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1. 如图，$△ ABC$ 的面积为4，$AC=4$，$∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$，$E$，$F$ 分别是线段 $AD$ 和 $AB$ 上的动点，求 $BE+EF$ 的最小值。
答案
【解】如图,作F关于AD的对称点F',根据角的轴对称性可知点F'在边AC上,连接EF',作BF''⊥AC于点F'',交AD于E'.
因为BE+EF=BE+EF'≥BF'',所以当E与E',F与F''重合时,BE+BF的值最小.
因为$\frac{1}{2}AC· BF''=4,AC=4$,
所以$BF''=2$,
所以$BE+EF$的最小值为2.
解析
【分析】
本题是最短路径求最值类问题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 转化线段：已知AD是∠BAC的角平分线，角是轴对称图形，对称轴为角平分线所在直线，因此AB上的点F关于AD的对称点F'一定落在AC边上，此时EF=EF'，待求的BE+EF就可以转化为BE+EF'；2. 确定最值位置：要使BE+EF'的和最小，根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，可知当B、E、F'三点共线，且这条连线与AC垂直时，线段长度最短，即B到AC的垂线段长度就是BE+EF的最小值；3. 计算最值：利用已知的△ABC的面积和AC的边长，通过三角形面积公式即可求出这条垂线段的长度。
【解析】
解：作点F关于AD的对称点F'，由角平分线的轴对称性可得点F'在AC边上，连接EF'，则EF=EF'，因此$BE+EF=BE+EF'$。
过点B作$BF''⊥ AC$于点F''，交AD于点E'，根据垂线段最短可知$BE+EF'≥ BF''$，即当E与E'重合，F'与F''重合时，BE+EF取得最小值，最小值为BF''的长度。
已知$S_{△ ABC}=4$，$AC=4$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BF''$，代入数值可得：
$\frac{1}{2}×4× BF''=4$
解得$BF''=2$。
【答案】
BE+EF的最小值为2。
【知识点】
最短路径问题；角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题将角平分线的性质、轴对称的应用与最短路径问题相结合，解题的核心是利用轴对称转化待求线段和，将折线最值问题转化为点到直线的距离问题，再结合三角形面积公式求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题是最短路径求最值类问题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 转化线段：已知AD是∠BAC的角平分线，角是轴对称图形，对称轴为角平分线所在直线，因此AB上的点F关于AD的对称点F'一定落在AC边上，此时EF=EF'，待求的BE+EF就可以转化为BE+EF'；2. 确定最值位置：要使BE+EF'的和最小，根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，可知当B、E、F'三点共线，且这条连线与AC垂直时，线段长度最短，即B到AC的垂线段长度就是BE+EF的最小值；3. 计算最值：利用已知的△ABC的面积和AC的边长，通过三角形面积公式即可求出这条垂线段的长度。
【解析】
解：作点F关于AD的对称点F'，由角平分线的轴对称性可得点F'在AC边上，连接EF'，则EF=EF'，因此$BE+EF=BE+EF'$。
过点B作$BF''⊥ AC$于点F''，交AD于点E'，根据垂线段最短可知$BE+EF'≥ BF''$，即当E与E'重合，F'与F''重合时，BE+EF取得最小值，最小值为BF''的长度。
已知$S_{△ ABC}=4$，$AC=4$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BF''$，代入数值可得：
$\frac{1}{2}×4× BF''=4$
解得$BF''=2$。
【答案】
BE+EF的最小值为2。
【知识点】
最短路径问题；角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题将角平分线的性质、轴对称的应用与最短路径问题相结合，解题的核心是利用轴对称转化待求线段和，将折线最值问题转化为点到直线的距离问题，再结合三角形面积公式求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
【典型例题2】
如图,某条护城河在$CC'$处直角转弯,河宽相同,从A处到达
B处,须经过两座桥(桥宽不计,桥与河垂直),设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的,恰当地造桥可使从A处到B处的路程最短,请确定两座桥的位置.
【解】如图,(1)将点A向下平移至点F,使AF的长等于河宽,将点B向右平移至点G,使BG的长等于河宽;
(2)连接GF,与河岸相交于点$E'$,$D'$;
(3)过点$D'$作$D'D⊥ CD$于点D,过点$E'$作$E'E⊥ CE$于点E,
则$DD'$,$EE'$即为两座桥的位置.
规律方法 "造桥选址"的根本是通过平移变换,按与河岸垂直的方向平移桥,使除桥外的其他路径平移后在一条直线上,具体如下表所示.
问题
已知两点A,B,直线$m// n$,在直线m,n上分别取点M,N,使$MN⊥ m$,且$AM+MN+BN$的值最小.
作法
将点A向下平移至点$A'$,使$AA'$的长等于直线m,n之间的距离,连接$A'B$,交直线n于点N,过点N作$NM⊥ m$,交直线m于点M,连接AM.
图例
$AM+MN+BN$的最小值为$A'B+MN$的值.
如图,某条护城河在$CC'$处直角转弯,河宽相同,从A处到达
B处,须经过两座桥(桥宽不计,桥与河垂直),设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的,恰当地造桥可使从A处到B处的路程最短,请确定两座桥的位置.
【解】如图,(1)将点A向下平移至点F,使AF的长等于河宽,将点B向右平移至点G,使BG的长等于河宽;
(2)连接GF,与河岸相交于点$E'$,$D'$;
(3)过点$D'$作$D'D⊥ CD$于点D,过点$E'$作$E'E⊥ CE$于点E,
则$DD'$,$EE'$即为两座桥的位置.
