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(1)计算$(\sqrt{5}-2)×\frac{2}{\sqrt{5}+2}$的结果是（
A.2
B.18
C.$9-4\sqrt{5}$
D.$18-8\sqrt{5}$
D
）A.2
B.18
C.$9-4\sqrt{5}$
D.$18-8\sqrt{5}$
答案
(1) D
解析
【分析】
解题时首先观察式子特征，第二个因式的分母含有二次根式，因此第一步需要先进行分母有理化，利用平方差公式给分式的分子、分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{5}-2$，消去分母中的根号后，再结合完全平方公式计算乘法，即可得到最终结果。
【解析】
解：先对分式$\frac{2}{\sqrt{5}+2}$分母有理化，给分子分母同乘$\sqrt{5}-2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{5}-2) × \frac{2(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}\\&=(\sqrt{5}-2) × \frac{2(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}\\&=(\sqrt{5}-2) × \frac{2(\sqrt{5}-2)}{5-4}\\&=(\sqrt{5}-2) × 2(\sqrt{5}-2)\\&=2× (\sqrt{5}-2)^2\\&=2× [(\sqrt{5})^2 - 2× \sqrt{5}× 2 + 2^2]\\&=2× (5 - 4\sqrt{5} + 4)\\&=2× (9 - 4\sqrt{5})\\&=18 - 8\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式混合运算；分母有理化；乘法公式应用
【点评】
本题考查二次根式的运算，核心是掌握分母有理化的方法，灵活运用平方差、完全平方公式可以简化运算过程，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察式子特征，第二个因式的分母含有二次根式，因此第一步需要先进行分母有理化，利用平方差公式给分式的分子、分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{5}-2$，消去分母中的根号后，再结合完全平方公式计算乘法，即可得到最终结果。
【解析】
解：先对分式$\frac{2}{\sqrt{5}+2}$分母有理化，给分子分母同乘$\sqrt{5}-2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{5}-2) × \frac{2(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}\\&=(\sqrt{5}-2) × \frac{2(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}\\&=(\sqrt{5}-2) × \frac{2(\sqrt{5}-2)}{5-4}\\&=(\sqrt{5}-2) × 2(\sqrt{5}-2)\\&=2× (\sqrt{5}-2)^2\\&=2× [(\sqrt{5})^2 - 2× \sqrt{5}× 2 + 2^2]\\&=2× (5 - 4\sqrt{5} + 4)\\&=2× (9 - 4\sqrt{5})\\&=18 - 8\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式混合运算；分母有理化；乘法公式应用
【点评】
本题考查二次根式的运算，核心是掌握分母有理化的方法，灵活运用平方差、完全平方公式可以简化运算过程，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
(2)下列计算中，正确的是（
A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 6\sqrt{6}$
C.$5\sqrt{5} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{30} ÷ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{10}$
B
）A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 6\sqrt{6}$
C.$5\sqrt{5} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{30} ÷ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{10}$
答案
(2) B
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路为逐个验证选项：首先明确二次根式加减的前提是被开方数相同的同类二次根式才能合并，非同类不能直接加减；二次根式乘除按“系数与系数运算，被开方数与被开方数运算”的规则计算，分母含根式的需通过分母有理化化简，最后对比各选项计算结果判断正误。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此A错误；
B选项：根据二次根式乘法法则，系数相乘、被开方数相乘，可得$2\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = (2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{2}) = 6×\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$，因此B正确；
C选项：$5\sqrt{5}$与$2\sqrt{3}$被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，因此C错误；
D选项：需先对分母有理化，分子分母同乘$(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，计算得：
