登录
15. (★★)阅读例题,再计算.
例题:计算$-5 \frac{5}{6} + (-9 \frac{2}{3}) + 17 \frac{3}{4} + (-3 \frac{1}{2})$.
解:原式$= [ (-5) + (-\frac{5}{6}) ] + [ (-9) + (-\frac{2}{3}) ] + (17 + \frac{3}{4}) + [ (-3) + (-\frac{1}{2}) ]$
$= [ (-5) + (-9) + (-3) +17 ] + [ (-\frac{5}{6}) + (-\frac{2}{3}) + (-\frac{1}{2}) + \frac{3}{4} ]$
$=0 + (-1 \frac{1}{4})$
$= -1 \frac{1}{4}$.
仿照上面的方法计算: $(-2024 \frac{5}{6}) + (-2025 \frac{2}{3}) +4050 + (-1 \frac{1}{2})$.
例题:计算$-5 \frac{5}{6} + (-9 \frac{2}{3}) + 17 \frac{3}{4} + (-3 \frac{1}{2})$.
解:原式$= [ (-5) + (-\frac{5}{6}) ] + [ (-9) + (-\frac{2}{3}) ] + (17 + \frac{3}{4}) + [ (-3) + (-\frac{1}{2}) ]$
$= [ (-5) + (-9) + (-3) +17 ] + [ (-\frac{5}{6}) + (-\frac{2}{3}) + (-\frac{1}{2}) + \frac{3}{4} ]$
$=0 + (-1 \frac{1}{4})$
$= -1 \frac{1}{4}$.
仿照上面的方法计算: $(-2024 \frac{5}{6}) + (-2025 \frac{2}{3}) +4050 + (-1 \frac{1}{2})$.
答案
解：原式$=[(-2024)+(-\frac{5}{6})]+[(-2025)+(-\frac{2}{3})]+4050+[(-1)+(-\frac{1}{2})]$
$=[(-2024)+(-2025)+(-1)+4050]+[(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})]$
$=0 + (-2)$
$=-2$
$=[(-2024)+(-2025)+(-1)+4050]+[(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})]$
$=0 + (-2)$
$=-2$
解析
【分析】
本题可仿照例题使用拆项法简化计算，解题思路如下：第一步，将每个带分数拆分成整数部分与分数部分相加的形式，注意带分数的负号要同时作用于整数和分数部分；第二步，利用加法交换律和结合律，将所有整数项归为一组、所有分数项归为一组分别计算；第三步，将两组的计算结果相加得到最终答案，分组计算能避免直接通分的繁琐，降低出错率。
【解析】
解：原式$=[(-2024)+(-\frac{5}{6})]+[(-2025)+(-\frac{2}{3})]+4050+[(-1)+(-\frac{1}{2})]$
$=[(-2024)+(-2025)+(-1)+4050]+[(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})]$
计算整数部分：$(-2024)+(-2025)+(-1)+4050=-4050+4050=0$
计算分数部分：$(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{6}-\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{12}{6}=-2$
合并结果：$0+(-2)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
有理数加法运算，加法运算律，拆项法简便计算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，通过拆项结合加法运算律分组计算，能有效简化计算过程，解题时要注意带分数拆分时符号的正确性，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题可仿照例题使用拆项法简化计算，解题思路如下：第一步，将每个带分数拆分成整数部分与分数部分相加的形式，注意带分数的负号要同时作用于整数和分数部分；第二步，利用加法交换律和结合律，将所有整数项归为一组、所有分数项归为一组分别计算；第三步，将两组的计算结果相加得到最终答案，分组计算能避免直接通分的繁琐，降低出错率。
【解析】
解：原式$=[(-2024)+(-\frac{5}{6})]+[(-2025)+(-\frac{2}{3})]+4050+[(-1)+(-\frac{1}{2})]$
$=[(-2024)+(-2025)+(-1)+4050]+[(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})]$
计算整数部分：$(-2024)+(-2025)+(-1)+4050=-4050+4050=0$
计算分数部分：$(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{6}-\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{12}{6}=-2$
合并结果：$0+(-2)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
有理数加法运算，加法运算律，拆项法简便计算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，通过拆项结合加法运算律分组计算，能有效简化计算过程，解题时要注意带分数拆分时符号的正确性，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
16. (★★)外卖小哥小张某天中午两个小时内骑电动车在东西走向的中山路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数。具体行程(单位:km)的记录如下：
3,-2.8,-1.3,1.5,2.7,-3,4.5,-2.7,-3.5,4.
(1)当将最后一个外卖送到目的地时，小张距出发地点的距离为多少千米？
(2)若小张的电动车充满电能行驶80 km，通常每天除了中午的两个小时送餐工作，晚饭时间还有两个小时的送餐，距离和中午基本相同，另外，小张每天往返回家等其他的路程大概是15 km，请问：在该电动车满电而途中不再充电的情况下，小张是否可以完成一天的行程？请说明理由。
3,-2.8,-1.3,1.5,2.7,-3,4.5,-2.7,-3.5,4.
