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2.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
C
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
2.C 【解析】在等边三角形 ABC 中,∠ABC=60°.
因为 BD 是 AC 边上的高,所以 BD 平分∠ABC,
所以∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
因为 BD=ED,所以∠DEC=∠CBD=30°.
因为 BD 是 AC 边上的高,所以 BD 平分∠ABC,
所以∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
因为 BD=ED,所以∠DEC=∠CBD=30°.
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先看到等边三角形和边上的高，想到等边三角形三线合一的性质，可先求出∠CBD的度数；再根据作图规则，同圆的半径相等，可得DB=DE，即△DBE是等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质，就能求出∠DEC的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
由作图可知，DB、DE都是以D为圆心的圆的半径，因此DB=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∴∠DEC=∠CBD=30°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是考察特殊三角形性质的综合应用，解题关键是利用三线合一得到角的度数，再结合同圆半径相等构造等腰三角形求解，属于常规基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时从已知条件逐步推导：首先看到等边三角形和边上的高，想到等边三角形三线合一的性质，可先求出∠CBD的度数；再根据作图规则，同圆的半径相等，可得DB=DE，即△DBE是等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质，就能求出∠DEC的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
由作图可知，DB、DE都是以D为圆心的圆的半径，因此DB=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∴∠DEC=∠CBD=30°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是考察特殊三角形性质的综合应用，解题关键是利用三线合一得到角的度数，再结合同圆半径相等构造等腰三角形求解，属于常规基础考点。
【难度系数】
0.8
3. 由于普通的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 衣架杆$OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，若衣架收拢时如图所示，$∠ AOB=60°$，则此时$A,B$两点间的距离是________ cm.
(第3题图)
(第4题图)
(第3题图)
(第4题图)
答案
3. 18 【解析】因为 OA=OB,∠AOB=60°,所以△AOB是等边三角形,所以 AB=OA=OB=18 cm.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，已知OA=OB，可先判断△AOB是等腰三角形，再结合给出的∠AOB=60°，联想到“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理，确定△AOB是等边三角形，再根据等边三角形三边相等的性质，就能直接求出AB的长度。
【解析】
∵ OA=OB=18cm，∠AOB=60°，
∴ △AOB是有一个角为60°的等腰三角形，即△AOB是等边三角形，
∴ AB=OA=OB=18cm。
【答案】
18
【知识点】
等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的衣架场景设计题目，核心是利用等边三角形的判定与性质求解线段长度，只要熟练掌握相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，已知OA=OB，可先判断△AOB是等腰三角形，再结合给出的∠AOB=60°，联想到“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理，确定△AOB是等边三角形，再根据等边三角形三边相等的性质，就能直接求出AB的长度。
【解析】
∵ OA=OB=18cm，∠AOB=60°，
∴ △AOB是有一个角为60°的等腰三角形，即△AOB是等边三角形，
∴ AB=OA=OB=18cm。
【答案】
18
【知识点】
等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的衣架场景设计题目，核心是利用等边三角形的判定与性质求解线段长度，只要熟练掌握相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.将含$30°$角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知$∠α=60°$，点B，C对应的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为
2
cm.答案
4. 2 【解析】因为直尺的两对边相互平行，
所以∠ACB=∠α=60°.
因为 ∠A = 60°, 所以 ∠ABC = 180° -∠ACB -∠A = 180°-60°-60°=60°,所以∠A=∠ABC=∠ACB,所以△ABC 是等边三角形，
所以 AB=BC=3-1=2(cm).
所以∠ACB=∠α=60°.
因为 ∠A = 60°, 所以 ∠ABC = 180° -∠ACB -∠A = 180°-60°-60°=60°,所以∠A=∠ABC=∠ACB,所以△ABC 是等边三角形，
所以 AB=BC=3-1=2(cm).