$\sqrt{30} ÷ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{30}×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{150}-\sqrt{90}}{5-3} = \frac{5\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2}$，与选项中的$\sqrt{6}+\sqrt{10}$不相等，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减；二次根式的乘除；分母有理化
【点评】
本题重点考查二次根式的运算规则，核心是区分同类二次根式才能合并的要求，熟练掌握二次根式乘除计算方法和分母有理化的操作，是二次根式运算的基础题型，掌握规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的四则运算，解题思路为逐个验证选项：首先明确二次根式加减的前提是被开方数相同的同类二次根式才能合并，非同类不能直接加减；二次根式乘除按“系数与系数运算，被开方数与被开方数运算”的规则计算，分母含根式的需通过分母有理化化简，最后对比各选项计算结果判断正误。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此A错误；
B选项：根据二次根式乘法法则，系数相乘、被开方数相乘，可得$2\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = (2×3)×(\sqrt{3}×\sqrt{2}) = 6×\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$，因此B正确；
C选项：$5\sqrt{5}$与$2\sqrt{3}$被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相减，因此C错误；
D选项：需先对分母有理化，分子分母同乘$(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，计算得：
$\sqrt{30} ÷ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{30}×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{150}-\sqrt{90}}{5-3} = \frac{5\sqrt{6}-3\sqrt{10}}{2}$，与选项中的$\sqrt{6}+\sqrt{10}$不相等，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减；二次根式的乘除；分母有理化
【点评】
本题重点考查二次根式的运算规则，核心是区分同类二次根式才能合并的要求，熟练掌握二次根式乘除计算方法和分母有理化的操作，是二次根式运算的基础题型，掌握规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(3)已知$x=1+\sqrt{5}$，则代数式$x^2 -2x -6$的值为（
A.$-2\sqrt{5}-8$
B.$-10$
C.$-2$
D.$2\sqrt{5}$
C
）A.$-2\sqrt{5}-8$
B.$-10$
C.$-2$
D.$2\sqrt{5}$
答案
(3) C
解析
【分析】
解题时可先观察代数式的结构，发现二次项和一次项符合完全平方公式的变形特征，因此优先选择配方+整体代入的方法简化计算：首先将$x=1+\sqrt{5}$变形为$x-1=\sqrt{5}$，再把代数式$x^2-2x-6$转化为含$(x-1)$的形式，最后整体代入计算即可，比直接代入$x$求值计算量更小，不容易出错。
【解析】
方法一（配方法整体代入）：
对代数式变形可得：
$x^2 - 2x - 6 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 6 = (x-1)^2 -7$
已知$x=1+\sqrt{5}$，则$x-1=\sqrt{5}$，代入上式得：
原式$=(\sqrt{5})^2 -7 = 5 -7 = -2$
方法二（直接代入计算）：
把$x=1+\sqrt{5}$代入代数式得：
$\begin{aligned}原式&=(1+\sqrt{5})^2 - 2×(1+\sqrt{5}) -6\\&=1 + 2\sqrt{5} + 5 - 2 - 2\sqrt{5} -6\\&=(1+5-2-6)+(2\sqrt{5}-2\sqrt{5})\\&=-2 + 0\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式的混合运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查二次根式相关的代数式求值，选择配方整体代入的方法可有效简化计算过程，降低出错概率，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题时可先观察代数式的结构，发现二次项和一次项符合完全平方公式的变形特征，因此优先选择配方+整体代入的方法简化计算：首先将$x=1+\sqrt{5}$变形为$x-1=\sqrt{5}$，再把代数式$x^2-2x-6$转化为含$(x-1)$的形式，最后整体代入计算即可，比直接代入$x$求值计算量更小，不容易出错。
【解析】
方法一（配方法整体代入）：
对代数式变形可得：
$x^2 - 2x - 6 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 6 = (x-1)^2 -7$
已知$x=1+\sqrt{5}$，则$x-1=\sqrt{5}$，代入上式得：
原式$=(\sqrt{5})^2 -7 = 5 -7 = -2$
方法二（直接代入计算）：
把$x=1+\sqrt{5}$代入代数式得：
$\begin{aligned}原式&=(1+\sqrt{5})^2 - 2×(1+\sqrt{5}) -6\\&=1 + 2\sqrt{5} + 5 - 2 - 2\sqrt{5} -6\\&=(1+5-2-6)+(2\sqrt{5}-2\sqrt{5})\\&=-2 + 0\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式的混合运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查二次根式相关的代数式求值，选择配方整体代入的方法可有效简化计算过程，降低出错概率，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
(4)下列关于$\sqrt{8}$的说法中，正确的是（
A.在数轴上不存在表示$\sqrt{8}$的点
B.$\sqrt{8}=\sqrt{2}+\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
