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9.如图,点A是反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0,x＜0)$图象上一点,AC⊥x轴,垂足为C,AC与反比例函数$y=\frac{n}{x}(n≠0,x＜0)$的图象交于点B,AC=3BC,连接OA,OB.若△OAB的面积为2,则$m+n=$
-8
.答案
9. -8
解析
【分析】
首先回忆反比例函数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。本题中两个反比例函数都在第二象限，故$m＜0,n＜0$。观察图形可知$△ OAB$的面积等于$△ OAC$的面积减去$△ OBC$的面积，再结合$AC=3BC$的关系即可求出$m,n$的值，进而得到$m+n$。
【解析】
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＜0)$的图象上，AC⊥x轴，
∴ $S_{△ OAC}=\frac{1}{2}|m|$，
同理，点B在反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＜0)$的图象上，
∴ $S_{△ OBC}=\frac{1}{2}|n|$，
∵ 两个函数图象都在第二象限，
∴ $m＜0,n＜0$，
∴ $S_{△ OAC}=-\frac{1}{2}m$，$S_{△ OBC}=-\frac{1}{2}n$。
∵ $AC=3BC$，AC和BC都以OC为水平底，对应的高的比值等于线段长度比，
∴ $S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$，即 $-\frac{1}{2}m = 3×(-\frac{1}{2}n)$，化简得 $m=3n$。
又
∵ $S_{△ OAB}=S_{△ OAC}-S_{△ OBC}=2$，
∴ $-\frac{1}{2}m - (-\frac{1}{2}n)=2$，即 $-m +n=4$。
将$m=3n$代入上式得：$-3n +n=4$，解得 $n=-2$，
则 $m=3×(-2)=-6$，
∴ $m+n=-6+(-2)=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题关键是将不规则三角形的面积转化为两个同底直角三角形的面积差，结合线段比例关系建立k的等量关系即可求解，是反比例函数性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。本题中两个反比例函数都在第二象限，故$m＜0,n＜0$。观察图形可知$△ OAB$的面积等于$△ OAC$的面积减去$△ OBC$的面积，再结合$AC=3BC$的关系即可求出$m,n$的值，进而得到$m+n$。
【解析】
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＜0)$的图象上，AC⊥x轴，
∴ $S_{△ OAC}=\frac{1}{2}|m|$，
同理，点B在反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＜0)$的图象上，
∴ $S_{△ OBC}=\frac{1}{2}|n|$，
∵ 两个函数图象都在第二象限，
∴ $m＜0,n＜0$，
∴ $S_{△ OAC}=-\frac{1}{2}m$，$S_{△ OBC}=-\frac{1}{2}n$。
∵ $AC=3BC$，AC和BC都以OC为水平底，对应的高的比值等于线段长度比，
∴ $S_{△ OAC}=3S_{△ OBC}$，即 $-\frac{1}{2}m = 3×(-\frac{1}{2}n)$，化简得 $m=3n$。
又
∵ $S_{△ OAB}=S_{△ OAC}-S_{△ OBC}=2$，
∴ $-\frac{1}{2}m - (-\frac{1}{2}n)=2$，即 $-m +n=4$。
将$m=3n$代入上式得：$-3n +n=4$，解得 $n=-2$，
则 $m=3×(-2)=-6$，
∴ $m+n=-6+(-2)=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题关键是将不规则三角形的面积转化为两个同底直角三角形的面积差，结合线段比例关系建立k的等量关系即可求解，是反比例函数性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$的图象与一次函数$y=k_2x+b(k_2≠0)$的图象相交于$A(a,6),B(-6,1)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)当$x＜0$时,请根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集.
(3)过直线AB上的点C作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点D.若点C的横坐标为$-4$,求$△ BOD$的面积.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)当$x＜0$时,请根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集.
(3)过直线AB上的点C作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点D.若点C的横坐标为$-4$,求$△ BOD$的面积.