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：直尺的上下对边互相平行，可先利用平行线的性质得到∠ACB的度数；再结合三角形内角和计算△ABC各内角的度数，判断三角形的形状；最后根据B、C对应的刻度算出BC的长度，结合三角形的性质得到AB的长度。
【解析】
∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB=∠α=60°，
又
∵∠A=60°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°，
∴∠A=∠ABC=∠ACB，即△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∵点B、C对应的刻度分别为1cm、3cm，
∴BC=3-1=2(cm)，
∴AB=2cm。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定与性质；刻度尺的读数
【点评】
本题将几何性质和实际测量结合，属于基础题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和等边三角形的判定方法，能准确从图形中提取角和线段的相关条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：直尺的上下对边互相平行，可先利用平行线的性质得到∠ACB的度数；再结合三角形内角和计算△ABC各内角的度数，判断三角形的形状；最后根据B、C对应的刻度算出BC的长度，结合三角形的性质得到AB的长度。
【解析】
∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB=∠α=60°，
又
∵∠A=60°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°，
∴∠A=∠ABC=∠ACB，即△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∵点B、C对应的刻度分别为1cm、3cm，
∴BC=3-1=2(cm)，
∴AB=2cm。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定与性质；刻度尺的读数
【点评】
本题将几何性质和实际测量结合，属于基础题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和等边三角形的判定方法，能准确从图形中提取角和线段的相关条件。
【难度系数】
0.8
5.如图,在等边三角形ABC中,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,下列结论:①$AD ⊥ BC$;②$EF = FD$;③$BE = BD$.其中正确的个数为 (
A.3
B.2
C.1
D.0
A
)A.3
B.2
C.1
D.0
答案
5. A 【解析】因为△ABC 是等边三角形,△AED 是等边三角形,所以 AB=AC=BC,∠BAC=60°,AE=AD=ED,∠EAD=60°. 因为 AD 平分∠BAC,所以∠DAB=∠DAC=30°,所以 AD⊥BC,故①正确；
∠EAB=∠BAD=30°,所以 AB⊥ED,EF=FD,故②正确；
所以 BE=BD,故③正确.
∠EAB=∠BAD=30°,所以 AB⊥ED,EF=FD,故②正确；
所以 BE=BD,故③正确.
解析
【分析】
要判断三个结论是否正确，可结合等边三角形的性质逐步推导：①先利用等边三角形三线合一的性质，判断角平分线AD和BC的位置关系；②先计算∠EAB的度数，得到AB是∠EAD的角平分线，再结合等边△ADE的性质判断EF和FD的数量关系；③根据线段垂直平分线的性质判断BE和BD是否相等。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴根据等边三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，故结论①正确；
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠EAB=∠EAD - ∠BAD=60°-30°=30°，即∠EAB=∠BAD，
∴AB平分∠EAD，
又
∵AE=AD，△AED为等腰三角形，根据三线合一的性质，AB垂直平分ED，
∴EF=FD，故结论②正确；
∵点B在ED的垂直平分线AB上，
∴根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BE=BD，故结论③正确。
综上，①②③均正确，正确的个数为3个。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；垂直平分线的性质
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的特征，结合角的运算推导线段间的关系，是等边三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要判断三个结论是否正确，可结合等边三角形的性质逐步推导：①先利用等边三角形三线合一的性质，判断角平分线AD和BC的位置关系；②先计算∠EAB的度数，得到AB是∠EAD的角平分线，再结合等边△ADE的性质判断EF和FD的数量关系；③根据线段垂直平分线的性质判断BE和BD是否相等。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴根据等边三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，故结论①正确；
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠EAB=∠EAD - ∠BAD=60°-30°=30°，即∠EAB=∠BAD，
∴AB平分∠EAD，
又
∵AE=AD，△AED为等腰三角形，根据三线合一的性质，AB垂直平分ED，
∴EF=FD，故结论②正确；
∵点B在ED的垂直平分线AB上，
∴根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BE=BD，故结论③正确。
综上，①②③均正确，正确的个数为3个。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；垂直平分线的性质
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的特征，结合角的运算推导线段间的关系，是等边三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
6.如图,在等边三角形ABC中,点D在BC边的延长线上,CE平分∠ACD,且CE=BD.求证:△ADE是等边三角形.
