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2.如图,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸),应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路径最短?请作图指明桥的位置(不用说明理由).
答案
【解】如图,过点A作AC垂直于河岸,且使AC=河宽,连接BC,交河岸于点N,过点N作MN垂直河岸另一边于点M,则MN为所建桥的位置.
解析
【分析】
这是造桥选址类的最短路径问题，由于桥必须垂直河岸，因此桥的长度固定等于河宽，解题核心是让除桥之外的两段路径长度之和最短。我们可以通过平移转化问题：将点A沿垂直河岸的方向平移，平移距离等于河宽，此时A到桥上端的距离与平移后点到桥下端的距离相等，问题就转化为求平移后点到B点的最短路径，再根据“两点之间线段最短”即可确定桥的端点位置，最终得到桥的位置。
【解析】
1. 过点A作AC垂直于河岸，使AC的长度等于河的宽度；
2. 连接BC，交靠近点B一侧的河岸于点N；
3. 过点N作MN垂直于另一侧河岸，垂足为M，MN即为所求的桥的位置。
【答案】
如图,过点A作AC垂直于河岸,且使AC=河宽,连接BC,交河岸于点N,过点N作MN垂直河岸另一边于点M,则MN为所建桥的位置.
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典题型，解题关键是通过平移将含固定长度线段的路径最短问题，转化为常见的两点之间线段最短的问题，掌握平移转化的思想是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
这是造桥选址类的最短路径问题，由于桥必须垂直河岸，因此桥的长度固定等于河宽，解题核心是让除桥之外的两段路径长度之和最短。我们可以通过平移转化问题：将点A沿垂直河岸的方向平移，平移距离等于河宽，此时A到桥上端的距离与平移后点到桥下端的距离相等，问题就转化为求平移后点到B点的最短路径，再根据“两点之间线段最短”即可确定桥的端点位置，最终得到桥的位置。
【解析】
1. 过点A作AC垂直于河岸，使AC的长度等于河的宽度；
2. 连接BC，交靠近点B一侧的河岸于点N；
3. 过点N作MN垂直于另一侧河岸，垂足为M，MN即为所求的桥的位置。
【答案】
如图,过点A作AC垂直于河岸,且使AC=河宽,连接BC,交河岸于点N,过点N作MN垂直河岸另一边于点M,则MN为所建桥的位置.
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典题型，解题关键是通过平移将含固定长度线段的路径最短问题，转化为常见的两点之间线段最短的问题，掌握平移转化的思想是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
1. 如图,草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成$30°$的夹角,牧马人从A地出发,先让马到草地吃草,然后再去河边饮水,最后回到A地.已知$OA=2\ \mathrm{km}$,请在图中设计一条路线,使所走的路线最短,并求出整个过程所行的路程.
答案
【解】如图,分别画出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,则线段AD,DE,EA即为所求路径.
由题意,得$OB=OA=OC=2\ \mathrm{km}$,$∠BOD=∠AOD$,$∠COE = ∠AOE$. 因为$∠MON = ∠AOD+∠AOE=30°$,所以$∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°$,所以$△OBC$为等边三角形,所以$BC=2\ \mathrm{km}$.
故所求总路程为$2\ \mathrm{km}$.
解析
【分析】
这是典型的两线动点最短路径问题，解题思路可分为三步：1. 要让路径A→草地点→河边点→A最短，核心是利用轴对称性质将折线路径转化为直线段，把A到OM上点的距离、A到ON上点的距离转化为对称点到对应点的距离；2. 分别作A关于OM、ON的对称点，此时总路程可转化为两个对称点之间的线段长度，依据“两点之间线段最短”即可确定最短路径的位置；3. 结合已知的∠MON=30°和OA的长度，通过角度推导判断三角形形状，即可求出总路程。
【解析】
1. 确定最短路径：分别作点A关于OM的对称点B，关于ON的对称点C，连接BC，分别交OM于点D、交ON于点E，连接AD、AE，则AD→DE→EA即为所求最短路线。
2. 推导边长与角度：根据轴对称的性质，可得$OB=OA=2\ \mathrm{km}$，$OC=OA=2\ \mathrm{km}$，$∠BOD=∠AOD$，$∠COE=∠AOE$。
已知$∠MON=∠AOD+∠AOE=30°$，因此$∠ BOC=∠ BOD+∠ AOD+∠ AOE+∠ COE=2(∠ AOD+∠ AOE)=2×30°=60°$。
3. 计算总路程：在$△ OBC$中，$OB=OC=2\ \mathrm{km}$，$∠ BOC=60°$，因此$△ OBC$是等边三角形，故$BC=OB=2\ \mathrm{km}$。
由轴对称性质可知$AD=BD$，$AE=CE$，因此总路程$AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=2\ \mathrm{km}$。
【答案】
如图,分别画出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,则线段AD,DE,EA即为所求路径.
