4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 3$，$AB = 6$，则$∠ B$的度数为________。

4. $60°$ 【解析】在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于 $30°$,所以由$∠C=90°,BC=3,AB=6$,可得$∠A=30°$,所以$∠B=60°$.

【分析】
拿到题目首先明确这是直角三角形，已知一条直角边BC和斜边AB的长度，先观察二者的数量关系可得BC是AB的一半，接下来回忆含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°。先确定BC对应的锐角是∠A，求出∠A的度数后，再利用直角三角形两锐角互余的性质，即可算出∠B的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
$\because BC=3$，$AB=6$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
又$\because BC$是$∠ A$的对边，
$\therefore ∠ A=30°$（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为$30°$），
$\because$直角三角形两锐角互余，即$∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质；2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，主要考查含30°角的直角三角形的性质的应用，解题时要准确对应直角边所对的锐角，再结合直角三角形的角的关系计算即可。
【难度系数】
0.8

5.如图,已知$∠ AOB=60°$,点$P$在边$OA$上,$OP=12$,点$M,N$在边$OB$上,且$PM=PN$,若$MN=4$,求$OM$的长.

5.【解】如图,过点 $P$ 作 $PH⊥MN$于点 $H$,又因为 $PM=PN$,所以$MH=NH=\dfrac{1}{2}MN=2$.
因为$∠AOB=60°$,
所以$∠OPH=30°$,所以$OH=\dfrac{1}{2}OP=6$,所以$OM=OH-MH=4$.

【分析】
遇到等腰三角形（本题中$PM=PN$，$△ PMN$是等腰三角形），优先考虑用“三线合一”的性质作辅助线，因此过点$P$作$OB$的垂线，即可平分$MN$，得到$MH$的长度；再结合$∠ AOB=60°$，可在得到的直角三角形中推出$30°$的角，利用含$30°$角的直角三角形的性质求出$OH$的长度，最后用$OH$减去$MH$就能算出$OM$的长。
【解析】
过点 $P$ 作 $PH ⊥ MN$ 于点 $H$。
$\because PM=PN$，$PH ⊥ MN$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore MH=NH=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}×4=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OPH$中，$∠ AOB=60°$，
$\therefore ∠ OPH=90° - 60°=30°$。
根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore OH=\dfrac{1}{2}OP=\dfrac{1}{2}×12=6$。
$\therefore OM=OH - MH=6 - 2=4$。
【答案】
$OM$的长为$4$。

【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题型，核心考查等腰三角形和特殊直角三角形的性质应用，解题的突破口是正确作出垂线构造辅助线，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动。

(1)若点P的运动速度是1 cm/s，点Q的运动速度是2 cm/s，当Q到达点C时，P，Q两点都停止运动。设运动时间为t s，当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由。
(2)若它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动。设点P的运动时间为t s，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

6.【解】(1)如图,根据题意,得$AP=t\ \mathrm{cm},BQ=2t\ \mathrm{cm}$.
当 $t=2$ 时,$AP=2\ \mathrm{cm}$,$BQ=4\ \mathrm{cm}$.
因为 $△ABC$ 是边长为6 cm的等边三角形,所以 $AB=6\ \mathrm{cm},∠B=60°$,
所以 $BP=4\ \mathrm{cm}$,所以 $BP=BQ$,
所以 $△BPQ$ 是等边三角形.
(2)在$△PBQ$ 中,$BP=(6-t)\mathrm{cm},BQ=t\ \mathrm{cm}$,若$△PBQ$ 是直角三角形,则$∠BQP=90°$或$∠BPQ=90°$.
①当$∠BQP=90°$时,因为$∠B=60°$,所以$∠BPQ=30°$,所以$BQ=\dfrac{1}{2}BP$,即$t=\dfrac{1}{2}(6-t)$,解得$t=2$;
②当$∠BPQ=90°$时,同理,得$BP=\dfrac{1}{2}BQ$,即$6-t=\dfrac{1}{2}t$,解得$t=4$.
综上,当$t=2$或$t=4$时,$△PBQ$ 是直角三角形.

【分析】
(1)解决第一问首先根据点P、Q的运动速度和运动时间t，表示出AP、BQ的长度；将t=2代入求出对应长度，再结合等边△ABC的边长求出BP的长度，根据BP=BQ且∠B=60°，结合等边三角形的判定定理即可判断△BPQ的形状。
(2)解决第二问先用含t的式子表示出BP、BQ的长度；△PBQ为直角三角形时直角顶点不确定，需分∠BQP=90°和∠BPQ=90°两种情况讨论，结合∠B=60°，利用含30°角的直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质列方程求解，最后验证解符合运动时间的取值范围即可。
【解析】
(1)根据题意，得$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
当$t=2$时，$AP=2\ \mathrm{cm}$，$BQ=4\ \mathrm{cm}$。
∵$△ ABC$是边长为6 cm的等边三角形，
∴$AB=6\ \mathrm{cm}$，$∠ B=60°$，
∴$BP=AB-AP=6-2=4\ \mathrm{cm}$，
∴$BP=BQ$，又$∠ B=60°$，
∴$△ BPQ$是等边三角形。
(2)根据题意，得$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
∴$BP=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
$△ PBQ$中$∠ B=60°$，若$△ PBQ$是直角三角形，分两种情况：
①当$∠ BQP=90°$时，$∠ BPQ=30°$，
∴$BQ=\dfrac{1}{2}BP$，即$t=\dfrac{1}{2}(6-t)$，解得$t=2$；
②当$∠ BPQ=90°$时，$∠ BQP=30°$，
∴$BP=\dfrac{1}{2}BQ$，即$6-t=\dfrac{1}{2}t$，解得$t=4$。
经检验$t=2$、$t=4$均符合运动时间的取值范围。
综上，当$t=2$或$t=4$时，$△ PBQ$是直角三角形。
【答案】
6.【解】(1)如图,根据题意,得$AP=t\ \mathrm{cm},BQ=2t\ \mathrm{cm}$.
当 $t=2$ 时,$AP=2\ \mathrm{cm}$,$BQ=4\ \mathrm{cm}$.
因为 $△ABC$ 是边长为6 cm的等边三角形,所以 $AB=6\ \mathrm{cm},∠B=60°$,
所以 $BP=4\ \mathrm{cm}$,所以 $BP=BQ$,
所以 $△BPQ$ 是等边三角形.
(2)在$△PBQ$ 中,$BP=(6-t)\mathrm{cm},BQ=t\ \mathrm{cm}$,若$△PBQ$ 是直角三角形,则$∠BQP=90°$或$∠BPQ=90°$.
①当$∠BQP=90°$时,因为$∠B=60°$,所以$∠BPQ=30°$,所以$BQ=\dfrac{1}{2}BP$,即$t=\dfrac{1}{2}(6-t)$,解得$t=2$;
②当$∠BPQ=90°$时,同理,得$BP=\dfrac{1}{2}BQ$,即$6-t=\dfrac{1}{2}t$,解得$t=4$.
综上,当$t=2$或$t=4$时,$△PBQ$ 是直角三角形.

【知识点】
等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题是几何动点基础题型，既考查了特殊三角形的性质与判定，也渗透了分类讨论的数学思想，解题时需注意直角顶点不确定时要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7