D.与$\sqrt{8}$最接近的整数是3
D
）A.在数轴上不存在表示$\sqrt{8}$的点
B.$\sqrt{8}=\sqrt{2}+\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
D.与$\sqrt{8}$最接近的整数是3
答案
(4) D
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关基础概念与估算，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断正误：①先回忆实数与数轴的关系，判断A选项；②结合二次根式的加法运算规则，判断B选项；③根据算术平方根的定义，判断C选项；④通过估算二次根式的大小，判断D选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：实数与数轴上的点是一一对应的，$\sqrt{8}$是实数，因此数轴上存在表示$\sqrt{8}$的点，该选项错误。
B选项：二次根式相加需先化为最简二次根式，再合并同类二次根式，不能直接将被开方数相加。计算可得$\sqrt{2}+\sqrt{6}\approx1.414+2.449=3.863$，而$\sqrt{8}\approx2.828$，二者不相等，该选项错误。
C选项：$\sqrt{8}$表示8的算术平方根，结果为非负数，化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不存在负的结果，该选项错误。
D选项：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{8}＜3$，且$\sqrt{8}\approx2.828$，与3的差值更小，因此与$\sqrt{8}$最接近的整数是3，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的关系；二次根式的化简；二次根式的估算
【点评】
本题属于基础题，综合考查二次根式的基础性质和估算能力，解题时要注意区分算术平方根和平方根的概念，牢记二次根式的运算规则，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关基础概念与估算，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断正误：①先回忆实数与数轴的关系，判断A选项；②结合二次根式的加法运算规则，判断B选项；③根据算术平方根的定义，判断C选项；④通过估算二次根式的大小，判断D选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：实数与数轴上的点是一一对应的，$\sqrt{8}$是实数，因此数轴上存在表示$\sqrt{8}$的点，该选项错误。
B选项：二次根式相加需先化为最简二次根式，再合并同类二次根式，不能直接将被开方数相加。计算可得$\sqrt{2}+\sqrt{6}\approx1.414+2.449=3.863$，而$\sqrt{8}\approx2.828$，二者不相等，该选项错误。
C选项：$\sqrt{8}$表示8的算术平方根，结果为非负数，化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不存在负的结果，该选项错误。
D选项：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{8}＜3$，且$\sqrt{8}\approx2.828$，与3的差值更小，因此与$\sqrt{8}$最接近的整数是3，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的关系；二次根式的化简；二次根式的估算
【点评】
本题属于基础题，综合考查二次根式的基础性质和估算能力，解题时要注意区分算术平方根和平方根的概念，牢记二次根式的运算规则，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
(5)估计$\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2} × \sqrt{5}$的计算结果在（
A.6与7之间
B.7与8之间
C.8与9之间
D.9与10之间
B
）A.6与7之间
B.7与8之间
C.8与9之间
D.9与10之间
答案
(5) B
解析
【分析】
解题时先按照二次根式的乘法运算法则对原式进行化简，得到整数与无理数相加的形式，再估算无理数的取值范围，最终确定整个式子的结果所在的区间即可。首先回忆二次根式乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先分别计算两个乘法项，再合并化简，最后估算无理数$\sqrt{10}$的范围就能得到结果范围。
【解析】
第一步：根据二次根式乘法法则计算两个乘法项：
$\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{32 × \frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$
$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$
第二步：合并化简原式，可得原式$= 4 + \sqrt{10}$
第三步：估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$
第四步：计算原式的范围：
给不等式$3＜\sqrt{10}＜4$各项同时加4，可得$4+3＜4+\sqrt{10}＜4+4$，即$7＜4+\sqrt{10}＜8$
所以原式的计算结果在7与8之间。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数大小估算；实数运算
【点评】
本题是二次根式运算和无理数估算的综合题，解题的关键是先正确运用二次根式乘法法则化简原式，再准确估算无理数的取值范围，整体考察基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先按照二次根式的乘法运算法则对原式进行化简，得到整数与无理数相加的形式，再估算无理数的取值范围，最终确定整个式子的结果所在的区间即可。首先回忆二次根式乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先分别计算两个乘法项，再合并化简，最后估算无理数$\sqrt{10}$的范围就能得到结果范围。
【解析】
第一步：根据二次根式乘法法则计算两个乘法项：