答案
6.【证明】由等边三角形 ABC 及 CE 平分∠ACD,可得 AB=AC,∠B=∠ACE=60°.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠B=∠ACE,\\ BD=CE, \end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(SAS),
所以 AD=AE,∠BAD=∠CAE,
所以∠CAE -∠CAD=∠BAD -∠CAD,
即∠DAE=∠BAC=60°.
因为 AD=AE,
所以△ADE 是等边三角形.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠B=∠ACE,\\ BD=CE, \end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(SAS),
所以 AD=AE,∠BAD=∠CAE,
所以∠CAE -∠CAD=∠BAD -∠CAD,
即∠DAE=∠BAC=60°.
因为 AD=AE,
所以△ADE 是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△ADE是等边三角形，可通过“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定推导。首先结合等边△ABC的性质得到AB=AC、∠B=∠BAC=60°，再利用角平分线的性质推出∠ACE=∠B=60°，结合已知BD=CE，可先证明△ABD和△ACE全等，通过全等得到AD=AE以及角的等量关系，进一步推导∠DAE为60°即可完成证明。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠BAC=60°，∠ACD=180°-∠ACB=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACD=60°$，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠B=∠ACE,\\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE - ∠CAD = ∠BAD - ∠CAD，即∠DAE=∠BAC=60°，
又
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
△ADE是等边三角形
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合证明题，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，得到边和角的等量关系，再结合等边三角形的判定定理完成求证，需要熟练掌握全等三角形的判定方法以及等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
要证明△ADE是等边三角形，可通过“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定推导。首先结合等边△ABC的性质得到AB=AC、∠B=∠BAC=60°，再利用角平分线的性质推出∠ACE=∠B=60°，结合已知BD=CE，可先证明△ABD和△ACE全等，通过全等得到AD=AE以及角的等量关系，进一步推导∠DAE为60°即可完成证明。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠BAC=60°，∠ACD=180°-∠ACB=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACD=60°$，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠B=∠ACE,\\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE - ∠CAD = ∠BAD - ∠CAD，即∠DAE=∠BAC=60°，
又
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
△ADE是等边三角形
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合证明题，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，得到边和角的等量关系，再结合等边三角形的判定定理完成求证，需要熟练掌握全等三角形的判定方法以及等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
7.如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P, MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
答案
7. (1)【证明】如图,过点 M 作 MQ//BC,交 AC 于点Q.
在等边三角形 ABC 中,∠A=∠B=∠ACB=60°.因为 MQ//BC,
所以∠AMQ=∠B=60°,∠AQM = ∠ACB =60°, ∠QMP = ∠N,∠MQP=∠PCN,
所以△AMQ 是等边三角形,所以 AM=QM.
因为 AM=CN,所以 QM=CN.
在△QMP 和△CNP 中,$\begin{cases} ∠MQP=∠NCP,\\ QM=CN,\\ ∠QMP=∠N, \end{cases}$
所以△QMP≌△CNP(ASA),所以 MP=NP.
(2)【解】在等边三角形 AMQ 中,因为 MH⊥AC,
所以 AH=HQ.
因为△QMP≌△CNP,所以 QP=CP,
所以 PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AC.
因为 AB=a,AB=AC,所以 PH=$\frac{1}{2}a$.
