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16. (★★)用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地面.
(1)观察图形,填写下表:
图形 ① ② ③ …
黑色瓷砖的块数 4 7 …
白色瓷砖的块数 5 8 …
(2)依上表推测,第$n$个图形中黑色瓷砖的块数为 ,白色瓷砖的块数为 .(用含$n$的代数式表示)
(3)黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数可能是2024吗?若能,求出是第几个图形;若不能,请说明理由.
(1)观察图形,填写下表:
图形 ① ② ③ …
黑色瓷砖的块数 4 7 …
白色瓷砖的块数 5 8 …
(2)依上表推测,第$n$个图形中黑色瓷砖的块数为 ,白色瓷砖的块数为 .(用含$n$的代数式表示)
(3)黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数可能是2024吗?若能,求出是第几个图形;若不能,请说明理由.
答案
解：
(1) 观察图形可知，第③个图形黑色瓷砖的块数为10，白色瓷砖的块数为11。
表格依次填写：$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{11}$。
(2) 结合图形规律推测，第$n$个图形中黑色瓷砖的块数为$\boldsymbol{3n+1}$，白色瓷砖的块数为$\boldsymbol{3n+2}$。
(3) 不可能，理由如下：
第$n$个图形黑、白瓷砖总块数为：
$(3n+1)+(3n+2)=6n+3$
令$6n+3=2024$，
移项得$6n=2021$，
解得$n=\frac{2021}{6}$。
因为$n$必须是正整数，$\frac{2021}{6}$不是正整数，不符合图形序号的要求，
所以黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数不可能是2024。
(1) 观察图形可知，第③个图形黑色瓷砖的块数为10，白色瓷砖的块数为11。
表格依次填写：$\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{11}$。
(2) 结合图形规律推测，第$n$个图形中黑色瓷砖的块数为$\boldsymbol{3n+1}$，白色瓷砖的块数为$\boldsymbol{3n+2}$。
(3) 不可能，理由如下：
第$n$个图形黑、白瓷砖总块数为：
$(3n+1)+(3n+2)=6n+3$
令$6n+3=2024$，
移项得$6n=2021$，
解得$n=\frac{2021}{6}$。
因为$n$必须是正整数，$\frac{2021}{6}$不是正整数，不符合图形序号的要求，
所以黑色瓷砖与白色瓷砖的总块数不可能是2024。
解析
【分析】
本题属于图形规律探究题，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，先观察前两个图形的黑、白瓷砖数量，发现两类瓷砖每往后一个图形都增加3块，据此计算第③个图形的瓷砖数即可；2. 解决第(2)问时，将前3个图形的瓷砖数量与图形序号n建立联系，通过归纳推理得出第n个图形的瓷砖数量的代数式；3. 解决第(3)问时，先表示出总瓷砖数的代数式，再列方程求解，最后结合n为正整数的隐含条件判断是否存在符合要求的n。
【解析】
(1) 观察可知，黑色瓷砖后一个图形比前一个多3块，第①个4块，第②个7块，因此第③个黑色瓷砖块数为7+3=10；白色瓷砖同样后一个图形比前一个多3块，第①个5块，第②个8块，因此第③个白色瓷砖块数为8+3=11。
(2) 对比黑色瓷砖数量与图形序号：第1个图形：$3×1+1=4$，第2个图形：$3×2+1=7$，第3个图形：$3×3+1=10$，因此第n个图形黑色瓷砖块数为$3n+1$；
对比白色瓷砖数量与图形序号：第1个图形：$3×1+2=5$，第2个图形：$3×2+2=8$，第3个图形：$3×3+2=11$，因此第n个图形白色瓷砖块数为$3n+2$。
(3) 不可能，理由如下：
第n个图形黑、白瓷砖总块数为黑色加白色：
$(3n+1)+(3n+2)=6n+3$
令$6n+3=2024$，
移项得$6n=2024-3=2021$，
解得$n=\frac{2021}{6}$。
