,
把点$(0,2)$代入,得$a(0-4)^2+3.6=2$,
解得$a=-\dfrac{1}{10}$,
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6$.
(2)小明在这次投掷中得到了满分.理由如下:
当$y=0$时,则$-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6=0$,
解得$x=10$或$x=-2$(舍去),
$\because 10＞9.6$,
$\therefore$小明在这次投掷中得到了满分.
设抛物线的函数表达式是$y=a(x-4)^2+3.6(a≠0)$,
把点$(0,2)$代入,得$a(0-4)^2+3.6=2$,
解得$a=-\dfrac{1}{10}$,
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6$.
(2)小明在这次投掷中得到了满分.理由如下:
当$y=0$时,则$-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6=0$,
解得$x=10$或$x=-2$(舍去),
$\because 10＞9.6$,
$\therefore$小明在这次投掷中得到了满分.
解析
【分析】
(1) 求解二次函数解析式时，已知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，因此优先选择顶点式设函数表达式，再将实心球出手点的坐标$(0,2)$代入表达式，即可求出未知参数$a$，得到最终的函数解析式。
(2) 要判断是否得满分，需先求实心球落地点对应的水平距离：落地点处实心球竖直高度$y=0$，将$y=0$代入已求得的函数解析式，解出$x$的正根（水平距离不能为负，舍去负根），再将结果与$9.6\mathrm{m}$比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2+3.6(a≠0)$。
实心球出手时高度为$2\mathrm{m}$，即点$(0,2)$在抛物线上，将$(0,2)$代入表达式得：
$a(0-4)^2+3.6=2$
解得$a=-\dfrac{1}{10}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6$。
(2) 小明此次投掷能得到满分，理由如下：
实心球落地时竖直高度为0，令$y=0$，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6=0$
解得$x=10$或$x=-2$，由于水平距离不能为负，故舍去$x=-2$，即小明投掷的水平距离为$10\mathrm{m}$。
$\because 10＞9.6$
$\therefore$ 小明此次投掷能得到满分。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6$；
(2) 小明在此次投掷中能得到满分。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活中投掷实心球的场景考查二次函数的相关应用，解题的关键是根据已知条件选择合适的函数解析式形式，求解后要注意结合实际情况舍去不符合题意的解，整体考察内容基础，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
(1) 求解二次函数解析式时，已知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，因此优先选择顶点式设函数表达式，再将实心球出手点的坐标$(0,2)$代入表达式，即可求出未知参数$a$，得到最终的函数解析式。
(2) 要判断是否得满分，需先求实心球落地点对应的水平距离：落地点处实心球竖直高度$y=0$，将$y=0$代入已求得的函数解析式，解出$x$的正根（水平距离不能为负，舍去负根），再将结果与$9.6\mathrm{m}$比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2+3.6(a≠0)$。
实心球出手时高度为$2\mathrm{m}$，即点$(0,2)$在抛物线上，将$(0,2)$代入表达式得：
$a(0-4)^2+3.6=2$
解得$a=-\dfrac{1}{10}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6$。
(2) 小明此次投掷能得到满分，理由如下：
实心球落地时竖直高度为0，令$y=0$，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6=0$
解得$x=10$或$x=-2$，由于水平距离不能为负，故舍去$x=-2$，即小明投掷的水平距离为$10\mathrm{m}$。
$\because 10＞9.6$
$\therefore$ 小明此次投掷能得到满分。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{10}(x-4)^2+3.6$；
(2) 小明在此次投掷中能得到满分。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活中投掷实心球的场景考查二次函数的相关应用，解题的关键是根据已知条件选择合适的函数解析式形式，求解后要注意结合实际情况舍去不符合题意的解，整体考察内容基础，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
10. 如果抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”.现有以下说法：
①抛物线$y=-x^2+2x-3$不存在“量子三角形”；
②若抛物线$y=x^2+bx$的“量子三角形”是等边三角形，则该等边三角形的面积是$3\sqrt{3}$；
③若抛物线$y=ax^2+bx+c$中系数$a,b,c$均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条.
其中，正确的说法个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
①抛物线$y=-x^2+2x-3$不存在“量子三角形”；
②若抛物线$y=x^2+bx$的“量子三角形”是等边三角形，则该等边三角形的面积是$3\sqrt{3}$；
③若抛物线$y=ax^2+bx+c$中系数$a,b,c$均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条.
