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【变式】某商场将进货单价为55元的某种服装以每件75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利800元，则每件应降价
10
元.答案
10
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”这一等量关系。首先设每件降价x元，分别表示出降价后的单件利润和销售数量，再根据总盈利800元列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求筛选符合题意的解即可。
【解析】
设每件应降价$ x $元，根据题意列方程：
$(75 - 55 - x)(30 + 5x) = 800$
化简得：
$(20 - x)(30 + 5x) = 800$
展开并整理方程：
$600 + 100x - 30x - 5x^2 = 800 \x^2 - 14x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 10) = 0$
解得$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 10 $。
由于要尽快减少库存，降价越多，每日销售量越大，库存减少越快，因此舍去$ x=4 $，取$ x=10 $。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；一元二次方程的求解
【点评】
本题是销售类问题的常规题型，解题的关键是找准等量关系正确列方程，同时要注意题干中的实际限制条件，避免遗漏对根的合理性检验。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”这一等量关系。首先设每件降价x元，分别表示出降价后的单件利润和销售数量，再根据总盈利800元列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求筛选符合题意的解即可。
【解析】
设每件应降价$ x $元，根据题意列方程：
$(75 - 55 - x)(30 + 5x) = 800$
化简得：
$(20 - x)(30 + 5x) = 800$
展开并整理方程：
$600 + 100x - 30x - 5x^2 = 800 \x^2 - 14x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 10) = 0$
解得$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 10 $。
由于要尽快减少库存，降价越多，每日销售量越大，库存减少越快，因此舍去$ x=4 $，取$ x=10 $。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；一元二次方程的求解
【点评】
本题是销售类问题的常规题型，解题的关键是找准等量关系正确列方程，同时要注意题干中的实际限制条件，避免遗漏对根的合理性检验。
【难度系数】
0.7
1.某机械厂七月份生产零件5万个，九月份生产零件7.2万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
（
A.$5(1-x)^2=7.2$
B.$5(1+x)^2=7.2$
C.$7.2(1-x)^2=5$
D.$5(1+x^2)=7.2$
（
B
）A.$5(1-x)^2=7.2$
B.$5(1+x)^2=7.2$
C.$7.2(1-x)^2=5$
D.$5(1+x^2)=7.2$
答案
1. B
解析
【分析】
这是典型的平均增长率问题，解题思路如下：首先明确初始量是七月份的产量5万个，增长次数为2次（七月到八月1次，八月到九月1次），平均月增长率为x，最终量是九月份的7.2万个。回忆连续增长的数量关系：每一次增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，先推导八月份产量，再推导九月份产量，最后结合九月份的实际产量列方程即可。同时注意增长率对应“1+x”，下降率才对应“1-x”，可先排除相关错误选项。
【解析】
解：已知七月份生产零件5万个，八、九月份平均每月的增长率为x。
1. 计算八月份产量：八月份在七月份的基础上增长x，因此八月份产量为$5(1+x)$万个；
2. 计算九月份产量：九月份在八月份的基础上再增长x，因此九月份产量为$5(1+x) × (1+x) = 5(1+x)^2$万个；
3. 结合题干给出的九月份产量为7.2万个，列方程得：$5(1+x)^2=7.2$。
因此符合题意的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，核心是掌握连续增长的数量公式：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，解题时只要找准初始量、增长次数、最终量三个关键量，代入公式即可快速列方程，同时要注意区分增长率和下降率的符号差异。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均增长率问题，解题思路如下：首先明确初始量是七月份的产量5万个，增长次数为2次（七月到八月1次，八月到九月1次），平均月增长率为x，最终量是九月份的7.2万个。回忆连续增长的数量关系：每一次增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，先推导八月份产量，再推导九月份产量，最后结合九月份的实际产量列方程即可。同时注意增长率对应“1+x”，下降率才对应“1-x”，可先排除相关错误选项。
【解析】
解：已知七月份生产零件5万个，八、九月份平均每月的增长率为x。
1. 计算八月份产量：八月份在七月份的基础上增长x，因此八月份产量为$5(1+x)$万个；
2. 计算九月份产量：九月份在八月份的基础上再增长x，因此九月份产量为$5(1+x) × (1+x) = 5(1+x)^2$万个；
3. 结合题干给出的九月份产量为7.2万个，列方程得：$5(1+x)^2=7.2$。
因此符合题意的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，核心是掌握连续增长的数量公式：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，解题时只要找准初始量、增长次数、最终量三个关键量，代入公式即可快速列方程，同时要注意区分增长率和下降率的符号差异。
