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3.若$A(-5,2),B(2,-5)$是一次函数$y=kx+b(k$为常数，$k≠0)$的图象和反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(m$为常数，$m≠0)$的图象的两个公共点，则关于$x$的方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解是
$x_1=-5,x_2=2$
。答案
3. $x_1=-5,x_2=2$
解析
【分析】
解题的核心是理解函数图象交点的含义：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，也就是说交点的横坐标就是使两个函数值相等时x的取值，恰好对应方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解，只需提取两个交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
已知$A(-5,2)$、$B(2,-5)$是一次函数$y=kx+b$和反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$图象的公共点，因此两个点的坐标同时满足两个函数的解析式：
当$x=-5$时，$kx+b=2$，$\dfrac{m}{x}=\dfrac{m}{-5}=2$，此时$kx+b=\dfrac{m}{x}$成立；
当$x=2$时，$kx+b=-5$，$\dfrac{m}{x}=\dfrac{m}{2}=-5$，此时$kx+b=\dfrac{m}{x}$成立。
因此方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解为两个交点的横坐标。
【答案】
$x_1=-5,x_2=2$
【知识点】
函数图象交点的意义、一次函数与反比例函数综合、方程解的含义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握两个函数图象的交点横坐标就是对应两个函数值相等的方程的解，无需复杂计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是理解函数图象交点的含义：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，也就是说交点的横坐标就是使两个函数值相等时x的取值，恰好对应方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解，只需提取两个交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
已知$A(-5,2)$、$B(2,-5)$是一次函数$y=kx+b$和反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$图象的公共点，因此两个点的坐标同时满足两个函数的解析式：
当$x=-5$时，$kx+b=2$，$\dfrac{m}{x}=\dfrac{m}{-5}=2$，此时$kx+b=\dfrac{m}{x}$成立；
当$x=2$时，$kx+b=-5$，$\dfrac{m}{x}=\dfrac{m}{2}=-5$，此时$kx+b=\dfrac{m}{x}$成立。
因此方程$kx+b=\dfrac{m}{x}$的解为两个交点的横坐标。
【答案】
$x_1=-5,x_2=2$
【知识点】
函数图象交点的意义、一次函数与反比例函数综合、方程解的含义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握两个函数图象的交点横坐标就是对应两个函数值相等的方程的解，无需复杂计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 如图，一次函数 $ y = kx + b (k ≠ 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} (m ≠ 0) $ 的图象交于点 $ A(-3,n) $，点 $ B(2,m) $，则关于 $ x $ 的不等式 $ kx + b ＜ \frac{m}{x} $ 的解集为 ______。
答案
4. $x＜-3$或$0＜x＜2$
解析
【分析】
要解不等式$kx + b ＜ \frac{m}{x}$，可利用数形结合思想：该不等式的几何意义是同一x取值下，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，对应图象中一次函数图象位于反比例函数图象下方的区域，我们只需结合两个函数的交点横坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图象即可得到解集。
已知两函数交点横坐标为$x=-3$和$x=2$，且反比例函数定义域为$x≠0$，分区间判断：①x＜0区间：交点横坐标为-3，观察第三象限图象，x小于-3时一次函数在反比例函数下方，-3＜x＜0时一次函数在上方；②x＞0区间：交点横坐标为2，观察第一象限图象，0＜x＜2时一次函数在反比例函数下方，x＞2时一次函数在上方，合并符合条件的区间即可得到解集。
【解析】
不等式$kx + b ＜ \frac{m}{x}$的解集对应一次函数$y=kx+b$图象在反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象下方时x的取值范围：
1. 两函数交点横坐标分别为$x=-3$、$x=2$，反比例函数图象分布在第一、三象限，自变量取值为$x≠0$；
2. 当$x＜0$时，观察图象可得：$x＜-3$时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
3. 当$x＞0$时，观察图象可得：$0＜x＜2$时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
综上，不等式的解集为$x＜-3$或$0＜x＜2$。
【答案】
$x＜-3$或$0＜x＜2$
【知识点】
函数图象解不等式；一次函数与反比例函数综合；反比例函数图象性质
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，解题关键是将代数不等式转化为函数图象的高低位置关系，判断时注意结合反比例函数自变量x不为0的特点，分正负区间分别分析，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx + b ＜ \frac{m}{x}$，可利用数形结合思想：该不等式的几何意义是同一x取值下，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，对应图象中一次函数图象位于反比例函数图象下方的区域，我们只需结合两个函数的交点横坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图象即可得到解集。
已知两函数交点横坐标为$x=-3$和$x=2$，且反比例函数定义域为$x≠0$，分区间判断：①x＜0区间：交点横坐标为-3，观察第三象限图象，x小于-3时一次函数在反比例函数下方，-3＜x＜0时一次函数在上方；②x＞0区间：交点横坐标为2，观察第一象限图象，0＜x＜2时一次函数在反比例函数下方，x＞2时一次函数在上方，合并符合条件的区间即可得到解集。
【解析】
不等式$kx + b ＜ \frac{m}{x}$的解集对应一次函数$y=kx+b$图象在反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象下方时x的取值范围：
1. 两函数交点横坐标分别为$x=-3$、$x=2$，反比例函数图象分布在第一、三象限，自变量取值为$x≠0$；