$\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{32 × \frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$
$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$
第二步：合并化简原式，可得原式$= 4 + \sqrt{10}$
第三步：估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$
第四步：计算原式的范围：
给不等式$3＜\sqrt{10}＜4$各项同时加4，可得$4+3＜4+\sqrt{10}＜4+4$，即$7＜4+\sqrt{10}＜8$
所以原式的计算结果在7与8之间。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数大小估算；实数运算
【点评】
本题是二次根式运算和无理数估算的综合题，解题的关键是先正确运用二次根式乘法法则化简原式，再准确估算无理数的取值范围，整体考察基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)计算：$\sqrt{8} × \sqrt{6} - 3\sqrt{\frac{4}{3}} =$
$2\sqrt{3}$
.答案
(1) $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算乘法项$\sqrt{8} × \sqrt{6}$，将结果化为最简二次根式；第二步化简$3\sqrt{\frac{4}{3}}$，通过分母有理化将其转化为最简二次根式；最后合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{8 × 6} - 3\sqrt{\frac{4}{3}} \\&=\sqrt{48} - 3 × \frac{2\sqrt{3}}{3} \\&=4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式乘法法则
2. 最简二次根式化简
3. 同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的基本运算能力，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则，准确化简二次根式，遵循正确的运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算乘法项$\sqrt{8} × \sqrt{6}$，将结果化为最简二次根式；第二步化简$3\sqrt{\frac{4}{3}}$，通过分母有理化将其转化为最简二次根式；最后合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{8 × 6} - 3\sqrt{\frac{4}{3}} \\&=\sqrt{48} - 3 × \frac{2\sqrt{3}}{3} \\&=4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式乘法法则
2. 最简二次根式化简
3. 同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的基本运算能力，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则，准确化简二次根式，遵循正确的运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
(2)若$3-\sqrt{2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则代数式$(2+\sqrt{2}a)· b=$
2
。答案
(2) 2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要确定无理数$3-\sqrt{2}$的整数部分$a$和小数部分$b$：第一步先估算$\sqrt{2}$的取值范围，再推导$3-\sqrt{2}$的范围，即可得到整数部分$a$；第二步根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$；最后将$a$、$b$代入代数式，利用平方差公式计算即可得到结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{2}$的范围：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴$1＜\sqrt{2}＜2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-2＜-\sqrt{2}＜-1$
不等式两边同时加3，得：
$3-2＜3-\sqrt{2}＜3-1$，即$1＜3-\sqrt{2}＜2$
因此$3-\sqrt{2}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=(3-\sqrt{2})-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
将$a=1$，$b=2-\sqrt{2}$代入代数式$(2+\sqrt{2}a)·b$：
$\begin{aligned}原式&=(2+\sqrt{2}×1)×(2-\sqrt{2})\\&=2^2-(\sqrt{2})^2\\&=4-2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算；二次根式混合运算；平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，结合二次根式的运算规则求解，解题时要注意无理数范围估算的准确性，代入计算时合理运用乘法公式可简化运算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要确定无理数$3-\sqrt{2}$的整数部分$a$和小数部分$b$：第一步先估算$\sqrt{2}$的取值范围，再推导$3-\sqrt{2}$的范围，即可得到整数部分$a$；第二步根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$；最后将$a$、$b$代入代数式，利用平方差公式计算即可得到结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{2}$的范围：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴$1＜\sqrt{2}＜2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-2＜-\sqrt{2}＜-1$