由题意,得$OB=OA=OC=2\ \mathrm{km}$,$∠BOD=∠AOD$,$∠COE = ∠AOE$. 因为$∠MON = ∠AOD+∠AOE=30°$,所以$∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°$,所以$△OBC$为等边三角形,所以$BC=2\ \mathrm{km}$.
故所求总路程为$2\ \mathrm{km}$.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题侧重考查转化思想的应用，通过轴对称将折线最短路径问题转化为两点之间线段最短的问题，结合角度推导和特殊三角形的性质求解，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
这是典型的两线动点最短路径问题，解题思路可分为三步：1. 要让路径A→草地点→河边点→A最短，核心是利用轴对称性质将折线路径转化为直线段，把A到OM上点的距离、A到ON上点的距离转化为对称点到对应点的距离；2. 分别作A关于OM、ON的对称点，此时总路程可转化为两个对称点之间的线段长度，依据“两点之间线段最短”即可确定最短路径的位置；3. 结合已知的∠MON=30°和OA的长度，通过角度推导判断三角形形状，即可求出总路程。
【解析】
1. 确定最短路径：分别作点A关于OM的对称点B，关于ON的对称点C，连接BC，分别交OM于点D、交ON于点E，连接AD、AE，则AD→DE→EA即为所求最短路线。
2. 推导边长与角度：根据轴对称的性质，可得$OB=OA=2\ \mathrm{km}$，$OC=OA=2\ \mathrm{km}$，$∠BOD=∠AOD$，$∠COE=∠AOE$。
已知$∠MON=∠AOD+∠AOE=30°$，因此$∠ BOC=∠ BOD+∠ AOD+∠ AOE+∠ COE=2(∠ AOD+∠ AOE)=2×30°=60°$。
3. 计算总路程：在$△ OBC$中，$OB=OC=2\ \mathrm{km}$，$∠ BOC=60°$，因此$△ OBC$是等边三角形，故$BC=OB=2\ \mathrm{km}$。
由轴对称性质可知$AD=BD$，$AE=CE$，因此总路程$AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=2\ \mathrm{km}$。
【答案】
如图,分别画出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,则线段AD,DE,EA即为所求路径.
由题意,得$OB=OA=OC=2\ \mathrm{km}$,$∠BOD=∠AOD$,$∠COE = ∠AOE$. 因为$∠MON = ∠AOD+∠AOE=30°$,所以$∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°$,所以$△OBC$为等边三角形,所以$BC=2\ \mathrm{km}$.
故所求总路程为$2\ \mathrm{km}$.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题侧重考查转化思想的应用，通过轴对称将折线最短路径问题转化为两点之间线段最短的问题，结合角度推导和特殊三角形的性质求解，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
2.如图,在长方形ABCD的边BC上有线段PQ,当PQ在BC边上的什么位置时,四边形APQD的周长最小?请画出图形并说明理由.
答案
【解】如图,把点A沿AD方向平移PQ长的距离至点A',作点D关于BC的对称点D',连接A'D',交BC于点Q',在线段BQ'上截取$P'Q'=PQ$,则当线段PQ在BC边上的$P'Q'$位置时,四边形APQD的周长最小.理由:连接$AP'$,$DQ'$,由作图及平移的性质可得$AP'=A'Q'$,由作图知此时$AP'+DQ'$的值最小,因为线段$AD$,$P'Q'$的长是定值,所以此时四边形APQD的周长最小.