2. 当$x＜0$时，观察图象可得：$x＜-3$时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
3. 当$x＞0$时，观察图象可得：$0＜x＜2$时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
综上，不等式的解集为$x＜-3$或$0＜x＜2$。
【答案】
$x＜-3$或$0＜x＜2$
【知识点】
函数图象解不等式；一次函数与反比例函数综合；反比例函数图象性质
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，解题关键是将代数不等式转化为函数图象的高低位置关系，判断时注意结合反比例函数自变量x不为0的特点，分正负区间分别分析，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在平面直角坐标系中,点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上的一点,过点A分别作$AM⊥x$轴,垂足为M,$AN⊥y$轴,垂足为N.若四边形AMON的面积为2,则k的值为 (
A.2
B.-2
C.1
D.-1
(第1题图)
(第2题图)
A
)A.2
B.-2
C.1
D.-1
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：点A在反比例函数图象上，过A分别作x轴、y轴的垂线，围成的四边形AMON是矩形，由此可联系反比例函数k的几何意义求解。第一步先明确矩形面积与|k|的对应关系，第二步根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最后结合已知面积求出k值即可。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $xy=k$。
∵ $AM⊥x$轴，$AN⊥y$轴，x轴与y轴互相垂直，
∴ 四边形AMON是矩形，矩形的邻边长分别为$|x|$、$|y|$，
∴ 矩形AMON的面积$S=|x|· |y|=|xy|=|k|$。
已知四边形AMON的面积为2，
∴ $|k|=2$。
由题图可知，反比例函数图象位于第一、三象限，
∴ $k＞0$，
∴ $k=2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的图象性质
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，核心是对k的几何意义的理解与应用，解题时要注意不能忽略k的符号需结合函数图象所在象限判断，避免只根据面积得到绝对值就直接选值的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：点A在反比例函数图象上，过A分别作x轴、y轴的垂线，围成的四边形AMON是矩形，由此可联系反比例函数k的几何意义求解。第一步先明确矩形面积与|k|的对应关系，第二步根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最后结合已知面积求出k值即可。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $xy=k$。
∵ $AM⊥x$轴，$AN⊥y$轴，x轴与y轴互相垂直，
∴ 四边形AMON是矩形，矩形的邻边长分别为$|x|$、$|y|$，
∴ 矩形AMON的面积$S=|x|· |y|=|xy|=|k|$。
已知四边形AMON的面积为2，
∴ $|k|=2$。
由题图可知，反比例函数图象位于第一、三象限，
∴ $k＞0$，
∴ $k=2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的图象性质
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，核心是对k的几何意义的理解与应用，解题时要注意不能忽略k的符号需结合函数图象所在象限判断，避免只根据面积得到绝对值就直接选值的错误。
【难度系数】
0.8
2.如图,反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$的图象与一次函数$y_2=kx+b(k≠0)$的图象交于A,B两点.若
$y_1＞y_2$,则$x$的取值范围是（
A.$1＜x＜3$
B.$x＜0$或$1＜x＜3$
C.$0＜x＜1$
D.$0＜x＜1$或$x＞3$
$y_1＞y_2$,则$x$的取值范围是（
D
）A.$1＜x＜3$
B.$x＜0$或$1＜x＜3$
C.$0＜x＜1$
D.$0＜x＜1$或$x＞3$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定$y_1＞y_2$时x的取值范围，本质是找反比例函数图象位于一次函数图象上方时对应的x的取值。解题时先从图中提取两个交点的横坐标，将x的取值范围分段，逐段对比两个函数图象的上下位置，判断函数值大小即可。
【解析】
观察图象可得，反比例函数与一次函数交点A的横坐标为1，交点B的横坐标为3，我们分四段讨论：
1. 当$x＜0$时，反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$在第三象限，$y_1＜0$；一次函数在$x＜0$时位于第二象限，$y_2＞0$，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
2. 当$0＜x＜1$时，第一象限内反比例函数图象在一次函数图象上方，即$y_1＞y_2$，符合要求；
3. 当$1＜x＜3$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即$y_1＜y_2$，不符合要求；
4. 当$x＞3$时，反比例函数图象再次位于一次函数图象上方，即$y_1＞y_2$，符合要求。
综上，$y_1＞y_2$时x的取值范围是$0＜x＜1$或$x＞3$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象性质，一次函数图象性质，函数与不等式的关系
【点评】
本题考查利用数形结合思想解决函数值比较大小的问题，解题核心是明确函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，分段讨论时要注意涵盖x的所有取值范围，避免漏看象限导致错解。
【难度系数】
0.7
要确定$y_1＞y_2$时x的取值范围，本质是找反比例函数图象位于一次函数图象上方时对应的x的取值。解题时先从图中提取两个交点的横坐标，将x的取值范围分段，逐段对比两个函数图象的上下位置，判断函数值大小即可。
【解析】
观察图象可得，反比例函数与一次函数交点A的横坐标为1，交点B的横坐标为3，我们分四段讨论：
1. 当$x＜0$时，反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$在第三象限，$y_1＜0$；一次函数在$x＜0$时位于第二象限，$y_2＞0$，此时$y_1＜y_2$，不符合要求；
2. 当$0＜x＜1$时，第一象限内反比例函数图象在一次函数图象上方，即$y_1＞y_2$，符合要求；
3. 当$1＜x＜3$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即$y_1＜y_2$，不符合要求；
4. 当$x＞3$时，反比例函数图象再次位于一次函数图象上方，即$y_1＞y_2$，符合要求。
综上，$y_1＞y_2$时x的取值范围是$0＜x＜1$或$x＞3$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象性质，一次函数图象性质，函数与不等式的关系
【点评】
本题考查利用数形结合思想解决函数值比较大小的问题，解题核心是明确函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，分段讨论时要注意涵盖x的所有取值范围，避免漏看象限导致错解。
【难度系数】
0.7