不等式两边同时加3，得：
$3-2＜3-\sqrt{2}＜3-1$，即$1＜3-\sqrt{2}＜2$
因此$3-\sqrt{2}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=(3-\sqrt{2})-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
将$a=1$，$b=2-\sqrt{2}$代入代数式$(2+\sqrt{2}a)·b$：
$\begin{aligned}原式&=(2+\sqrt{2}×1)×(2-\sqrt{2})\\&=2^2-(\sqrt{2})^2\\&=4-2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算；二次根式混合运算；平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，结合二次根式的运算规则求解，解题时要注意无理数范围估算的准确性，代入计算时合理运用乘法公式可简化运算。
【难度系数】
0.7
(3)计算：$(1-\sqrt{6})×(1+\sqrt{6})-(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2=$
$2\sqrt{6}-10$
答案
(3) $2\sqrt{6}-10$
解析
【分析】
拿到题目先观察式子结构，第一部分$(1-\sqrt{6})×(1+\sqrt{6})$符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，第二部分$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，优先用乘法公式展开可以简化计算，展开后再去括号、合并常数项和同类二次根式即可得到结果。
【解析】
第一步：利用平方差公式计算第一个乘积：
$(1-\sqrt{6})×(1+\sqrt{6})=1^2-(\sqrt{6})^2=1-6=-5$
第二步：利用完全平方公式计算平方项：
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}$
第三步：代入原式进行运算，注意去括号的符号变化：
原式$=-5-(5-2\sqrt{6})=-5-5+2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-10$
【答案】
$2\sqrt{6}-10$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题核心是合理运用乘法公式简化计算步骤，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7
拿到题目先观察式子结构，第一部分$(1-\sqrt{6})×(1+\sqrt{6})$符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，第二部分$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，优先用乘法公式展开可以简化计算，展开后再去括号、合并常数项和同类二次根式即可得到结果。
【解析】
第一步：利用平方差公式计算第一个乘积：
$(1-\sqrt{6})×(1+\sqrt{6})=1^2-(\sqrt{6})^2=1-6=-5$
第二步：利用完全平方公式计算平方项：
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}$
第三步：代入原式进行运算，注意去括号的符号变化：
原式$=-5-(5-2\sqrt{6})=-5-5+2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-10$
【答案】
$2\sqrt{6}-10$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题核心是合理运用乘法公式简化计算步骤，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7
(4)已知$a+b=3$，$ab=2$，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值为
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
.答案
(4) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
首先根据已知条件a+b=3＞0、ab=2＞0，可判断a、b均为正数，保证所求二次根式有意义。接下来观察所求式子$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的结构，我们可以先利用二次根式的性质对两个根式进行分母有理化，再提取公因式，通分后将式子转化为含有a+b和ab的形式，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a+b=3＞0，ab=2＞0，
∴a＞0，b＞0，所求二次根式有意义。
对原式化简：
$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{a} + \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$
提取公因式$\sqrt{ab}$得：
$=\sqrt{ab} · ( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} )$
通分计算括号内的分式：
$=\sqrt{ab} · \dfrac{a+b}{ab}$
将a+b=3，ab=2代入上式：
$=\sqrt{2} × \dfrac{3}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式的化简；分式的运算；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式化简求值的典型题，解题的核心是先判断被开方数的符号确保根式有意义，再通过合理变形将未知式子转化为已知条件的表达形式，计算时注意二次根式的运算规则，避免出现符号或化简错误。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件a+b=3＞0、ab=2＞0，可判断a、b均为正数，保证所求二次根式有意义。接下来观察所求式子$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的结构，我们可以先利用二次根式的性质对两个根式进行分母有理化，再提取公因式，通分后将式子转化为含有a+b和ab的形式，最后代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a+b=3＞0，ab=2＞0，