由于图形序号n必须是正整数，而$\frac{2021}{6}$不是正整数，不符合要求，因此总块数不可能是2024。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{11}$
(2) $\boldsymbol{3n+1}$，$\boldsymbol{3n+2}$
(3) 不可能，理由见解析
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，核心考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题时要注意图形序号必须为正整数这一隐含条件，避免忽略取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题属于图形规律探究题，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，先观察前两个图形的黑、白瓷砖数量，发现两类瓷砖每往后一个图形都增加3块，据此计算第③个图形的瓷砖数即可；2. 解决第(2)问时，将前3个图形的瓷砖数量与图形序号n建立联系，通过归纳推理得出第n个图形的瓷砖数量的代数式；3. 解决第(3)问时，先表示出总瓷砖数的代数式，再列方程求解，最后结合n为正整数的隐含条件判断是否存在符合要求的n。
【解析】
(1) 观察可知，黑色瓷砖后一个图形比前一个多3块，第①个4块，第②个7块，因此第③个黑色瓷砖块数为7+3=10；白色瓷砖同样后一个图形比前一个多3块，第①个5块，第②个8块，因此第③个白色瓷砖块数为8+3=11。
(2) 对比黑色瓷砖数量与图形序号：第1个图形：$3×1+1=4$，第2个图形：$3×2+1=7$，第3个图形：$3×3+1=10$，因此第n个图形黑色瓷砖块数为$3n+1$；
对比白色瓷砖数量与图形序号：第1个图形：$3×1+2=5$，第2个图形：$3×2+2=8$，第3个图形：$3×3+2=11$，因此第n个图形白色瓷砖块数为$3n+2$。
(3) 不可能，理由如下：
第n个图形黑、白瓷砖总块数为黑色加白色：
$(3n+1)+(3n+2)=6n+3$
令$6n+3=2024$，
移项得$6n=2024-3=2021$，
解得$n=\frac{2021}{6}$。
由于图形序号n必须是正整数，而$\frac{2021}{6}$不是正整数，不符合要求，因此总块数不可能是2024。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{11}$
(2) $\boldsymbol{3n+1}$，$\boldsymbol{3n+2}$
(3) 不可能，理由见解析
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，核心考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题时要注意图形序号必须为正整数这一隐含条件，避免忽略取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.7
17. (★★)2024年央视春节联欢晚会上的纸牌魔术,让观众津津乐道. 其实这个魔术可以用“数学原理”来解释,我们称之为“数学魔术”,类似的“数学魔术”很多. 比如:数学课上,老师对同学们说:请你默想一个一位整数,把这个数乘2,加上5,再乘50,加上1776,最后再减去你出生的年份. 把运算过的结果告诉我,我就能猜中你默想的那个一位整数和你今年(2026年)的年龄.
注:年龄只考虑出生年份,不考虑月份,如2000年1~12月出生,今年(2026年)都是26岁.
(1)【特例研究】请举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位整数和今年(2026年)的年龄的.
(2)【一般原理】请你帮助同学们揭秘这个“数学魔术”,解释其中的原理.
(3)【创新思维】从上述的“数学魔术”中获取灵感,请你设计一个独创的“数学魔术”,并和大家分享.
注:年龄只考虑出生年份,不考虑月份,如2000年1~12月出生,今年(2026年)都是26岁.
(1)【特例研究】请举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位整数和今年(2026年)的年龄的.
(2)【一般原理】请你帮助同学们揭秘这个“数学魔术”,解释其中的原理.
(3)【创新思维】从上述的“数学魔术”中获取灵感,请你设计一个独创的“数学魔术”,并和大家分享.
