如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,D是BC边延长线上的一点,并且$CD=CA$,$∠ ADC=15°$,试说明AB与CD的数量关系.

【解】$AB=\dfrac{1}{2}CD$.理由如下：
因为 $CD=CA,∠ADC=15°$,
所以$∠CAD=∠ADC=15°$,
所以$∠ACB=∠CAD+∠ADC=30°$.
在 $Rt△ABC$ 中,$∠B=90°,∠ACB=30°$,
所以 $AB=\dfrac{1}{2}AC$,所以 $AB=\dfrac{1}{2}CD$.

【分析】
解题首先从已知条件$CD=CA$、$∠ADC=15°$入手，先利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠CAD$的度数，再借助三角形外角的性质求出$∠ACB$的度数；接着观察到$△ ABC$是直角三角形，且$∠ACB=30°$，就可以利用含30°角的直角三角形的性质得到$AB$与$AC$的数量关系，最后结合$AC=CD$的等量关系，即可推出$AB$与$CD$的数量关系。
【解析】
解：$AB=\dfrac{1}{2}CD$，理由如下：
因为 $CD=CA$，$∠ADC=15°$，
所以$∠CAD=∠ADC=15°$，
所以$∠ACB=∠CAD+∠ADC=15°+15°=30°$。
在 $Rt△ABC$ 中，$∠B=90°$，$∠ACB=30°$，
所以 $AB=\dfrac{1}{2}AC$，
又因为$AC=CD$，
所以 $AB=\dfrac{1}{2}CD$。
【答案】
$AB=\dfrac{1}{2}CD$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是通过已知的等腰三角形条件推导得到30°的特殊角，再结合直角三角形的边角性质完成边的数量关系推导，是对基础几何性质的常规综合考察。
【难度系数】
0.75

1.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得$∠ A = 60°$，$∠ C = 90°$，$AC = 2\ \mathrm{km}$.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（）


A.2 km
B.3 km
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{km}$
D.4 km

1.D

【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角。解题时先利用三角形内角和计算出∠B的度数，发现∠B=30°，再结合含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，找到30°角对应的直角边AC的长度已知，即可推导求出斜边AB的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B=180°-∠ C-∠ A=180°-90°-60°=30°$。
根据含$30°$角的直角三角形的性质：直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
$∠ B=30°$，它所对的直角边为$AC$，因此$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AC=2\ \mathrm{km}$，代入得$AB=2AC=2×2=4\ \mathrm{km}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考察直角三角形的相关性质，属于基础题型，解题的关键是准确求出30°角，熟练运用对应性质计算边长。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°, BC＜AC$.点 $D,E$ 分别在边 $AB,BC$ 上,连接 $DE$,将$△ BDE$沿 $DE$ 折叠,点 $B$ 的对应点为点 $B'$,若点 $B'$ 刚好落在边 $AC$ 上,$∠ CB'E=30°, CE=3$,则 $BC$ 的长为.

2.9 【解析】由折叠知,$B'E=BE$.
在 $Rt△B'EC$ 中,$∠CB'E=30°,CE=3$,
所以 $B'E=2CE=6$,所以 $BE=6$,
所以 $BC=CE+BE=3+6=9$.

【分析】
解题时首先从折叠的性质入手，折叠前后对应边相等，可得$BE=B'E$；接下来观察图形可知$△B'EC$是直角三角形，且已知$∠CB'E=30°$，$CE=3$，可利用含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出$B'E$的长度，也就得到了$BE$的长度；最后$BC$的长度是$CE$与$BE$的和，相加即可得到结果。
【解析】
由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，因此$B'E=BE$。
在$Rt△B'EC$中，$∠C=90°$，$∠CB'E=30°$，$CE=3$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$B'E=2CE=2×3=6$，因此$BE=B'E=6$。
所以$BC=CE+BE=3+6=9$。
【答案】
9
【知识点】
1.折叠的性质 2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和含30°角的直角三角形的边角关系，找到线段之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,分别以$B$,$C$为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧,两弧交于点$D$,连接$BD$,$CD$,$AD$,$AD$与$BC$交于点$E$.
(1)求证:$△ ABD≌△ ACD$;
(2)若$BD=2$,$∠ BDC=120°$,求$DE$的长.

3.(1)【证明】由作图知 $BD=CD$.
在$△ABD$ 和$△ACD$ 中,$\begin{cases}AB=AC,\\BD=CD,\\AD=AD,\end{cases}$
所以$△ABD≌△ACD(\mathrm{SSS})$.
(2)【解】因为$△ABD≌△ACD,∠BDC=120°$,所以$∠BDA=∠CDA=\dfrac{1}{2}∠BDC=\dfrac{1}{2}×120°=60°$.
因为$BD=CD$,所以$DA⊥BC,∠DBE=30°$.
因为$BD=2$,所以$DE=1$.

【分析】
（1）要证明△ABD≌△ACD，首先梳理已知条件：题干给出AB=AC，由题中的作图方法可直接得到BD=CD，再加上两个三角形的公共边AD，刚好满足三边对应相等的全等判定条件，用SSS即可证明全等。
（2）求DE的长，首先由（1）的全等结论可得AD平分∠BDC，结合∠BDC=120°可算出∠BDE=60°；再由BD=CD、AB=AC可推出AD垂直BC，因此△BDE是直角三角形，可推出∠DBE=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 证明：由作图方法可知$BD=CD$。
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中，
$\begin{cases}AB=AC,\\BD=CD,\\AD=AD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS})$。
(2) 解：因为$△ ABD≌△ ACD$，$∠ BDC=120°$，所以$∠ BDA=∠ CDA=\dfrac{1}{2}∠ BDC=\dfrac{1}{2}×120°=60°$。
因为$BD=CD$、$AB=AC$，所以$DA⊥ BC$，因此$∠ BED=90°$，可得$∠ DBE=90°-60°=30°$。
因为$BD=2$，在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以$DE=\dfrac{1}{2}BD=1$。
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ACD$得证；
(2) $DE=1$
【知识点】
SSS全等判定，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合尺规作图的隐含条件，考查了全等三角形判定和特殊直角三角形的性质，解题时需要理清边角的对应关系，逐步推导即可求解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7