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3. 函数$y_1=kx+k(k≠0)$与$y_2=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象可能为（
A
B
C
D
D
）A
B
C
D
答案
3. D
解析
【分析】
解决这类同一坐标系中两个函数图象共存的问题，核心思路是根据参数$k$的正负分类讨论，由于两个函数的系数$k$取值一致，需保证两种函数对应的$k$的符号不矛盾，分别分析$k＞0$和$k＜0$时两个函数的图象特征，再和选项对比排除错误选项即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
一次函数$y_1=kx+k$的斜率为正、$y$轴截距为正，因此图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，观察选项无符合该特征的选项。
2. 当$k＜0$时：
一次函数$y_1=kx+k$的斜率为负、$y$轴截距为负，因此图象经过第二、三、四象限；
反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，只有D选项符合该特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是抓住两个函数系数一致的特点，通过分类讨论参数的正负，结合函数性质逐一排除错误选项，避免因混淆参数对图象的影响出错。
【难度系数】
0.7
解决这类同一坐标系中两个函数图象共存的问题，核心思路是根据参数$k$的正负分类讨论，由于两个函数的系数$k$取值一致，需保证两种函数对应的$k$的符号不矛盾，分别分析$k＞0$和$k＜0$时两个函数的图象特征，再和选项对比排除错误选项即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
一次函数$y_1=kx+k$的斜率为正、$y$轴截距为正，因此图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，观察选项无符合该特征的选项。
2. 当$k＜0$时：
一次函数$y_1=kx+k$的斜率为负、$y$轴截距为负，因此图象经过第二、三、四象限；
反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，只有D选项符合该特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是抓住两个函数系数一致的特点，通过分类讨论参数的正负，结合函数性质逐一排除错误选项，避免因混淆参数对图象的影响出错。
【难度系数】
0.7
4. 如图,一次函数 $y_1=k_1x+b(k_1≠0)$ 的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}(k_2≠0,x＞0)$ 的图象交于点$C(1,2),D(m,\frac{1}{2})$,连接OC,OD.下列说法错误的是 (
A.$b=\frac{5}{2}$
B.$△ BOC$ 与 $△ AOD$ 的面积相等
C.$△ COD$ 的面积是 $\frac{17}{4}$
D.当 $1≤x≤4$ 时, $y_1≥y_2$
(第4题图) (第5题图)
C
)A.$b=\frac{5}{2}$
B.$△ BOC$ 与 $△ AOD$ 的面积相等
C.$△ COD$ 的面积是 $\frac{17}{4}$
D.当 $1≤x≤4$ 时, $y_1≥y_2$
(第4题图) (第5题图)
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先利用已知交点C的坐标求出反比例函数解析式，再代入D点纵坐标求出D点横坐标，得到D点坐标；随后利用C、D两点坐标求出一次函数解析式，验证A选项；接着求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标，分别计算△BOC和△AOD的面积验证B选项；再通过割补法计算△COD的面积验证C选项；最后结合函数图象的上下位置关系判断x在[1,4]区间内y1和y2的大小验证D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
1. 求反比例函数解析式及D点坐标：
∵ 点C(1,2)在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$上，
∴ $k_2=1×2=2$，即$y_2=\frac{2}{x}$。
将D$(m,\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$\frac{1}{2}=\frac{2}{m}$，解得$m=4$，即D(4,$\frac{1}{2}$)。
2. 求一次函数解析式，验证A选项：
将C(1,2)、D(4,$\frac{1}{2}$)代入$y_1=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}k_1+b=2\\4k_1+b=\frac{1}{2}\end{cases}$
两式相减得$3k_1=-\frac{3}{2}$，解得$k_1=-\frac{1}{2}$，代入$k_1+b=2$得$b=\frac{5}{2}$，故A选项正确，不符合题意。
3. 求A、B坐标，验证B选项：
一次函数解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，
令x=0，得$y=\frac{5}{2}$，即B(0,$\frac{5}{2}$)，OB=$\frac{5}{2}$；
令y=0，得$x=5$，即A(5,0)，OA=5。
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB× x_C=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1=\frac{5}{4}$，
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OA× y_D=\frac{1}{2}×5×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$，
故$S_{△ BOC}=S_{△ AOD}$，B选项正确，不符合题意。