解析
【分析】
要解决四边形APQD周长最小的问题，首先拆分周长的组成：四边形APQD的周长=AP+PQ+QD+AD。其中AD是长方形的边，长度为定值；PQ是给定的定长线段，长度也为定值，因此要使周长最小，只需让AP+DQ的和最小即可。
接下来处理AP+DQ的最小值：由于P、Q是BC上间隔固定（PQ长度固定）的两个点，直接求和最小值较难，可先通过平移转化线段：将点A沿AD方向平移PQ的长度得到点A'，由平移性质可知AP=A'Q，此时AP+DQ转化为A'Q+DQ。
该问题变为经典的“直线同侧两点，在直线上找一点使得到两点的线段和最小”的最短路径问题，用对称法解决：作点D关于BC的对称点D'，则DQ=D'Q，因此A'Q+DQ=A'Q+D'Q，根据两点之间线段最短，连接A'D'与BC的交点即为使和最小的Q点，再截取对应长度的PQ即可得到所求位置。
【解析】
1. 分析周长变量：四边形APQD的周长为$AP+PQ+QD+AD$，其中$AD$、$PQ$长度为定值，因此只需使$AP+DQ$的和最小，周长就最小。
2. 作图推导：
将点A沿AD方向平移PQ的长度得到点$A'$，由平移性质可得$AP=A'Q$；作点D关于直线BC的对称点$D'$，由轴对称性质可得$DQ=D'Q$，因此$AP+DQ=A'Q+D'Q$。根据两点之间线段最短，连接$A'D'$，与BC的交点$Q'$就是使$A'Q+D'Q$最小的点，此时$AP+DQ$的和最小。在$BQ'$上截取$P'Q'=PQ$，得到的$P'Q'$就是PQ的最优位置。
【答案】
如图,把点A沿AD方向平移PQ长的距离至点A',作点D关于BC的对称点D',连接A'D',交BC于点Q',在线段BQ'上截取$P'Q'=PQ$,则当线段PQ在BC边上的$P'Q'$位置时,四边形APQD的周长最小.理由:连接$AP'$,$DQ'$,由作图及平移的性质可得$AP'=A'Q'$,由作图知此时$AP'+DQ'$的值最小,因为线段$AD$,$P'Q'$的长是定值,所以此时四边形APQD的周长最小.
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的变型应用，解题的核心是先拆分周长排除定值线段，将问题转化为两条线段和最小的经典模型，再通过平移、轴对称的性质对线段进行等价转化，最终利用“两点之间线段最短”确定最优位置，考查了几何变换的灵活运用能力和模型转化思想。
【难度系数】
0.6
要解决四边形APQD周长最小的问题，首先拆分周长的组成：四边形APQD的周长=AP+PQ+QD+AD。其中AD是长方形的边，长度为定值；PQ是给定的定长线段，长度也为定值，因此要使周长最小，只需让AP+DQ的和最小即可。
接下来处理AP+DQ的最小值：由于P、Q是BC上间隔固定（PQ长度固定）的两个点，直接求和最小值较难，可先通过平移转化线段：将点A沿AD方向平移PQ的长度得到点A'，由平移性质可知AP=A'Q，此时AP+DQ转化为A'Q+DQ。
该问题变为经典的“直线同侧两点，在直线上找一点使得到两点的线段和最小”的最短路径问题，用对称法解决：作点D关于BC的对称点D'，则DQ=D'Q，因此A'Q+DQ=A'Q+D'Q，根据两点之间线段最短，连接A'D'与BC的交点即为使和最小的Q点，再截取对应长度的PQ即可得到所求位置。
【解析】
1. 分析周长变量：四边形APQD的周长为$AP+PQ+QD+AD$，其中$AD$、$PQ$长度为定值，因此只需使$AP+DQ$的和最小，周长就最小。
2. 作图推导：
将点A沿AD方向平移PQ的长度得到点$A'$，由平移性质可得$AP=A'Q$；作点D关于直线BC的对称点$D'$，由轴对称性质可得$DQ=D'Q$，因此$AP+DQ=A'Q+D'Q$。根据两点之间线段最短，连接$A'D'$，与BC的交点$Q'$就是使$A'Q+D'Q$最小的点，此时$AP+DQ$的和最小。在$BQ'$上截取$P'Q'=PQ$，得到的$P'Q'$就是PQ的最优位置。
【答案】
如图,把点A沿AD方向平移PQ长的距离至点A',作点D关于BC的对称点D',连接A'D',交BC于点Q',在线段BQ'上截取$P'Q'=PQ$,则当线段PQ在BC边上的$P'Q'$位置时,四边形APQD的周长最小.理由:连接$AP'$,$DQ'$,由作图及平移的性质可得$AP'=A'Q'$,由作图知此时$AP'+DQ'$的值最小,因为线段$AD$,$P'Q'$的长是定值,所以此时四边形APQD的周长最小.
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的变型应用，解题的核心是先拆分周长排除定值线段，将问题转化为两条线段和最小的经典模型，再通过平移、轴对称的性质对线段进行等价转化，最终利用“两点之间线段最短”确定最优位置，考查了几何变换的灵活运用能力和模型转化思想。
【难度系数】
0.6