其中，正确的说法个数是（
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
10. D
解析
【分析】
要判断三个说法的正误，首先明确“量子三角形”的成立前提：抛物线与x轴有两个不同交点（即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$），再结合特殊三角形的性质分别分析：
1. 对于①，直接计算判别式，判断抛物线与x轴的交点个数即可；
2. 对于②，先求抛物线与x轴的两个交点距离（即三角形底边长），再求顶点纵坐标的绝对值（即三角形的高），结合等边三角形“高$=\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长”的性质列方程求解，再计算面积验证；
3. 对于③，先由等腰直角三角形“高$=\frac{1}{2}×$底边长”的性质推导得到$\Delta=4$，再结合a、b、c均为绝对值不大于1的整数的条件，枚举所有符合条件的抛物线计数即可。
【解析】
我们逐一判断三个说法：
判断①
对于抛物线$y=-x^2+2x-3$，判别式$\Delta = b^2-4ac = 2^2 -4×(-1)×(-3) = 4-12=-8＜0$，抛物线与x轴无交点，因此不存在“量子三角形”，①正确。
判断②
对于抛物线$y=x^2+bx$：
1. 求x轴交点：令$y=0$，得$x^2+bx=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-b$，则两交点距离（底边长）为$|x_1-x_2|=|b|$，且$\Delta = b^2＞0$，故$b≠0$。
2. 求顶点高：顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0 - b^2}{4}=-\frac{b^2}{4}$，因此三角形的高$h=\left|-\frac{b^2}{4}\right|=\frac{b^2}{4}$。
3. 等边三角形性质：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×$底边长，即$\frac{b^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}|b|$，设$t=|b|(t＞0)$，则$\frac{t^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}t$，解得$t=2\sqrt{3}$，即底边长为$2\sqrt{3}$，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=3$。
4. 面积计算：$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$，②正确。
判断③
若“量子三角形”为等腰直角三角形：
1. 推导判别式条件：设两交点距离为$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，顶点高$h=\frac{\Delta}{4|a|}$，由等腰直角三角形性质得$h=\frac{1}{2}|x_1-x_2|$，代入得$\frac{\Delta}{4|a|}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，化简得$\sqrt{\Delta}=2$，即$\Delta=4$。
2. 枚举符合条件的系数：已知$a,b,c$为绝对值不大于1的整数，且$a≠0$，故$a\in\{-1,1\}$，$b\in\{-1,0,1\}$，$c\in\{-1,0,1\}$。
由$\Delta=b^2-4ac=4$，因$b^2≤1$，故$-4ac=4-b^2≥3$，即$ac=-\frac{4-b^2}{4}≤-\frac{3}{4}$，结合$a,c$为整数，得$ac=-1$，此时$4-b^2=4$，即$b=0$。
符合条件的组合为：$\begin{cases}a=1,c=-1\\a=-1,c=1\end{cases}$，对应抛物线为$y=x^2-1$、$y=-x^2+1$，共2条，③正确。
综上，①②③均正确，正确说法个数为3。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，特殊三角形的性质，一元二次方程判别式
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与几何的综合应用，需要熟练掌握二次函数交点、顶点坐标的求解方法，结合特殊三角形的边长关系列方程求解，枚举系数时要注意约束条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
要判断三个说法的正误，首先明确“量子三角形”的成立前提：抛物线与x轴有两个不同交点（即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$），再结合特殊三角形的性质分别分析：
1. 对于①，直接计算判别式，判断抛物线与x轴的交点个数即可；
2. 对于②，先求抛物线与x轴的两个交点距离（即三角形底边长），再求顶点纵坐标的绝对值（即三角形的高），结合等边三角形“高$=\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长”的性质列方程求解，再计算面积验证；
3. 对于③，先由等腰直角三角形“高$=\frac{1}{2}×$底边长”的性质推导得到$\Delta=4$，再结合a、b、c均为绝对值不大于1的整数的条件，枚举所有符合条件的抛物线计数即可。
【解析】
我们逐一判断三个说法：
判断①
对于抛物线$y=-x^2+2x-3$，判别式$\Delta = b^2-4ac = 2^2 -4×(-1)×(-3) = 4-12=-8＜0$，抛物线与x轴无交点，因此不存在“量子三角形”，①正确。
判断②
对于抛物线$y=x^2+bx$：
1. 求x轴交点：令$y=0$，得$x^2+bx=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-b$，则两交点距离（底边长）为$|x_1-x_2|=|b|$，且$\Delta = b^2＞0$，故$b≠0$。
2. 求顶点高：顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0 - b^2}{4}=-\frac{b^2}{4}$，因此三角形的高$h=\left|-\frac{b^2}{4}\right|=\frac{b^2}{4}$。
3. 等边三角形性质：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×$底边长，即$\frac{b^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}|b|$，设$t=|b|(t＞0)$，则$\frac{t^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}t$，解得$t=2\sqrt{3}$，即底边长为$2\sqrt{3}$，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=3$。
4. 面积计算：$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$，②正确。
判断③
若“量子三角形”为等腰直角三角形：
1. 推导判别式条件：设两交点距离为$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，顶点高$h=\frac{\Delta}{4|a|}$，由等腰直角三角形性质得$h=\frac{1}{2}|x_1-x_2|$，代入得$\frac{\Delta}{4|a|}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，化简得$\sqrt{\Delta}=2$，即$\Delta=4$。
2. 枚举符合条件的系数：已知$a,b,c$为绝对值不大于1的整数，且$a≠0$，故$a\in\{-1,1\}$，$b\in\{-1,0,1\}$，$c\in\{-1,0,1\}$。
由$\Delta=b^2-4ac=4$，因$b^2≤1$，故$-4ac=4-b^2≥3$，即$ac=-\frac{4-b^2}{4}≤-\frac{3}{4}$，结合$a,c$为整数，得$ac=-1$，此时$4-b^2=4$，即$b=0$。
符合条件的组合为：$\begin{cases}a=1,c=-1\\a=-1,c=1\end{cases}$，对应抛物线为$y=x^2-1$、$y=-x^2+1$，共2条，③正确。
综上，①②③均正确，正确说法个数为3。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，特殊三角形的性质，一元二次方程判别式
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与几何的综合应用，需要熟练掌握二次函数交点、顶点坐标的求解方法，结合特殊三角形的边长关系列方程求解，枚举系数时要注意约束条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