规律方法 "造桥选址"的根本是通过平移变换,按与河岸垂直的方向平移桥,使除桥外的其他路径平移后在一条直线上,具体如下表所示.
问题
已知两点A,B,直线$m// n$,在直线m,n上分别取点M,N,使$MN⊥ m$,且$AM+MN+BN$的值最小.
作法
将点A向下平移至点$A'$,使$AA'$的长等于直线m,n之间的距离,连接$A'B$,交直线n于点N,过点N作$NM⊥ m$,交直线m于点M,连接AM.
图例
$AM+MN+BN$的最小值为$A'B+MN$的值.
答案
解：
(1) 将点A向下平移至点F，使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G，使BG的长等于河宽；
(2) 连接GF，GF与护城河的内侧河岸相交于点$D'$、$E'$；
(3) 过点$D'$作$D'D ⊥ CD$，交外侧东西向河岸于点D，过点$E'$作$E'E ⊥ CE$，交外侧南北向河岸于点E。
则$DD'$，$EE'$即为所求的两座桥的位置，此时从A处到B处的路程最短。
(1) 将点A向下平移至点F，使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G，使BG的长等于河宽；
(2) 连接GF，GF与护城河的内侧河岸相交于点$D'$、$E'$；
(3) 过点$D'$作$D'D ⊥ CD$，交外侧东西向河岸于点D，过点$E'$作$E'E ⊥ CE$，交外侧南北向河岸于点E。
则$DD'$，$EE'$即为所求的两座桥的位置，此时从A处到B处的路程最短。
解析
【分析】
要解决这个最短路径问题，首先明确两座桥的长度为固定值（均等于河宽），因此总路程的长短仅由除桥外的行走路径决定。我们可以利用平移不改变线段长度的性质，将点A沿垂直于东西向河岸的方向平移1个河宽的距离，点B沿垂直于南北向河岸的方向平移1个河宽的距离，把带桥的复杂路径问题转化为“两点之间线段最短”的基础问题，找到平移后两点连线与内侧河岸的交点，再反推即可得到桥的位置。
【解析】
1. 平移端点：将点A向下平移至点F，使AF的长度等于河宽；将点B向右平移至点G，使BG的长度等于河宽，这一步是将固定的桥长从总路程中剥离，后续只需找F、G两点间的最短路径即可。
2. 连线找交点：连接GF，根据“两点之间线段最短”，GF的长度就是除桥外其余路径的最短长度，GF与护城河内侧河岸的交点记为$D'$、$E'$。
3. 确定桥位：过点$D'$作$D'D⊥CD$，交外侧东西向河岸于点D；过点$E'$作$E'E⊥CE$，交外侧南北向河岸于点E，$DD'$、$EE'$就符合桥与河垂直的要求，且此时总路程最短。
【答案】
解：
(1) 将点A向下平移至点F，使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G，使BG的长等于河宽；
(2) 连接GF，GF与护城河的内侧河岸相交于点$D'$、$E'$；
(3) 过点$D'$作$D'D ⊥ CD$，交外侧东西向河岸于点D，过点$E'$作$E'E ⊥ CE$，交外侧南北向河岸于点E。
则$DD'$，$EE'$即为所求的两座桥的位置，此时从A处到B处的路程最短。
【知识点】
平移的性质；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是造桥选址类最短路径的典型题型，解题核心是通过平移剥离固定长度的桥的部分，将复杂路径问题转化为两点之间线段最短的基础问题求解，解题时要注意平移方向必须与对应河岸垂直，平移距离等于河宽。
【难度系数】
0.6
要解决这个最短路径问题，首先明确两座桥的长度为固定值（均等于河宽），因此总路程的长短仅由除桥外的行走路径决定。我们可以利用平移不改变线段长度的性质，将点A沿垂直于东西向河岸的方向平移1个河宽的距离，点B沿垂直于南北向河岸的方向平移1个河宽的距离，把带桥的复杂路径问题转化为“两点之间线段最短”的基础问题，找到平移后两点连线与内侧河岸的交点，再反推即可得到桥的位置。
【解析】
1. 平移端点：将点A向下平移至点F，使AF的长度等于河宽；将点B向右平移至点G，使BG的长度等于河宽，这一步是将固定的桥长从总路程中剥离，后续只需找F、G两点间的最短路径即可。
2. 连线找交点：连接GF，根据“两点之间线段最短”，GF的长度就是除桥外其余路径的最短长度，GF与护城河内侧河岸的交点记为$D'$、$E'$。
3. 确定桥位：过点$D'$作$D'D⊥CD$，交外侧东西向河岸于点D；过点$E'$作$E'E⊥CE$，交外侧南北向河岸于点E，$DD'$、$EE'$就符合桥与河垂直的要求，且此时总路程最短。
【答案】
解：
(1) 将点A向下平移至点F，使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G，使BG的长等于河宽；
(2) 连接GF，GF与护城河的内侧河岸相交于点$D'$、$E'$；
(3) 过点$D'$作$D'D ⊥ CD$，交外侧东西向河岸于点D，过点$E'$作$E'E ⊥ CE$，交外侧南北向河岸于点E。
则$DD'$，$EE'$即为所求的两座桥的位置，此时从A处到B处的路程最短。
【知识点】
平移的性质；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是造桥选址类最短路径的典型题型，解题核心是通过平移剥离固定长度的桥的部分，将复杂路径问题转化为两点之间线段最短的基础问题求解，解题时要注意平移方向必须与对应河岸垂直，平移距离等于河宽。
【难度系数】
0.6