4. 计算$△ COD$面积，验证C选项：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}=\frac{25}{4}$，
$S_{△ COD}=S_{△ AOB}-S_{△ BOC}-S_{△ AOD}=\frac{25}{4}-\frac{5}{4}-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}≠\frac{17}{4}$，故C选项错误，符合题意。
5. 验证D选项：
结合图象可知，当$1≤ x≤4$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，故$y_1≥ y_2$，D选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，三角形面积计算，函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，需要学生熟练掌握函数解析式的求解方法，会结合坐标用割补法计算平面图形的面积，同时能利用函数图象的位置关系快速判断函数值的大小，考察的知识点较为基础，是常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用已知交点C的坐标求出反比例函数解析式，再代入D点纵坐标求出D点横坐标，得到D点坐标；随后利用C、D两点坐标求出一次函数解析式，验证A选项；接着求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标，分别计算△BOC和△AOD的面积验证B选项；再通过割补法计算△COD的面积验证C选项；最后结合函数图象的上下位置关系判断x在[1,4]区间内y1和y2的大小验证D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
1. 求反比例函数解析式及D点坐标：
∵ 点C(1,2)在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$上，
∴ $k_2=1×2=2$，即$y_2=\frac{2}{x}$。
将D$(m,\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$\frac{1}{2}=\frac{2}{m}$，解得$m=4$，即D(4,$\frac{1}{2}$)。
2. 求一次函数解析式，验证A选项：
将C(1,2)、D(4,$\frac{1}{2}$)代入$y_1=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}k_1+b=2\\4k_1+b=\frac{1}{2}\end{cases}$
两式相减得$3k_1=-\frac{3}{2}$，解得$k_1=-\frac{1}{2}$，代入$k_1+b=2$得$b=\frac{5}{2}$，故A选项正确，不符合题意。
3. 求A、B坐标，验证B选项：
一次函数解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，
令x=0，得$y=\frac{5}{2}$，即B(0,$\frac{5}{2}$)，OB=$\frac{5}{2}$；
令y=0，得$x=5$，即A(5,0)，OA=5。
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB× x_C=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1=\frac{5}{4}$，
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OA× y_D=\frac{1}{2}×5×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$，
故$S_{△ BOC}=S_{△ AOD}$，B选项正确，不符合题意。
4. 计算$△ COD$面积，验证C选项：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}=\frac{25}{4}$，
$S_{△ COD}=S_{△ AOB}-S_{△ BOC}-S_{△ AOD}=\frac{25}{4}-\frac{5}{4}-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}≠\frac{17}{4}$，故C选项错误，符合题意。
5. 验证D选项：
结合图象可知，当$1≤ x≤4$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，故$y_1≥ y_2$，D选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，三角形面积计算，函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，需要学生熟练掌握函数解析式的求解方法，会结合坐标用割补法计算平面图形的面积，同时能利用函数图象的位置关系快速判断函数值的大小，考察的知识点较为基础，是常考题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,在平面直角坐标系中,A,C是反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上的任意两点.过点A作x轴的垂线,垂足为B,过点C作x轴的垂线,垂足为D.设$Rt△ AOB$的面积为$S_1$,$Rt△ COD$的面积为$S_2$,则$S_1\_\_\_\_\_\_S_2$.(填“＞”“＜”或“=”)
答案
5. =
解析
【分析】
解题时首先观察题干特征：题目给出反比例函数图象上的点向x轴作垂线形成的直角三角形，要求比较两个三角形的面积大小。此时应联想到反比例函数中k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，与点在图象上的位置无关。本题中A、C均在$y=\frac{3}{x}$的图象上，因此两个三角形的面积都等于$\frac{1}{2}|3|$，可直接判断大小关系。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$S=\frac{1}{2}|k|$。
本题中反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$，即$k=3$。