∴a＞0，b＞0，所求二次根式有意义。
对原式化简：
$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{a} + \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$
提取公因式$\sqrt{ab}$得：
$=\sqrt{ab} · ( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} )$
通分计算括号内的分式：
$=\sqrt{ab} · \dfrac{a+b}{ab}$
将a+b=3，ab=2代入上式：
$=\sqrt{2} × \dfrac{3}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式的化简；分式的运算；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式化简求值的典型题，解题的核心是先判断被开方数的符号确保根式有意义，再通过合理变形将未知式子转化为已知条件的表达形式，计算时注意二次根式的运算规则，避免出现符号或化简错误。
【难度系数】
0.7
(5)如图，若从一个大正方形中裁去面积分别为8 cm²和18 cm²的两个小正方形，则余下涂色部分的面积为
24
cm².答案
(5) 24
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据正方形面积公式，两个小正方形的边长是对应面积的算术平方根，先将二次根式化简得到边长；第二步，观察图形可知，涂色部分是两个完全相同的长方形，长方形的长是面积为18cm²的小正方形的边长，宽是面积为8cm²的小正方形的边长；第三步，既可直接计算两个长方形的总面积得到涂色面积，也可用大正方形面积减去两个小正方形的面积求解。
【解析】
首先计算两个小正方形的边长：
面积为$8\mathrm{cm}^2$的小正方形边长：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
面积为$18\mathrm{cm}^2$的小正方形边长：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
方法1：直接计算涂色部分面积
涂色部分为2个长为$3\sqrt{2}\mathrm{cm}$、宽为$2\sqrt{2}\mathrm{cm}$的长方形，总面积为：
$\begin{aligned}S&=2×(3\sqrt{2}×2\sqrt{2})\\&=2×(6×(\sqrt{2})^2)\\&=2×(6×2)\\&=24\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
方法2：用大正方形面积减去两个小正方形面积
大正方形边长为两个小正方形边长之和：$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
大正方形面积：$(5\sqrt{2})^2=25×2=50\ \mathrm{cm}^2$
两个小正方形面积和：$8+18=26\ \mathrm{cm}^2$
涂色部分面积：$50-26=24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
24
【知识点】
二次根式运算，正方形面积公式，算术平方根
【点评】
本题将几何图形面积计算与二次根式运算结合，解题的关键是准确求出两个小正方形的边长，结合图形特征选择简便的计算方法，熟练掌握二次根式的化简和乘法运算是得分的基础。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据正方形面积公式，两个小正方形的边长是对应面积的算术平方根，先将二次根式化简得到边长；第二步，观察图形可知，涂色部分是两个完全相同的长方形，长方形的长是面积为18cm²的小正方形的边长，宽是面积为8cm²的小正方形的边长；第三步，既可直接计算两个长方形的总面积得到涂色面积，也可用大正方形面积减去两个小正方形的面积求解。
【解析】
首先计算两个小正方形的边长：
面积为$8\mathrm{cm}^2$的小正方形边长：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
面积为$18\mathrm{cm}^2$的小正方形边长：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
方法1：直接计算涂色部分面积
涂色部分为2个长为$3\sqrt{2}\mathrm{cm}$、宽为$2\sqrt{2}\mathrm{cm}$的长方形，总面积为：
$\begin{aligned}S&=2×(3\sqrt{2}×2\sqrt{2})\\&=2×(6×(\sqrt{2})^2)\\&=2×(6×2)\\&=24\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
方法2：用大正方形面积减去两个小正方形面积
大正方形边长为两个小正方形边长之和：$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
大正方形面积：$(5\sqrt{2})^2=25×2=50\ \mathrm{cm}^2$
两个小正方形面积和：$8+18=26\ \mathrm{cm}^2$
涂色部分面积：$50-26=24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
24
【知识点】
二次根式运算，正方形面积公式，算术平方根
【点评】
本题将几何图形面积计算与二次根式运算结合，解题的关键是准确求出两个小正方形的边长，结合图形特征选择简便的计算方法，熟练掌握二次根式的化简和乘法运算是得分的基础。
【难度系数】
0.7
3. (1)计算：$(\sqrt{5}+2)^2 - (\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)$。
(2)已知$a=2+\sqrt{5}$，$b=2-\sqrt{5}$，求代数式$a^2b + ab^2$的值。
(2)已知$a=2+\sqrt{5}$，$b=2-\sqrt{5}$，求代数式$a^2b + ab^2$的值。
答案
3. 解：(1)原式$=5+4+4\sqrt{5}-(5-9)$
$=5+4+4\sqrt{5}+4=13+4\sqrt{5}$.