(1)当将最后一个外卖送到目的地时，小张距出发地点的距离为多少千米？
(2)若小张的电动车充满电能行驶80 km，通常每天除了中午的两个小时送餐工作，晚饭时间还有两个小时的送餐，距离和中午基本相同，另外，小张每天往返回家等其他的路程大概是15 km，请问：在该电动车满电而途中不再充电的情况下，小张是否可以完成一天的行程？请说明理由。
答案
解：
(1) 计算所有行程的和：
$\begin{aligned}&3 + (-2.8) + (-1.3) + 1.5 + 2.7 + (-3) + 4.5 + (-2.7) + (-3.5) + 4\\=&2.4\end{aligned}$
答：小张距出发地点的距离为2.4千米。
(2) 先计算中午送餐行驶的总路程：
$\begin{aligned}&|3| + |-2.8| + |-1.3| + |1.5| + |2.7| + |-3| + |4.5| + |-2.7| + |-3.5| + |4|\\=&29\ \mathrm{km}\end{aligned}$
一天的总行程为：
$29×2 + 15 = 73\ \mathrm{km}$
因为$73 ＜ 80$，所以小张可以完成一天的行程。
答：小张可以完成一天的行程，因为一天总行程为73km，小于电动车满电可行驶的80km。
(1) 计算所有行程的和：
$\begin{aligned}&3 + (-2.8) + (-1.3) + 1.5 + 2.7 + (-3) + 4.5 + (-2.7) + (-3.5) + 4\\=&2.4\end{aligned}$
答：小张距出发地点的距离为2.4千米。
(2) 先计算中午送餐行驶的总路程：
$\begin{aligned}&|3| + |-2.8| + |-1.3| + |1.5| + |2.7| + |-3| + |4.5| + |-2.7| + |-3.5| + |4|\\=&29\ \mathrm{km}\end{aligned}$
一天的总行程为：
$29×2 + 15 = 73\ \mathrm{km}$
因为$73 ＜ 80$，所以小张可以完成一天的行程。
答：小张可以完成一天的行程，因为一天总行程为73km，小于电动车满电可行驶的80km。
解析
【分析】
(1) 要计算小张最后距出发地点的距离，由于记录的正负代表行驶方向，位移是带方向的量，因此只需将所有行程的数值直接相加，最终结果的绝对值就是距出发地的距离，符号代表相对出发地的方向。
(2) 判断能否完成一天行程，需要先计算实际行驶的总路程，总路程和方向无关，因此要先求出所有行程数值的绝对值之和，得到中午的总行驶路程；再根据晚饭路程和中午一致，加上往返的15km得到全天总路程，最后和电动车满电可行驶的80km比较大小即可。
【解析】
(1) 计算所有行程的代数和：
$\begin{aligned}&3 + (-2.8) + (-1.3) + 1.5 + 2.7 + (-3) + 4.5 + (-2.7) + (-3.5) + 4\\=&(3-3)+(2.7-2.7)+(-2.8-1.3-3.5)+(1.5+4.5+4)\\=&0+0-7.6+10\\=&2.4\end{aligned}$
即小张在出发地东侧2.4km处，距出发地距离为2.4km。
(2) 先计算中午送餐的总路程（总路程为每次行驶路程的绝对值之和）：
$\begin{aligned}&|3| + |-2.8| + |-1.3| + |1.5| + |2.7| + |-3| + |4.5| + |-2.7| + |-3.5| + |4|\\=&3+2.8+1.3+1.5+2.7+3+4.5+2.7+3.5+4\\=&29\ \mathrm{km}\end{aligned}$
全天总行程为中午路程+晚饭路程+其他路程：
$29×2 + 15 = 73\ \mathrm{km}$
因为$73 ＜ 80$，总行程小于电动车满电可行驶的最大路程，所以小张可以完成一天的行程。
【答案】
(1) 小张距出发地点的距离为2.4千米；
(2) 小张可以完成一天的行程，因为一天总行程为73km，小于电动车满电可行驶的80km。
【知识点】
正负数的意义；有理数加减运算；绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，解题核心是区分带方向的位移和无方向的总路程，计算时注意运算准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要计算小张最后距出发地点的距离，由于记录的正负代表行驶方向，位移是带方向的量，因此只需将所有行程的数值直接相加，最终结果的绝对值就是距出发地的距离，符号代表相对出发地的方向。
(2) 判断能否完成一天行程，需要先计算实际行驶的总路程，总路程和方向无关，因此要先求出所有行程数值的绝对值之和，得到中午的总行驶路程；再根据晚饭路程和中午一致，加上往返的15km得到全天总路程，最后和电动车满电可行驶的80km比较大小即可。
【解析】
(1) 计算所有行程的代数和：
$\begin{aligned}&3 + (-2.8) + (-1.3) + 1.5 + 2.7 + (-3) + 4.5 + (-2.7) + (-3.5) + 4\\=&(3-3)+(2.7-2.7)+(-2.8-1.3-3.5)+(1.5+4.5+4)\\=&0+0-7.6+10\\=&2.4\end{aligned}$
即小张在出发地东侧2.4km处，距出发地距离为2.4km。
(2) 先计算中午送餐的总路程（总路程为每次行驶路程的绝对值之和）：
$\begin{aligned}&|3| + |-2.8| + |-1.3| + |1.5| + |2.7| + |-3| + |4.5| + |-2.7| + |-3.5| + |4|\\=&3+2.8+1.3+1.5+2.7+3+4.5+2.7+3.5+4\\=&29\ \mathrm{km}\end{aligned}$
全天总行程为中午路程+晚饭路程+其他路程：
$29×2 + 15 = 73\ \mathrm{km}$
因为$73 ＜ 80$，总行程小于电动车满电可行驶的最大路程，所以小张可以完成一天的行程。
【答案】
(1) 小张距出发地点的距离为2.4千米；
(2) 小张可以完成一天的行程，因为一天总行程为73km，小于电动车满电可行驶的80km。
【知识点】
正负数的意义；有理数加减运算；绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，解题核心是区分带方向的位移和无方向的总路程，计算时注意运算准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
17. (★★★)求所有分母不超过100的正真分数的和,即$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}+\dots+\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\dots+\frac{99}{100}=$.