则$Rt△ AOB$的面积：$S_1=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$
$Rt△ COD$的面积：$S_2=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$
因此$S_1=S_2$。
【答案】
=
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.直角三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心考查对反比例函数k的几何意义的理解，熟记对应的固定结论即可快速得到答案，无需额外计算点的坐标。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干特征：题目给出反比例函数图象上的点向x轴作垂线形成的直角三角形，要求比较两个三角形的面积大小。此时应联想到反比例函数中k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，与点在图象上的位置无关。本题中A、C均在$y=\frac{3}{x}$的图象上，因此两个三角形的面积都等于$\frac{1}{2}|3|$，可直接判断大小关系。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$S=\frac{1}{2}|k|$。
本题中反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$，即$k=3$。
则$Rt△ AOB$的面积：$S_1=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$
$Rt△ COD$的面积：$S_2=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$
因此$S_1=S_2$。
【答案】
=
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.直角三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心考查对反比例函数k的几何意义的理解，熟记对应的固定结论即可快速得到答案，无需额外计算点的坐标。
【难度系数】
0.8
6.点$P(-1,a)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，它关于$y$轴的对称点在一次函数$y=-x+4$的图象上，则此反比例函数的解析式为________。
答案
6. $y=-\frac{3}{x}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据关于y轴对称的点的坐标特征，求出点P(-1,a)关于y轴的对称点坐标；第二步，将对称点坐标代入一次函数解析式，求出a的值，得到点P的完整坐标；第三步，将点P坐标代入反比例函数解析式，用待定系数法求出k的值，即可得到反比例函数的解析式。
【解析】
1. 求点P关于y轴的对称点坐标：关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此点P(-1,a)的对称点为$(1,a)$。
2. 求a的值：因为点$(1,a)$在一次函数$y=-x+4$的图象上，将$x=1$，$y=a$代入一次函数解析式，得：
$a=-1+4=3$
因此点P的坐标为$(-1,3)$。
3. 求反比例函数解析式：将点P(-1,3)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{3}{x}$
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础综合题，考查多个基础知识点的结合应用，解题时按照逻辑逐步推导即可，需要注意坐标变换的规律和计算时的符号问题，是反比例函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，先根据关于y轴对称的点的坐标特征，求出点P(-1,a)关于y轴的对称点坐标；第二步，将对称点坐标代入一次函数解析式，求出a的值，得到点P的完整坐标；第三步，将点P坐标代入反比例函数解析式，用待定系数法求出k的值，即可得到反比例函数的解析式。
【解析】
1. 求点P关于y轴的对称点坐标：关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此点P(-1,a)的对称点为$(1,a)$。
2. 求a的值：因为点$(1,a)$在一次函数$y=-x+4$的图象上，将$x=1$，$y=a$代入一次函数解析式，得：
$a=-1+4=3$
因此点P的坐标为$(-1,3)$。
3. 求反比例函数解析式：将点P(-1,3)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{3}{x}$
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础综合题，考查多个基础知识点的结合应用，解题时按照逻辑逐步推导即可，需要注意坐标变换的规律和计算时的符号问题，是反比例函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
7.如图，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为$(-2,3)$，点B的横坐标为6，则满足关于x的不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$的x的取值范围为
$x＜-2$或$0＜x＜6$
。答案
7. $x＜-2$或$0＜x＜6$
解析
【分析】
要解不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$，可将其转化为“一次函数值大于反比例函数值”的问题，解题思路如下：第一步，利用交点A的坐标求出反比例函数的解析式；第二步，结合点B的横坐标求出点B的完整坐标；第三步，结合函数图象，分$x＜0$和$x＞0$两个区间，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的$x$的范围即可，注意反比例函数自变量$x$不能为0。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$A(-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$m=xy=-2×3=-6$，因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