【难度系数】
0.8
2. (2025宁夏期末)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元.若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是 (
A.$(x+3)(4-0.5x)=15$
B.$(x+3)(4+0.5x)=15$
C.$(x+4)(3-0.5x)=15$
D.$(x+1)(4-0.5x)=15$
A
)A.$(x+3)(4-0.5x)=15$
B.$(x+3)(4+0.5x)=15$
C.$(x+4)(3-0.5x)=15$
D.$(x+1)(4-0.5x)=15$
答案
2. A
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先要明确总盈利的计算逻辑：每盆总盈利=每盆总株数×平均每株的盈利。我们可以分两步梳理变量：首先设每盆多植x株，结合原来每盆3株的已知条件，可得到现在每盆的总株数；再结合“每多植1株，单株盈利减少0.5元”的规则，算出现在平均每株的盈利，最后将两个量相乘等于总盈利15元，就能得到对应的方程。
【解析】
第一步：计算现在每盆的总株数
原来每盆植3株，现在每盆多植x株，因此现在每盆总株数为$ x+3 $株。
第二步：计算现在平均每株的盈利
原来平均每株盈利4元，每多植1株单株盈利减少0.5元，多植x株后单株盈利共减少$ 0.5x $元，因此现在平均每株盈利为$ 4-0.5x $元。
第三步：根据总盈利等量关系列方程
总盈利=每盆总株数×平均每株盈利，要求总盈利为15元，因此可列方程：
$ (x+3)(4-0.5x)=15 $
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润问题
【点评】
本题是销售利润类的基础应用题，解题核心是准确梳理题目中的数量变化规律，分别表示出总数量和单个利润，再结合总利润的等量关系列式即可，理清变量逻辑就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先要明确总盈利的计算逻辑：每盆总盈利=每盆总株数×平均每株的盈利。我们可以分两步梳理变量：首先设每盆多植x株，结合原来每盆3株的已知条件，可得到现在每盆的总株数；再结合“每多植1株，单株盈利减少0.5元”的规则，算出现在平均每株的盈利，最后将两个量相乘等于总盈利15元，就能得到对应的方程。
【解析】
第一步：计算现在每盆的总株数
原来每盆植3株，现在每盆多植x株，因此现在每盆总株数为$ x+3 $株。
第二步：计算现在平均每株的盈利
原来平均每株盈利4元，每多植1株单株盈利减少0.5元，多植x株后单株盈利共减少$ 0.5x $元，因此现在平均每株盈利为$ 4-0.5x $元。
第三步：根据总盈利等量关系列方程
总盈利=每盆总株数×平均每株盈利，要求总盈利为15元，因此可列方程：
$ (x+3)(4-0.5x)=15 $
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润问题
【点评】
本题是销售利润类的基础应用题，解题核心是准确梳理题目中的数量变化规律，分别表示出总数量和单个利润，再结合总利润的等量关系列式即可，理清变量逻辑就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. 为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商.其中，某药品原价为每盒 200 元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒 128 元，则每次降价的百分率为（
A.10％
B.20％
C.30％
D.80％
B
）A.10％
B.20％
C.30％
D.80％
答案
3. B
解析
【分析】
这是典型的平均降价率问题，解题遵循以下思路：首先明确平均变化率的等量关系：原价×(1-降价百分率)ⁿ=降价n次后的价格（n为降价次数）。本题中降价次数为2，原价、两次降价后的价格已知，我们可以设每次降价百分率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 200(1-x)^2 = 128 $
两边同时除以200得：
$ (1-x)^2 = 0.64 $
开平方得：
$ 1-x = \pm 0.8 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = 1.8 $
因为降价百分率不能大于1，故$ x_2 = 1.8 $不符合实际，舍去。
所以每次降价的百分率为20%，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题属于平均变化率的基础应用题，解题核心是准确找到题目中的等量关系列出方程，求解后要注意检验根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均降价率问题，解题遵循以下思路：首先明确平均变化率的等量关系：原价×(1-降价百分率)ⁿ=降价n次后的价格（n为降价次数）。本题中降价次数为2，原价、两次降价后的价格已知，我们可以设每次降价百分率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 200(1-x)^2 = 128 $
两边同时除以200得：
$ (1-x)^2 = 0.64 $
开平方得：
$ 1-x = \pm 0.8 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = 1.8 $
因为降价百分率不能大于1，故$ x_2 = 1.8 $不符合实际，舍去。
所以每次降价的百分率为20%，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题属于平均变化率的基础应用题，解题核心是准确找到题目中的等量关系列出方程，求解后要注意检验根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
4. (2025鹤岗期中)某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元.如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是
52
元.答案
4. 52
解析