答案
10.【解】(1)$\because$反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象过点$B(-6,1)$,
$\therefore k_1=-6×1=-6$.
故反比例函数的解析式为 $y=-\frac{6}{x}$.
把点 $A$ 的坐标 $(a,6)$ 代入 $y=-\frac{6}{x}$,得$6=-\frac{6}{a}$. 解得 $a=-1$.
$\therefore$点 $A$ 的坐标为$(-1,6)$.
$\because$一次函数$y=k_2x+b$的图象过$A(-1,6)$,$B(-6,1)$两点,
$\therefore \begin{cases}-k_2+b=6, \\-6k_2+b=1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=1, \\b=7.\end{cases}$
故一次函数的解析式为 $y=x+7$.
(2)$-6≤x≤-1$.
(3)把 $x=-4$ 代入 $y=x+7$,得 $y=-4+7=3$.
$\therefore C(-4,3)$.
把 $y=3$ 代入 $y=-\frac{6}{x}$,得 $3=-\frac{6}{x}$.
解得 $x=-2$.
$\therefore D(-2,3)$.
如图, 过点 $B$ 作 $BF⊥x$ 轴,垂足为 $F$,过点 $D$ 作 $DE⊥x$ 轴,垂足为 $E$.
$\because B(-6,1)$,$D(-2,3)$,
$\therefore DE=3$,$BF=1$,$EF=|-2-(-6)|=4$.
由图知 $S_{△BOD}+S_{△BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△DEO}$.
由点 $B,D$ 在反比例函数 $y=-\frac{6}{x}$ 的图象上,得 $S_{△BFO}=S_{△DEO}=3$.
$\therefore S_{△BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(BF+DE)·EF=\frac{1}{2}×(1+3)×4=8$.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式可采用待定系数法：反比例函数仅需1个点坐标即可求出k₁，因此先将B点坐标代入反比例函数表达式求出k₁，得到反比例函数解析式后，将A点纵坐标代入可求出A点横坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到一次函数的k₂和b。
(2) 将不等式变形为$k_2x+b≥\frac{k_1}{x}$，其几何意义为x＜0时一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）对应的x的取值范围，结合两函数交点的横坐标即可直接写出解集。
(3) 先将点C的横坐标代入一次函数解析式求出C点纵坐标，由CD//x轴可知D点纵坐标与C点相等，将纵坐标代入反比例函数解析式求出D点横坐标；求△BOD的面积时利用割补法，结合反比例函数k的几何意义（反比例函数上任意一点与原点、坐标轴围成的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$），可将△BOD的面积转化为梯形BFED的面积，代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象过点$B(-6,1)$,
∴$k_1=-6×1=-6$.
故反比例函数的解析式为 $y=-\frac{6}{x}$.
把点 $A$ 的坐标 $(a,6)$ 代入 $y=-\frac{6}{x}$,得$6=-\frac{6}{a}$. 解得 $a=-1$.
∴点 $A$ 的坐标为$(-1,6)$.
∵一次函数$y=k_2x+b$的图象过$A(-1,6)$,$B(-6,1)$两点,
∴ $\begin{cases}-k_2+b=6, \\-6k_2+b=1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=1, \\b=7.\end{cases}$
故一次函数的解析式为 $y=x+7$.
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$可变形为$k_2x+b≥\frac{k_1}{x}$，即x＜0时一次函数值大于等于反比例函数值的x范围，结合图象可得解集为$-6≤x≤-1$.
(3) 把 $x=-4$ 代入 $y=x+7$,得 $y=-4+7=3$.
∴ $C(-4,3)$.
∵CD//x轴，
∴D点纵坐标为3，把 $y=3$ 代入 $y=-\frac{6}{x}$,得 $3=-\frac{6}{x}$.
解得 $x=-2$.
∴ $D(-2,3)$.