2. 求点B的坐标：
已知点B的横坐标为6，将$x=6$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{6}=-1$，即点B的坐标为$(6,-1)$。
3. 结合图象求不等式解集：
不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$等价于$kx+b＞\frac{m}{x}$，即一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的$x$的取值：
当$x＜0$时，两函数交点为$A(-2,3)$，观察图象可得一次函数在反比例函数上方的范围是$x＜-2$；
当$x＞0$时，两函数交点为$B(6,-1)$，观察图象可得一次函数在反比例函数上方的范围是$0＜x＜6$。
综上，不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜6$。
【答案】
$x＜-2$或$0＜x＜6$
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、图象法解不等式、反比例函数性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题的关键是将不等式的解集转化为两个函数图象的位置关系，解题时需注意反比例函数图象分为两个独立的分支，要分区间讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$，可将其转化为“一次函数值大于反比例函数值”的问题，解题思路如下：第一步，利用交点A的坐标求出反比例函数的解析式；第二步，结合点B的横坐标求出点B的完整坐标；第三步，结合函数图象，分$x＜0$和$x＞0$两个区间，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的$x$的范围即可，注意反比例函数自变量$x$不能为0。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$A(-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$m=xy=-2×3=-6$，因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
2. 求点B的坐标：
已知点B的横坐标为6，将$x=6$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{6}=-1$，即点B的坐标为$(6,-1)$。
3. 结合图象求不等式解集：
不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$等价于$kx+b＞\frac{m}{x}$，即一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的$x$的取值：
当$x＜0$时，两函数交点为$A(-2,3)$，观察图象可得一次函数在反比例函数上方的范围是$x＜-2$；
当$x＞0$时，两函数交点为$B(6,-1)$，观察图象可得一次函数在反比例函数上方的范围是$0＜x＜6$。
综上，不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜6$。
【答案】
$x＜-2$或$0＜x＜6$
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、图象法解不等式、反比例函数性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题的关键是将不等式的解集转化为两个函数图象的位置关系，解题时需注意反比例函数图象分为两个独立的分支，要分区间讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
8. 如图,函数$y=x-1$和$y=\frac{2}{x}$的图象相交于A,B两点.
(1)点A的坐标为
(2)若y轴上存在点C,使$S_{△ ABC}=6$,求点C的坐标.
(1)点A的坐标为
$(2,1)$
,点B的坐标为$(-1,-2)$
;观察图象,不等式$x-1＜\frac{2}{x}$的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$
.(2)若y轴上存在点C,使$S_{△ ABC}=6$,求点C的坐标.
答案
8.【解】(1)$(2,1)$ $(-1,-2)$ $x＜-1$或$0＜x＜2$
(2)设函数$y=x-1$的图象与$y$轴的交点为$M$,则点$M$的坐标为$(0,-1)$.
设点$C$的坐标为$(0,y_C)$.
根据题意,得 $S_{△ABC}=S_{△BCM}+S_{△ACM}=\frac{1}{2}×|-1-y_C|×1+\frac{1}{2}×|-1-y_C|×2=\frac{3}{2}×|y_C+1|=6$.
$\therefore |y_C+1|=4$.
当$y_C+1≥0$,即 $y_C≥-1$ 时,$y_C+1=4$,解得$y_C=3$.
当$y_C+1＜0$,即$y_C＜-1$时,$y_C+1=-4$,解得$y_C=-5$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$.
(2)设函数$y=x-1$的图象与$y$轴的交点为$M$,则点$M$的坐标为$(0,-1)$.
设点$C$的坐标为$(0,y_C)$.
根据题意,得 $S_{△ABC}=S_{△BCM}+S_{△ACM}=\frac{1}{2}×|-1-y_C|×1+\frac{1}{2}×|-1-y_C|×2=\frac{3}{2}×|y_C+1|=6$.
$\therefore |y_C+1|=4$.
当$y_C+1≥0$,即 $y_C≥-1$ 时,$y_C+1=4$,解得$y_C=3$.
当$y_C+1＜0$,即$y_C＜-1$时,$y_C+1=-4$,解得$y_C=-5$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$.