(2)$\because a=2+\sqrt{5}, b=2-\sqrt{5},$
$\therefore a^2b+ab^2$
$=ab(a+b)$
$=(2+\sqrt{5})×(2-\sqrt{5})×(2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5})$
$=(4-5)×4$
$=-1×4$
$=-4.$
$=5+4+4\sqrt{5}+4=13+4\sqrt{5}$.
(2)$\because a=2+\sqrt{5}, b=2-\sqrt{5},$
$\therefore a^2b+ab^2$
$=ab(a+b)$
$=(2+\sqrt{5})×(2-\sqrt{5})×(2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5})$
$=(4-5)×4$
$=-1×4$
$=-4.$
解析
【分析】
（1）本题考查二次根式的混合运算，可直接套用整式乘法公式简化计算：先利用完全平方公式展开$(\sqrt{5}+2)^2$，再利用平方差公式计算$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)$，最后去括号合并同类二次根式即可得到结果。
（2）若直接将a、b的值代入代数式计算会比较繁琐，观察代数式$a^2b+ab^2$的结构，可先提取公因式ab，将代数式变形为$ab(a+b)$，再分别计算出$a+b$和$ab$的值后代入计算，可大幅降低运算量。
【解析】
(1) 分别利用完全平方公式和平方差公式展开：
原式$=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×2 + 2^2 - [(\sqrt{5})^2 - 3^2]$
$=5 + 4\sqrt{5} + 4 - (5 - 9)$
$=9 + 4\sqrt{5} - (-4)$
$=9 + 4\sqrt{5} + 4$
$=13 + 4\sqrt{5}$
(2) 先对代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
分别计算$a+b$和$ab$的值：
$a + b = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 4$
$ab = (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$
将结果代入变形后的代数式：
原式$= (-1) × 4 = -4$
【答案】
(1) $\boxed{13 + 4\sqrt{5}}$；(2) $\boxed{-4}$
【知识点】
二次根式混合运算；乘法公式的应用；因式分解
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查整式运算规则、乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，第二小问通过因式分解将代数式变形后再代入求值，能有效简化运算，解题时要注意观察代数式结构，优先选择简便计算方法。
【难度系数】
0.8
（1）本题考查二次根式的混合运算，可直接套用整式乘法公式简化计算：先利用完全平方公式展开$(\sqrt{5}+2)^2$，再利用平方差公式计算$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)$，最后去括号合并同类二次根式即可得到结果。
（2）若直接将a、b的值代入代数式计算会比较繁琐，观察代数式$a^2b+ab^2$的结构，可先提取公因式ab，将代数式变形为$ab(a+b)$，再分别计算出$a+b$和$ab$的值后代入计算，可大幅降低运算量。
【解析】
(1) 分别利用完全平方公式和平方差公式展开：
原式$=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×2 + 2^2 - [(\sqrt{5})^2 - 3^2]$
$=5 + 4\sqrt{5} + 4 - (5 - 9)$
$=9 + 4\sqrt{5} - (-4)$
$=9 + 4\sqrt{5} + 4$
$=13 + 4\sqrt{5}$
(2) 先对代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
分别计算$a+b$和$ab$的值：
$a + b = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 4$
$ab = (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$
将结果代入变形后的代数式：
原式$= (-1) × 4 = -4$
【答案】
(1) $\boxed{13 + 4\sqrt{5}}$；(2) $\boxed{-4}$
【知识点】
二次根式混合运算；乘法公式的应用；因式分解
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查整式运算规则、乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，第二小问通过因式分解将代数式变形后再代入求值，能有效简化运算，解题时要注意观察代数式结构，优先选择简便计算方法。
【难度系数】
0.8