答案
解：
(1) 举例：假设同学默想的一位整数是3，出生年份是2011年，
按照给定步骤运算：
$3×2=6$，$6+5=11$，$11×50=550$，$550+1776=2326$，$2326-2011=315$。
老师得到结果315后，结果的百位数字3就是同学默想的一位整数，结果的后两位15就是同学2026年的年龄（$2026-2011=15$），即可同时猜中两个结果。
(2) 设同学默想的一位整数为$x$，出生年份为$y$，
根据题意列代数式并化简：
$\begin{aligned}&(2x + 5)×50 + 1776 - y\\=&100x + 250 + 1776 - y\\=&100x + 2026 - y\end{aligned}$
其中$2026-y$就是同学2026年的实际年龄，对于普通学生来说，年龄是不超过100的正整数，因此$100x$会将$x$放到最终结果的百位上，最终运算结果的百位数字就是同学默想的一位整数$x$，末两位数字就是同学2026年的年龄，因此老师可以直接通过运算结果得到两个答案。
(3) 设计的数学魔术：
请你默想一个一位整数，把这个数乘2，加上4，再乘50，加上1825，最后减去你出生的年份，把运算结果告诉我，我就能立刻猜出你默想的一位整数和你2025年的年龄。
原理验证：设默想的一位数为$a$，出生年份为$b$，化简代数式可得：
$\begin{aligned}&(2a + 4)×50 + 1825 - b\\=&100a + 200 + 1825 - b\\=&100a + 2025 - b\end{aligned}$
最终结果的百位数字就是默想的数$a$，末两位数字就是2025年对应的年龄$2025-b$。
(1) 举例：假设同学默想的一位整数是3，出生年份是2011年，
按照给定步骤运算：
$3×2=6$，$6+5=11$，$11×50=550$，$550+1776=2326$，$2326-2011=315$。
老师得到结果315后，结果的百位数字3就是同学默想的一位整数，结果的后两位15就是同学2026年的年龄（$2026-2011=15$），即可同时猜中两个结果。
(2) 设同学默想的一位整数为$x$，出生年份为$y$，
根据题意列代数式并化简：
$\begin{aligned}&(2x + 5)×50 + 1776 - y\\=&100x + 250 + 1776 - y\\=&100x + 2026 - y\end{aligned}$
其中$2026-y$就是同学2026年的实际年龄，对于普通学生来说，年龄是不超过100的正整数，因此$100x$会将$x$放到最终结果的百位上，最终运算结果的百位数字就是同学默想的一位整数$x$，末两位数字就是同学2026年的年龄，因此老师可以直接通过运算结果得到两个答案。
(3) 设计的数学魔术：
请你默想一个一位整数，把这个数乘2，加上4，再乘50，加上1825，最后减去你出生的年份，把运算结果告诉我，我就能立刻猜出你默想的一位整数和你2025年的年龄。
原理验证：设默想的一位数为$a$，出生年份为$b$，化简代数式可得：
$\begin{aligned}&(2a + 4)×50 + 1825 - b\\=&100a + 200 + 1825 - b\\=&100a + 2025 - b\end{aligned}$
最终结果的百位数字就是默想的数$a$，末两位数字就是2025年对应的年龄$2025-b$。
解析
【分析】
这道题围绕趣味数学魔术展开，考查整式加减的实际应用，解题思路清晰：
1. 特例研究部分：任意选取一个一位整数和合理的出生年份，按照题目给出的运算步骤计算，观察最终结果的数位和默想数字、年龄的对应关系即可验证；
2. 一般原理部分：使用字母表示数的思想，分别设默想的一位数、出生年份为未知数，将运算过程转化为代数式，通过整式加减化简代数式，分析化简后式子的结构，就能找到结果和两个信息的对应规律；
3. 创新设计部分：模仿原题的运算逻辑，调整运算中的常数项，使得化简后代数式呈现“100×默想数字+目标年份-出生年份”的结构即可，目标年份对应要猜的年龄的所属年份。
【解析】
(1) 举例验证：假设同学默想的一位整数是3，出生年份是2011年，
按照给定步骤运算：
$3×2=6$，$6+5=11$，$11×50=550$，$550+1776=2326$，$2326-2011=315$。
老师得到结果315后，结果的百位数字3就是同学默想的一位整数，结果的后两位15就是同学2026年的年龄（$2026-2011=15$），即可同时猜中两个结果。
(2) 设同学默想的一位整数为$x$，出生年份为$y$，
根据题意列代数式并化简：
$\begin{aligned}&(2x + 5)×50 + 1776 - y\\=&100x + 250 + 1776 - y\\=&100x + 2026 - y\end{aligned}$