如图, 过点 $B$ 作 $BF⊥x$ 轴,垂足为 $F$,过点 $D$ 作 $DE⊥x$ 轴,垂足为 $E$.
∵$B(-6,1)$,$D(-2,3)$,
∴$DE=3$,$BF=1$,$EF=|-2-(-6)|=4$.
由图知 $S_{△BOD}+S_{△BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△DEO}$.
由点 $B,D$ 在反比例函数 $y=-\frac{6}{x}$ 的图象上,得 $S_{△BFO}=S_{△DEO}=\frac{|k_1|}{2}=3$.
∴ $S_{△BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(BF+DE)·EF=\frac{1}{2}×(1+3)×4=8$.
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{6}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+7}$；
(2) 解集为$\boldsymbol{-6≤x≤-1}$；
(3) $△ BOD$的面积为$\boldsymbol{8}$；
辅助线图示：
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图象解不等式
3. 反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合常规题型，考查内容覆盖函数解析式求解、数形结合思想应用、图形面积计算，其中第三问利用反比例函数的性质转化面积可简化计算，需要学生熟练掌握函数的基本性质，学会结合图象分析问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式可采用待定系数法：反比例函数仅需1个点坐标即可求出k₁，因此先将B点坐标代入反比例函数表达式求出k₁，得到反比例函数解析式后，将A点纵坐标代入可求出A点横坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到一次函数的k₂和b。
(2) 将不等式变形为$k_2x+b≥\frac{k_1}{x}$，其几何意义为x＜0时一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）对应的x的取值范围，结合两函数交点的横坐标即可直接写出解集。
(3) 先将点C的横坐标代入一次函数解析式求出C点纵坐标，由CD//x轴可知D点纵坐标与C点相等，将纵坐标代入反比例函数解析式求出D点横坐标；求△BOD的面积时利用割补法，结合反比例函数k的几何意义（反比例函数上任意一点与原点、坐标轴围成的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$），可将△BOD的面积转化为梯形BFED的面积，代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象过点$B(-6,1)$,
∴$k_1=-6×1=-6$.
故反比例函数的解析式为 $y=-\frac{6}{x}$.
把点 $A$ 的坐标 $(a,6)$ 代入 $y=-\frac{6}{x}$,得$6=-\frac{6}{a}$. 解得 $a=-1$.
∴点 $A$ 的坐标为$(-1,6)$.
∵一次函数$y=k_2x+b$的图象过$A(-1,6)$,$B(-6,1)$两点,
∴ $\begin{cases}-k_2+b=6, \\-6k_2+b=1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=1, \\b=7.\end{cases}$
故一次函数的解析式为 $y=x+7$.
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$可变形为$k_2x+b≥\frac{k_1}{x}$，即x＜0时一次函数值大于等于反比例函数值的x范围，结合图象可得解集为$-6≤x≤-1$.
(3) 把 $x=-4$ 代入 $y=x+7$,得 $y=-4+7=3$.
∴ $C(-4,3)$.
∵CD//x轴，
∴D点纵坐标为3，把 $y=3$ 代入 $y=-\frac{6}{x}$,得 $3=-\frac{6}{x}$.
解得 $x=-2$.
∴ $D(-2,3)$.
如图, 过点 $B$ 作 $BF⊥x$ 轴,垂足为 $F$,过点 $D$ 作 $DE⊥x$ 轴,垂足为 $E$.
∵$B(-6,1)$,$D(-2,3)$,
∴$DE=3$,$BF=1$,$EF=|-2-(-6)|=4$.
由图知 $S_{△BOD}+S_{△BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△DEO}$.
由点 $B,D$ 在反比例函数 $y=-\frac{6}{x}$ 的图象上,得 $S_{△BFO}=S_{△DEO}=\frac{|k_1|}{2}=3$.
∴ $S_{△BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(BF+DE)·EF=\frac{1}{2}×(1+3)×4=8$.