解析
【分析】
(1)要证明MP=NP，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知CN=AM，我们可以过点M作MQ//BC交AC于点Q，利用等边三角形的性质先证明△AMQ是等边三角形，将AM转化为QM，即可得到QM=CN，再结合平行线的性质得到角相等的条件，用ASA证明△QMP≌△CNP，即可证得MP=NP。
(2)求PH的长度，可利用等边三角形三线合一的性质，结合(1)中的全等结论得到线段的等量关系：等边△AMQ中MH⊥AC，可得AH=HQ；由△QMP≌△CNP可得QP=CP，因此PH的长度就等于AC长度的一半，再结合等边三角形边长相等的性质即可求出PH的长。
【解析】
(1)证明：如图，过点M作MQ//BC，交AC于点Q。
在等边三角形ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°。
∵MQ//BC，
∴∠AMQ=∠B=60°，∠AQM = ∠ACB =60°，∠QMP = ∠N，∠MQP=∠PCN，
∴△AMQ 是等边三角形，
∴AM=QM。
∵AM=CN，
∴QM=CN。
在△QMP 和△CNP 中，
$\begin{cases} ∠MQP=∠NCP,\\ QM=CN,\\ ∠QMP=∠N, \end{cases}$
∴△QMP≌△CNP(ASA)，
∴MP=NP。
(2)解：在等边三角形AMQ中，
∵MH⊥AC，
∴AH=HQ（等边三角形三线合一）。
∵△QMP≌△CNP，
∴QP=CP，
∴PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AQ + $\frac{1}{2}$QC = $\frac{1}{2}$(AQ+QC)=$\frac{1}{2}$AC。
∵AB=a，AB=AC，
∴PH=$\frac{1}{2}a$。
【答案】
(1) 证明成立，MP=NP；
(2) 线段PH的长为$\boldsymbol{\frac{1}{2}a}$。
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形的典型综合题，解题的核心是通过作平行线构造全等三角形和等边三角形，将已知条件中的边相等关系进行转化。同时结合等边三角形三线合一的性质，快速得到线段的倍分关系，有助于锻炼学生构造辅助线解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明MP=NP，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知CN=AM，我们可以过点M作MQ//BC交AC于点Q，利用等边三角形的性质先证明△AMQ是等边三角形，将AM转化为QM，即可得到QM=CN，再结合平行线的性质得到角相等的条件，用ASA证明△QMP≌△CNP，即可证得MP=NP。
(2)求PH的长度，可利用等边三角形三线合一的性质，结合(1)中的全等结论得到线段的等量关系：等边△AMQ中MH⊥AC，可得AH=HQ；由△QMP≌△CNP可得QP=CP，因此PH的长度就等于AC长度的一半，再结合等边三角形边长相等的性质即可求出PH的长。
【解析】
(1)证明：如图，过点M作MQ//BC，交AC于点Q。
在等边三角形ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°。
∵MQ//BC，
∴∠AMQ=∠B=60°，∠AQM = ∠ACB =60°，∠QMP = ∠N，∠MQP=∠PCN，
∴△AMQ 是等边三角形，
∴AM=QM。
∵AM=CN，
∴QM=CN。
在△QMP 和△CNP 中，
$\begin{cases} ∠MQP=∠NCP,\\ QM=CN,\\ ∠QMP=∠N, \end{cases}$
∴△QMP≌△CNP(ASA)，
∴MP=NP。
(2)解：在等边三角形AMQ中，
∵MH⊥AC，
∴AH=HQ（等边三角形三线合一）。
∵△QMP≌△CNP，
∴QP=CP，
∴PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AQ + $\frac{1}{2}$QC = $\frac{1}{2}$(AQ+QC)=$\frac{1}{2}$AC。
∵AB=a，AB=AC，
∴PH=$\frac{1}{2}a$。
【答案】
(1) 证明成立，MP=NP；
(2) 线段PH的长为$\boldsymbol{\frac{1}{2}a}$。
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形的典型综合题，解题的核心是通过作平行线构造全等三角形和等边三角形，将已知条件中的边相等关系进行转化。同时结合等边三角形三线合一的性质，快速得到线段的倍分关系，有助于锻炼学生构造辅助线解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