解析
【分析】
（1）求两个函数图象的交点，可通过联立两个函数的解析式组成方程组，求解得到的解就是交点坐标；求解不等式$x-1＜\frac{2}{x}$，可利用数形结合思想，观察图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，注意反比例函数自变量x≠0，需分x＜0和x＞0两个区间分析。
（2）点C在y轴上，直接计算$△ ABC$的面积较复杂，可先找到一次函数$y=x-1$与y轴的交点M，将$△ ABC$拆分为$△ ACM$和$△ BCM$，两个三角形共底CM，高分别为点A、B到y轴的距离，根据面积和为6列含绝对值的方程，分类求解即可得到点C的坐标。
【解析】
(1) 联立$\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=\frac{2}{x}\end{array} $，消去y得$x-1=\frac{2}{x}$，整理得$x^2-x-2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
将x=2代入$y=x-1$得y=1，故点A坐标为$(2,1)$；将x=-1代入$y=x-1$得y=-2，故点B坐标为$(-1,-2)$。
观察图象：当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；当$0＜x＜2$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方，故不等式$x-1＜\frac{2}{x}$的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
(2) 设函数$y=x-1$的图象与y轴的交点为M，令x=0，得y=-1，即点M坐标为$(0,-1)$。
设点C的坐标为$(0,y_C)$，则$CM=|-1-y_C|=|y_C+1|$。
$△ ABC$的面积可表示为$△ BCM$和$△ ACM$的面积和：
$S_{△ ABC}=S_{△ BCM}+S_{△ ACM}=\frac{1}{2}× CM× |x_B| + \frac{1}{2}× CM× |x_A|$
代入$x_A=2$，$x_B=-1$，$S_{△ ABC}=6$得：
$\frac{1}{2}× |y_C+1|× 1 + \frac{1}{2}× |y_C+1|× 2 = 6$
整理得$\frac{3}{2}|y_C+1|=6$，即$|y_C+1|=4$。
当$y_C+1≥0$，即$y_C≥-1$时，$y_C+1=4$，解得$y_C=3$；
当$y_C+1＜0$，即$y_C＜-1$时，$y_C+1=-4$，解得$y_C=-5$。
故点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$。
【答案】
(1) $(2,1)$；$(-1,-2)$；$x＜-1$或$0＜x＜2$
(2) $(0,3)$或$(0,-5)$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；图象法解不等式；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查数形结合思想和分割法求面积的技巧，求解不等式时要注意反比例函数自变量的取值限制，求点C坐标时要注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）求两个函数图象的交点，可通过联立两个函数的解析式组成方程组，求解得到的解就是交点坐标；求解不等式$x-1＜\frac{2}{x}$，可利用数形结合思想，观察图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，注意反比例函数自变量x≠0，需分x＜0和x＞0两个区间分析。
（2）点C在y轴上，直接计算$△ ABC$的面积较复杂，可先找到一次函数$y=x-1$与y轴的交点M，将$△ ABC$拆分为$△ ACM$和$△ BCM$，两个三角形共底CM，高分别为点A、B到y轴的距离，根据面积和为6列含绝对值的方程，分类求解即可得到点C的坐标。
【解析】
(1) 联立$\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=\frac{2}{x}\end{array} $，消去y得$x-1=\frac{2}{x}$，整理得$x^2-x-2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
将x=2代入$y=x-1$得y=1，故点A坐标为$(2,1)$；将x=-1代入$y=x-1$得y=-2，故点B坐标为$(-1,-2)$。
观察图象：当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；当$0＜x＜2$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方，故不等式$x-1＜\frac{2}{x}$的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
(2) 设函数$y=x-1$的图象与y轴的交点为M，令x=0，得y=-1，即点M坐标为$(0,-1)$。
设点C的坐标为$(0,y_C)$，则$CM=|-1-y_C|=|y_C+1|$。
$△ ABC$的面积可表示为$△ BCM$和$△ ACM$的面积和：
$S_{△ ABC}=S_{△ BCM}+S_{△ ACM}=\frac{1}{2}× CM× |x_B| + \frac{1}{2}× CM× |x_A|$
代入$x_A=2$，$x_B=-1$，$S_{△ ABC}=6$得：
$\frac{1}{2}× |y_C+1|× 1 + \frac{1}{2}× |y_C+1|× 2 = 6$
整理得$\frac{3}{2}|y_C+1|=6$，即$|y_C+1|=4$。
当$y_C+1≥0$，即$y_C≥-1$时，$y_C+1=4$，解得$y_C=3$；
当$y_C+1＜0$，即$y_C＜-1$时，$y_C+1=-4$，解得$y_C=-5$。
故点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$。
【答案】
(1) $(2,1)$；$(-1,-2)$；$x＜-1$或$0＜x＜2$
(2) $(0,3)$或$(0,-5)$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；图象法解不等式；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查数形结合思想和分割法求面积的技巧，求解不等式时要注意反比例函数自变量的取值限制，求点C坐标时要注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