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{6}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+7}$；
(2) 解集为$\boldsymbol{-6≤x≤-1}$；
(3) $△ BOD$的面积为$\boldsymbol{8}$；
辅助线图示：
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图象解不等式
3. 反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合常规题型，考查内容覆盖函数解析式求解、数形结合思想应用、图形面积计算，其中第三问利用反比例函数的性质转化面积可简化计算，需要学生熟练掌握函数的基本性质，学会结合图象分析问题。
【难度系数】
0.7
11.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).
(1)直接写出B,C,D三点的坐标.
(2)将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好能同时落在反比例函数的图象上,求反比例函数的解析式和此时直线AC对应的一次函数解析式,并直接写出满足反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.
(1)直接写出B,C,D三点的坐标.
(2)将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好能同时落在反比例函数的图象上,求反比例函数的解析式和此时直线AC对应的一次函数解析式,并直接写出满足反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.
答案
11.【解】(1)$B(2,4),C(6,4),D(6,6)$.
(2)易得矩形 $ABCD$ 向下平移后只有点$A,C$能同时落在反比例函数的图象上.
设矩形 $ABCD$ 向下平移了 $m(m＞0)$ 个单位长度,则平移后点 $A$ 的坐标是 $(2,6-m)$,点 $C$ 的坐标是$(6,4-m)$.
$\therefore 2(6-m)=6(4-m)$. 解得 $m=3$.
$\therefore$ 矩形 $ABCD$ 向下平移后,点 $A$ 的坐标是$(2,3)$,点 $C$ 的坐标是$(6,1)$.
$\therefore$ 反比例函数的解析式是 $y=\frac{6}{x}$.
设此时直线 $AC$ 对应的一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$.
根据题意,得$\begin{cases}3=2a+b, \\1=6a+b.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\frac{1}{2}, \\b=4.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AC$ 对应的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$. 当 $0＜x＜2$ 或 $x＞6$ 时,反比例函数值大于一次函数值.
(2)易得矩形 $ABCD$ 向下平移后只有点$A,C$能同时落在反比例函数的图象上.
设矩形 $ABCD$ 向下平移了 $m(m＞0)$ 个单位长度,则平移后点 $A$ 的坐标是 $(2,6-m)$,点 $C$ 的坐标是$(6,4-m)$.
$\therefore 2(6-m)=6(4-m)$. 解得 $m=3$.
$\therefore$ 矩形 $ABCD$ 向下平移后,点 $A$ 的坐标是$(2,3)$,点 $C$ 的坐标是$(6,1)$.
$\therefore$ 反比例函数的解析式是 $y=\frac{6}{x}$.
设此时直线 $AC$ 对应的一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$.
根据题意,得$\begin{cases}3=2a+b, \\1=6a+b.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\frac{1}{2}, \\b=4.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AC$ 对应的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$. 当 $0＜x＜2$ 或 $x＞6$ 时,反比例函数值大于一次函数值.
