登录
【例1】某种商品一月份的销售量为100件，由于采取促销措施，销售量稳步增长，三月份的销售量为144件。
(1)求该商品一月至三月份销售量的月平均
增长率；
(2)如果四月份该商品保持相同的增长率，求该商品四月份的销售量(结果保留整数)。
方法技巧 变化率问题
(1)解此类问题所列的方程时，一般用平方根的意义法求解。
(2)增长(降低)率不能是负数，降低率要小于1。
(1)求该商品一月至三月份销售量的月平均
增长率；
(2)如果四月份该商品保持相同的增长率，求该商品四月份的销售量(结果保留整数)。
方法技巧 变化率问题
(1)解此类问题所列的方程时，一般用平方根的意义法求解。
(2)增长(降低)率不能是负数，降低率要小于1。
答案
(1) 设一月至三月份销售量的月平均增长率为x，根据题意，得100(1+x)²=144，解得x₁=0.2=20%，x₂=-2.2(舍去)。答：一月至三月份销售量的月平均增长率为20%。
(2)
∵144×(1+20%)=172.8≈173(件)，
∴该商品四月份的销售量约为173件。
(2)
∵144×(1+20%)=172.8≈173(件)，
∴该商品四月份的销售量约为173件。
解析
【分析】
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：
(1) 解决第一问时，首先回忆平均增长率的通用公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则有$a(1+x)^n=b$。本题中初始量是一月份的100件，到三月份一共增长了2次，最终量是144件，因此设月平均增长率为x，代入公式即可列出一元二次方程；求解方程后，结合增长率不能为负数的实际要求，舍去不符合题意的负根，得到正确的增长率。
(2) 解决第二问时，已知三月份的销量和平均增长率，四月份销量就是三月份销量乘以(1+增长率)，计算后结合销量是正整数的要求，对结果取整即可。
【解析】
(1) 设该商品一月至三月份销售量的月平均增长率为x。
从一月到三月共经过2次增长，根据题意列方程：
$100(1+x)^2=144$
两边同时除以100得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不符合实际意义，舍去。
(2) 四月份的销售量为三月份销量乘以(1+增长率)，即：
$144×(1+20\%)=172.8$
因为销售量为正整数，所以对172.8取整得173件。
【答案】
(1) 一月至三月份销售量的月平均增长率为20%；
(2) 该商品四月份的销售量约为173件。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率计算，近似数的取法
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题，核心是掌握增长率的通用计算公式，解题时要注意结合实际场景对求解出的根进行取舍，最终结果也要符合实际意义的要求。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：
(1) 解决第一问时，首先回忆平均增长率的通用公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则有$a(1+x)^n=b$。本题中初始量是一月份的100件，到三月份一共增长了2次，最终量是144件，因此设月平均增长率为x，代入公式即可列出一元二次方程；求解方程后，结合增长率不能为负数的实际要求，舍去不符合题意的负根，得到正确的增长率。
(2) 解决第二问时，已知三月份的销量和平均增长率，四月份销量就是三月份销量乘以(1+增长率)，计算后结合销量是正整数的要求，对结果取整即可。
【解析】
(1) 设该商品一月至三月份销售量的月平均增长率为x。
从一月到三月共经过2次增长，根据题意列方程：
$100(1+x)^2=144$
两边同时除以100得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不符合实际意义，舍去。
(2) 四月份的销售量为三月份销量乘以(1+增长率)，即：
$144×(1+20\%)=172.8$
因为销售量为正整数，所以对172.8取整得173件。
【答案】
(1) 一月至三月份销售量的月平均增长率为20%；
(2) 该商品四月份的销售量约为173件。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率计算，近似数的取法
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题，核心是掌握增长率的通用计算公式，解题时要注意结合实际场景对求解出的根进行取舍，最终结果也要符合实际意义的要求。
【难度系数】
0.8
【变式】(2026南京月考)某景区六月份游客接待量为640万人次，八月份游客接待量为810万人次，设七、八月份游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为
640(1+x)²=810
。答案
640(1+x)²=810
解析
【分析】
本题是平均增长率类的一元二次方程应用题，解题时可按照以下思路推导：首先明确初始量为六月份的游客接待量640万人次，月平均增长率为x；其次理清增长次数：从六月到八月共经历2次增长（六月到七月为第一次，七月到八月为第二次）；再根据平均增长率的计算规律，每次增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，依次推导七月份、八月份的接待量表达式；最后结合已知的八月份实际接待量，列出等量关系即可得到方程。
【解析】
解：已知六月份游客接待量为640万人次，七、八月份的月平均增长率为x。
1. 计算七月份游客接待量：七月份是在六月份的基础上增长x，因此七月份接待量为 $640(1+x)$ 万人次；
2. 计算八月份游客接待量：八月份是在七月份的基础上再增长x，因此八月份接待量为 $640(1+x) × (1+x) = 640(1+x)^2$ 万人次；