答案
解：
对于分母为$n$（$n≥2$，$n$为正整数）的所有正真分数，它们的和为：
$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}=\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}$
通过加法配对可得$1+(n-1)=n$，$2+(n-2)=n$，……，因此$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，代入得：
$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}=\frac{n-1}{2}$
因此原式等于分母从2到100的所有真分数的和相加：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2-1}{2}+\frac{3-1}{2}+\frac{4-1}{2}+\dots+\frac{100-1}{2}\\&=\frac{1+2+3+\dots+99}{2}\\&=\frac{(1+99)×99÷2}{2}\\&=2475\end{aligned}$
对于分母为$n$（$n≥2$，$n$为正整数）的所有正真分数，它们的和为：
$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}=\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}$
通过加法配对可得$1+(n-1)=n$，$2+(n-2)=n$，……，因此$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，代入得：
$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}=\frac{n-1}{2}$
因此原式等于分母从2到100的所有真分数的和相加：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2-1}{2}+\frac{3-1}{2}+\frac{4-1}{2}+\dots+\frac{100-1}{2}\\&=\frac{1+2+3+\dots+99}{2}\\&=\frac{(1+99)×99÷2}{2}\\&=2475\end{aligned}$
解析
【分析】
观察算式可发现所有分数按分母从小到大分组排列，我们可以先计算同一分母的所有正真分数的和，找到每组和的规律，再将所有组的和累加得到最终结果。具体思考路径：第一步，对分母为n（n从2到100）的正真分数求和，用加法配对法计算分子的和，化简得到每组和的通用表达式；第二步，把所有组的和累加，再用配对法计算累加式的结果即可。
【解析】
按分母分组计算：
对于分母为$n$（$n≥2$，$n$为正整数）的所有正真分数，和为：
$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}=\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}$
计算分子的和：将$1$和$n-1$配对得$n$，$2$和$n-2$配对得$n$，共$\frac{n-1}{2}$组，因此$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，代入得：
$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}$
将分母从2到100的每组和累加：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2-1}{2}+\frac{3-1}{2}+\frac{4-1}{2}+\dots+\frac{100-1}{2}\\&=\frac{1+2+3+\dots+99}{2}\\&=\frac{(1+99)×99÷2}{2}\\&=\frac{4950}{2}\\&=2475\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{2475}$
【知识点】
真分数的概念、有理数加法运算、分组巧算
【点评】
本题是有理数巧算的典型题型，核心是通过观察算式结构找到分组规律，将繁琐的逐项连加拆解为简单的分组求和，再利用加法配对简化计算，能有效锻炼学生的观察能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
观察算式可发现所有分数按分母从小到大分组排列，我们可以先计算同一分母的所有正真分数的和，找到每组和的规律，再将所有组的和累加得到最终结果。具体思考路径：第一步，对分母为n（n从2到100）的正真分数求和，用加法配对法计算分子的和，化简得到每组和的通用表达式；第二步，把所有组的和累加，再用配对法计算累加式的结果即可。
【解析】
按分母分组计算：
对于分母为$n$（$n≥2$，$n$为正整数）的所有正真分数，和为：
$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}=\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n}$
计算分子的和：将$1$和$n-1$配对得$n$，$2$和$n-2$配对得$n$，共$\frac{n-1}{2}$组，因此$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，代入得：
$\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}$
将分母从2到100的每组和累加：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2-1}{2}+\frac{3-1}{2}+\frac{4-1}{2}+\dots+\frac{100-1}{2}\\&=\frac{1+2+3+\dots+99}{2}\\&=\frac{(1+99)×99÷2}{2}\\&=\frac{4950}{2}\\&=2475\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{2475}$
【知识点】
真分数的概念、有理数加法运算、分组巧算
【点评】
本题是有理数巧算的典型题型，核心是通过观察算式结构找到分组规律，将繁琐的逐项连加拆解为简单的分组求和，再利用加法配对简化计算，能有效锻炼学生的观察能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