【分析】
这是一道销售利润类应用题，解题核心是牢记等量关系：总利润=单个商品利润×销售总量。首先设定价为x元，先明确x的取值范围为50≤x≤55（定价从50元起涨且不超过55元）；其次推导单个利润为(x-40)元，再根据“每涨价1元销量减少10个”，推导销售量为[200-10(x-50)]个；最后根据总利润2160元列方程求解，求解后要结合定价限制舍去不符合要求的根。
【解析】
解：设该小家电每个定价为x元，由题意得50≤x≤55。
单个小家电利润：$(x-40)$元
实际销售量：$200-10(x-50)=700-10x$个
根据总利润公式列方程：
$(x-40)(700-10x)=2160$
整理得：$x^2-110x+3016=0$
解方程得：$x_1=52$，$x_2=58$
∵定价不得超过55元，$x_2=58＞55$，不符合题意，舍去
∴$x=52$
【答案】
52
【知识点】
销售利润计算、一元二次方程应用、方程根的取舍
【点评】
本题属于常规的一元二次方程实际应用问题，解题关键是找准数量关系正确列方程，尤其要注意题目给出的定价限制条件，避免求解后直接取根导致错误。
【难度系数】
0.6
这是一道销售利润类应用题，解题核心是牢记等量关系：总利润=单个商品利润×销售总量。首先设定价为x元，先明确x的取值范围为50≤x≤55（定价从50元起涨且不超过55元）；其次推导单个利润为(x-40)元，再根据“每涨价1元销量减少10个”，推导销售量为[200-10(x-50)]个；最后根据总利润2160元列方程求解，求解后要结合定价限制舍去不符合要求的根。
【解析】
解：设该小家电每个定价为x元，由题意得50≤x≤55。
单个小家电利润：$(x-40)$元
实际销售量：$200-10(x-50)=700-10x$个
根据总利润公式列方程：
$(x-40)(700-10x)=2160$
整理得：$x^2-110x+3016=0$
解方程得：$x_1=52$，$x_2=58$
∵定价不得超过55元，$x_2=58＞55$，不符合题意，舍去
∴$x=52$
【答案】
52
【知识点】
销售利润计算、一元二次方程应用、方程根的取舍
【点评】
本题属于常规的一元二次方程实际应用问题，解题关键是找准数量关系正确列方程，尤其要注意题目给出的定价限制条件，避免求解后直接取根导致错误。
【难度系数】
0.6
5.某商品每件的进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件.市场调查发现:销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品的销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x(元).要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？
答案
解：(x-30)[60-2(x-50)]=800，其中30≤x≤65，解得x₁=40，x₂=70(舍去)，故销售单价应定为40元。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售利润问题的核心等量关系：日销售利润=单件商品利润×日销售量。第一步先推导单件利润：售价为x元、进价为30元，因此单件利润为(x-30)元；第二步推导日销售量：已知单价50元时日销量为60件，单价每提高1元销量减少2件，那么单价为x元时，和基准单价50元的差价为(x-50)元，对应减少的销量为2(x-50)件，因此日销量为原销量减去减少的销量，即[60-2(x-50)]件；第三步根据日利润为800元列方程求解，最后结合“销售单价不能高于65元”的限制条件，舍去不符合实际要求的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据销售利润的等量关系列方程：
单件利润为$(x-30)$元，日销售量为$[60-2(x-50)]$件，且售价满足$30≤ x≤ 65$，因此：
$(x-30)[60-2(x-50)]=800$
整理方程：
$(x-30)(160-2x)=800$
展开并化简得：
$x^2-110x+2800=0$
因式分解得：
$(x-40)(x-70)=0$
解得$x_1=40$，$x_2=70$。
∵ 销售单价不能高于65元，
∴ $x_2=70$不符合题意，舍去，得$x=40$。
【答案】
销售单价应定为40元。
【知识点】
销售利润计算、一元二次方程应用、实际问题验根
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是找准利润的等量关系，正确根据单价变化规律表示出对应销量，要格外注意题目给出的价格限制条件，对求出的方程根进行取舍，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确销售利润问题的核心等量关系：日销售利润=单件商品利润×日销售量。第一步先推导单件利润：售价为x元、进价为30元，因此单件利润为(x-30)元；第二步推导日销售量：已知单价50元时日销量为60件，单价每提高1元销量减少2件，那么单价为x元时，和基准单价50元的差价为(x-50)元，对应减少的销量为2(x-50)件，因此日销量为原销量减去减少的销量，即[60-2(x-50)]件；第三步根据日利润为800元列方程求解，最后结合“销售单价不能高于65元”的限制条件，舍去不符合实际要求的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据销售利润的等量关系列方程：
单件利润为$(x-30)$元，日销售量为$[60-2(x-50)]$件，且售价满足$30≤ x≤ 65$，因此：
$(x-30)[60-2(x-50)]=800$
整理方程：
$(x-30)(160-2x)=800$
展开并化简得：
$x^2-110x+2800=0$
因式分解得：
$(x-40)(x-70)=0$
解得$x_1=40$，$x_2=70$。
∵ 销售单价不能高于65元，
∴ $x_2=70$不符合题意，舍去，得$x=40$。
【答案】
销售单价应定为40元。
【知识点】
销售利润计算、一元二次方程应用、实际问题验根
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是找准利润的等量关系，正确根据单价变化规律表示出对应销量，要格外注意题目给出的价格限制条件，对求出的方程根进行取舍，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.6