3. 已知八月份游客接待量为810万人次，因此可列方程：$640(1+x)^2 = 810$。
【答案】
$640(1+x)^2=810$
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率问题的基础考法，解题核心是准确判断增长次数，掌握“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”的等量关系，即可快速列出方程，是应用题中较为常规的考点。
【难度系数】
0.8
本题是平均增长率类的一元二次方程应用题，解题时可按照以下思路推导：首先明确初始量为六月份的游客接待量640万人次，月平均增长率为x；其次理清增长次数：从六月到八月共经历2次增长（六月到七月为第一次，七月到八月为第二次）；再根据平均增长率的计算规律，每次增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，依次推导七月份、八月份的接待量表达式；最后结合已知的八月份实际接待量，列出等量关系即可得到方程。
【解析】
解：已知六月份游客接待量为640万人次，七、八月份的月平均增长率为x。
1. 计算七月份游客接待量：七月份是在六月份的基础上增长x，因此七月份接待量为 $640(1+x)$ 万人次；
2. 计算八月份游客接待量：八月份是在七月份的基础上再增长x，因此八月份接待量为 $640(1+x) × (1+x) = 640(1+x)^2$ 万人次；
3. 已知八月份游客接待量为810万人次，因此可列方程：$640(1+x)^2 = 810$。
【答案】
$640(1+x)^2=810$
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率问题的基础考法，解题核心是准确判断增长次数，掌握“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”的等量关系，即可快速列出方程，是应用题中较为常规的考点。
【难度系数】
0.8
【例2】“新年平安，多‘盔’有你”.在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元.经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶.设每顶头盔降价x元.若该商店期望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？
答案
根据题意，得(68-x-40)(100+20x)=4000。整理，得x²-23x+60=0，解得x₁=3，x₂=20。当x=3时，68-x=68-3=65＞58，不符合题意，舍去；当x=20时，68-x=68-20=48＜58，符合题意。答：每顶头盔应降价20元。
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单顶利润×销售数量”这个等量关系。首先确定两个关键量：①单顶头盔的利润：原售价68元，降价x元后实际售价为(68-x)元，减去进价40元即为单顶利润；②销售总数量：原本每周售100顶，每降价1元多售20顶，降价x元后每周销量为(100+20x)顶。将两个量相乘等于期望总利润4000元即可列方程，求解后还要根据“每顶售价不高于58元”的限制条件，对根进行检验，舍去不符合要求的解。
【解析】
解：根据题意，单顶头盔的利润为$(68 - x - 40)$元，每周的销售数量为$(100 + 20x)$顶，由总利润为4000元列方程得：
$(68 - x - 40)(100 + 20x) = 4000$
整理方程，得：
$x^2 - 23x + 60 = 0$
解得：
$x_1 = 3，x_2 = 20$
检验解是否符合售价限制：
当$x=3$时，售价为$68 - 3 = 65$元，$65＞58$，不符合“每顶售价不高于58元”的要求，舍去；
当$x=20$时，售价为$68 - 20 = 48$元，$48＜58$，符合题意。
【答案】
每顶头盔应降价20元
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；方程根的检验
【点评】
本题属于典型的销售类实际应用题，解题的核心是找准利润、销量与总利润之间的等量关系建立方程，需要特别注意题目给出的限制条件，必须对求出的方程的根进行合理性检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单顶利润×销售数量”这个等量关系。首先确定两个关键量：①单顶头盔的利润：原售价68元，降价x元后实际售价为(68-x)元，减去进价40元即为单顶利润；②销售总数量：原本每周售100顶，每降价1元多售20顶，降价x元后每周销量为(100+20x)顶。将两个量相乘等于期望总利润4000元即可列方程，求解后还要根据“每顶售价不高于58元”的限制条件，对根进行检验，舍去不符合要求的解。
【解析】
解：根据题意，单顶头盔的利润为$(68 - x - 40)$元，每周的销售数量为$(100 + 20x)$顶，由总利润为4000元列方程得：
$(68 - x - 40)(100 + 20x) = 4000$
整理方程，得：
$x^2 - 23x + 60 = 0$
解得：
$x_1 = 3，x_2 = 20$
检验解是否符合售价限制：
当$x=3$时，售价为$68 - 3 = 65$元，$65＞58$，不符合“每顶售价不高于58元”的要求，舍去；
当$x=20$时，售价为$68 - 20 = 48$元，$48＜58$，符合题意。
【答案】
每顶头盔应降价20元
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；方程根的检验
【点评】
本题属于典型的销售类实际应用题，解题的核心是找准利润、销量与总利润之间的等量关系建立方程，需要特别注意题目给出的限制条件，必须对求出的方程的根进行合理性检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