解析
【分析】
(1) 根据矩形的性质求解坐标：矩形对边平行且相等，AD平行x轴，可知AB平行y轴，结合已知AB=2、AD=4以及点A的坐标，分别计算B、C、D三点坐标即可。
(2) 首先判断平移后哪两个顶点能同时落在反比例函数图象上：矩形上下平移时，同一水平边的两个点纵坐标相同，同一竖直边的两个点横坐标相同，而反比例函数$y=\frac{k}{x}$中x和y一一对应，因此只有点A、C可同时落在反比例图象上。再设平移距离为m，写出平移后A、C的坐标，利用反比例函数$k=xy$的性质列方程求出m，即可得到反比例函数解析式；之后用待定系数法求平移后直线AC的一次函数解析式，最后结合两个函数的交点横坐标，写出反比例函数值大于一次函数值的x范围。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AD平行于x轴，$A(2,6)$，$AB=2$，$AD=4$
∴点B横坐标与A相同，纵坐标为$6-2=4$，即$B(2,4)$
点D纵坐标与A相同，横坐标为$2+4=6$，即$D(6,6)$
点C横坐标与D相同，纵坐标与B相同，即$C(6,4)$
(2) 矩形向下平移时，排除横/纵坐标相同的点对，仅A、C可同时落在反比例函数图象上。
设矩形向下平移了$m(m＞0)$个单位长度，则平移后A的坐标为$(2,6-m)$，C的坐标为$(6,4-m)$
∵两点均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=2(6-m)=6(4-m)$
解方程得：$12-2m=24-6m$，移项得$4m=12$，解得$m=3$
∴平移后$A(2,3)$，$C(6,1)$，则$k=2×3=6$，反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$
设直线AC的一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，将$A(2,3)$、$C(6,1)$代入得：
$\begin{cases}2a+b=3 \\6a+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2} \\b=4 \end{cases}$，即一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$
结合两个函数的交点横坐标为2和6，且反比例函数在第一象限，可得反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围是$0＜x＜2$或$x＞6$
【答案】
(1) $B(2,4),C(6,4),D(6,6)$
(2) 反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，直线AC对应的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$，满足反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围是$0＜x＜2$或$x＞6$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，图形平移的性质
【点评】
本题综合考查了矩形性质、平移规律、反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是先判断出平移后落在反比例图象上的顶点，再利用反比例函数k的定值特性列方程求解，最后结合图象判断函数值大小对应的自变量范围，是反比例函数综合应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
(1) 根据矩形的性质求解坐标：矩形对边平行且相等，AD平行x轴，可知AB平行y轴，结合已知AB=2、AD=4以及点A的坐标，分别计算B、C、D三点坐标即可。
(2) 首先判断平移后哪两个顶点能同时落在反比例函数图象上：矩形上下平移时，同一水平边的两个点纵坐标相同，同一竖直边的两个点横坐标相同，而反比例函数$y=\frac{k}{x}$中x和y一一对应，因此只有点A、C可同时落在反比例图象上。再设平移距离为m，写出平移后A、C的坐标，利用反比例函数$k=xy$的性质列方程求出m，即可得到反比例函数解析式；之后用待定系数法求平移后直线AC的一次函数解析式，最后结合两个函数的交点横坐标，写出反比例函数值大于一次函数值的x范围。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AD平行于x轴，$A(2,6)$，$AB=2$，$AD=4$
∴点B横坐标与A相同，纵坐标为$6-2=4$，即$B(2,4)$
点D纵坐标与A相同，横坐标为$2+4=6$，即$D(6,6)$
点C横坐标与D相同，纵坐标与B相同，即$C(6,4)$
(2) 矩形向下平移时，排除横/纵坐标相同的点对，仅A、C可同时落在反比例函数图象上。
设矩形向下平移了$m(m＞0)$个单位长度，则平移后A的坐标为$(2,6-m)$，C的坐标为$(6,4-m)$
∵两点均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=2(6-m)=6(4-m)$
解方程得：$12-2m=24-6m$，移项得$4m=12$，解得$m=3$
∴平移后$A(2,3)$，$C(6,1)$，则$k=2×3=6$，反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$
设直线AC的一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，将$A(2,3)$、$C(6,1)$代入得：
$\begin{cases}2a+b=3 \\6a+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2} \\b=4 \end{cases}$，即一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$
结合两个函数的交点横坐标为2和6，且反比例函数在第一象限，可得反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围是$0＜x＜2$或$x＞6$
【答案】
(1) $B(2,4),C(6,4),D(6,6)$
(2) 反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，直线AC对应的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$，满足反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围是$0＜x＜2$或$x＞6$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求解析式，图形平移的性质
【点评】
本题综合考查了矩形性质、平移规律、反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是先判断出平移后落在反比例图象上的顶点，再利用反比例函数k的定值特性列方程求解，最后结合图象判断函数值大小对应的自变量范围，是反比例函数综合应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