其中$2026-y$就是同学2026年的实际年龄，对于普通学生来说，年龄是不超过100的正整数，因此$100x$会将$x$放到最终结果的百位上，最终运算结果的百位数字就是同学默想的一位整数$x$，末两位数字就是同学2026年的年龄，因此老师可以直接通过运算结果得到两个答案。
(3) 设计的数学魔术：
请你默想一个一位整数，把这个数乘2，加上4，再乘50，加上1825，最后减去你出生的年份，把运算结果告诉我，我就能立刻猜出你默想的一位整数和你2025年的年龄。
原理验证：设默想的一位数为$a$，出生年份为$b$，化简代数式可得：
$\begin{aligned}&(2a + 4)×50 + 1825 - b\\=&100a + 200 + 1825 - b\\=&100a + 2025 - b\end{aligned}$
最终结果的百位数字就是默想的数$a$，末两位数字就是2025年对应的年龄$2025-b$。
【答案】
(1) 示例：假设默想的数为3，出生年份为2011年，运算结果为315，百位3为默想的数，后两位15为年龄；
(2) 化简后结果为$100x+2026-y$，百位为默想的数$x$，末两位为年龄$2026-y$；
(3) 示例魔术见上述解析，原理符合结构要求即可。
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式的应用
【点评】
本题以趣味魔术为载体，将抽象的整式运算和生活场景结合，既考查了字母表示数、代数式化简的基础能力，也能让学生感受到数学的实用性和趣味性，解题核心是通过代数式化简挖掘运算结果的数位规律。
【难度系数】
0.7
这道题围绕趣味数学魔术展开，考查整式加减的实际应用，解题思路清晰：
1. 特例研究部分：任意选取一个一位整数和合理的出生年份，按照题目给出的运算步骤计算，观察最终结果的数位和默想数字、年龄的对应关系即可验证；
2. 一般原理部分：使用字母表示数的思想，分别设默想的一位数、出生年份为未知数，将运算过程转化为代数式，通过整式加减化简代数式，分析化简后式子的结构，就能找到结果和两个信息的对应规律；
3. 创新设计部分：模仿原题的运算逻辑，调整运算中的常数项，使得化简后代数式呈现“100×默想数字+目标年份-出生年份”的结构即可，目标年份对应要猜的年龄的所属年份。
【解析】
(1) 举例验证：假设同学默想的一位整数是3，出生年份是2011年，
按照给定步骤运算：
$3×2=6$，$6+5=11$，$11×50=550$，$550+1776=2326$，$2326-2011=315$。
老师得到结果315后，结果的百位数字3就是同学默想的一位整数，结果的后两位15就是同学2026年的年龄（$2026-2011=15$），即可同时猜中两个结果。
(2) 设同学默想的一位整数为$x$，出生年份为$y$，
根据题意列代数式并化简：
$\begin{aligned}&(2x + 5)×50 + 1776 - y\\=&100x + 250 + 1776 - y\\=&100x + 2026 - y\end{aligned}$
其中$2026-y$就是同学2026年的实际年龄，对于普通学生来说，年龄是不超过100的正整数，因此$100x$会将$x$放到最终结果的百位上，最终运算结果的百位数字就是同学默想的一位整数$x$，末两位数字就是同学2026年的年龄，因此老师可以直接通过运算结果得到两个答案。
(3) 设计的数学魔术：
请你默想一个一位整数，把这个数乘2，加上4，再乘50，加上1825，最后减去你出生的年份，把运算结果告诉我，我就能立刻猜出你默想的一位整数和你2025年的年龄。
原理验证：设默想的一位数为$a$，出生年份为$b$，化简代数式可得：
$\begin{aligned}&(2a + 4)×50 + 1825 - b\\=&100a + 200 + 1825 - b\\=&100a + 2025 - b\end{aligned}$
最终结果的百位数字就是默想的数$a$，末两位数字就是2025年对应的年龄$2025-b$。
【答案】
(1) 示例：假设默想的数为3，出生年份为2011年，运算结果为315，百位3为默想的数，后两位15为年龄；
(2) 化简后结果为$100x+2026-y$，百位为默想的数$x$，末两位为年龄$2026-y$；
(3) 示例魔术见上述解析，原理符合结构要求即可。
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式的应用
【点评】
本题以趣味魔术为载体，将抽象的整式运算和生活场景结合，既考查了字母表示数、代数式化简的基础能力，也能让学生感受到数学的实用性和趣味性，解题核心是通过代数式化简挖掘运算结果的数位规律。
【难度系数】
0.7
