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4. 已知$x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{10}$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值。
答案
$12+4\sqrt{10}$
解析
【分析】
本题已知x与$\frac{1}{x}$的和，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，可利用完全平方公式的变形求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将a替换为x、b替换为$\frac{1}{x}$时，$ab=x·\frac{1}{x}=1$，因此可推导出$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，只需将已知的$x+\frac{1}{x}$的值代入式子计算即可，无需单独求出x的值，能大幅简化计算过程。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 · x · \frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$
将$x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{10}$代入上式：
先计算$(2+\sqrt{10})^2$，根据完全平方公式展开：
$(2+\sqrt{10})^2 = 2^2 + 2 × 2 × \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 4 + 4\sqrt{10} + 10 = 14 + 4\sqrt{10}$
再代入原式计算：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14 + 4\sqrt{10} - 2 = 12 + 4\sqrt{10}$
【答案】
$12+4\sqrt{10}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，整体代入求值
【点评】
本题是整式乘法公式和二次根式运算的结合题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，用整体代入的思想计算，避免直接求解x带来的复杂运算，是代数式求值类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题已知x与$\frac{1}{x}$的和，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，可利用完全平方公式的变形求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将a替换为x、b替换为$\frac{1}{x}$时，$ab=x·\frac{1}{x}=1$，因此可推导出$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，只需将已知的$x+\frac{1}{x}$的值代入式子计算即可，无需单独求出x的值，能大幅简化计算过程。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 · x · \frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$
将$x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{10}$代入上式：
先计算$(2+\sqrt{10})^2$，根据完全平方公式展开：
$(2+\sqrt{10})^2 = 2^2 + 2 × 2 × \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 4 + 4\sqrt{10} + 10 = 14 + 4\sqrt{10}$
再代入原式计算：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14 + 4\sqrt{10} - 2 = 12 + 4\sqrt{10}$
【答案】
$12+4\sqrt{10}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，整体代入求值
【点评】
本题是整式乘法公式和二次根式运算的结合题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，用整体代入的思想计算，避免直接求解x带来的复杂运算，是代数式求值类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
5. 教师节到了，为表达对老师的感谢，小刚做了两张大小不同的正方形贺卡，其中一张的面积为$800\ \mathrm{cm}^2$，另一张的面积为$450\ \mathrm{cm}^2$. 他想，如果再用金彩带把贺卡的边缘镶上会更漂亮. 现在他只有一根$1.2\ \mathrm{m}$长的金彩带，请你帮他算一算这根金彩带是否够用. 如果不够用，还需要多少厘米长的金彩带？($\sqrt{2} \approx 1.414$，结果保留整数)
答案
5. 解：$4×(\sqrt{800}+\sqrt{450})$
$=4×(20\sqrt{2}+15\sqrt{2})$
$=140\sqrt{2}$
$\approx197.96(\mathrm{cm}).$
$1.2\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{cm},$
$\because120＜197.96,$
$\therefore$这根金彩带不够用.
$197.96-120=77.96\approx78(\mathrm{cm}).$
答：这根金彩带不够用，还需要约78cm长的金彩带.
$=4×(20\sqrt{2}+15\sqrt{2})$
$=140\sqrt{2}$
$\approx197.96(\mathrm{cm}).$
$1.2\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{cm},$
$\because120＜197.96,$
$\therefore$这根金彩带不够用.
$197.96-120=77.96\approx78(\mathrm{cm}).$
答：这根金彩带不够用，还需要约78cm长的金彩带.
解析
【分析】
要判断金彩带是否够用，核心是计算两张正方形贺卡的周长总和，再和现有金彩带长度比较。解题思路如下：①根据正方形面积公式$S=a^2$，可推出边长$a=\sqrt{S}$，分别算出两张贺卡的边长；②根据正方形周长公式$C=4a$，算出两张贺卡的周长之和，即需要的金彩带总长度；③将现有金彩带长度单位统一为厘米，和所需长度比较，若不够则用所需长度减去现有长度得到差值，最后按要求保留整数。
【解析】
解：先计算镶两张贺卡所需金彩带的总长度：
$\begin{aligned}&4×(\sqrt{800}+\sqrt{450})\\=&4×(20\sqrt{2}+15\sqrt{2})\\=&4×35\sqrt{2}\\=&140\sqrt{2}\end{aligned}$
将$\sqrt{2} \approx 1.414$代入得：$140\sqrt{2}\approx140×1.414=197.96(\mathrm{cm})$
统一单位：$1.2\ \mathrm{m}=1.2×100=120\ \mathrm{cm}$
比较大小：$\because120＜197.96$，$\therefore$现有金彩带不够用
计算还需要的长度：$197.96-120=77.96\approx78(\mathrm{cm})$
【答案】
这根金彩带不够用，还需要约78cm长的金彩带。
【知识点】
二次根式的运算、正方形周长与面积计算、单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查二次根式的实际应用，解题的关键是准确理解题意，明确镶边所需彩带长度为两个正方形的周长之和，计算过程中要注意统一单位，化简二次根式时避免出错，最后按要求保留近似值即可。
【难度系数】
0.7
要判断金彩带是否够用，核心是计算两张正方形贺卡的周长总和，再和现有金彩带长度比较。解题思路如下：①根据正方形面积公式$S=a^2$，可推出边长$a=\sqrt{S}$，分别算出两张贺卡的边长；②根据正方形周长公式$C=4a$，算出两张贺卡的周长之和，即需要的金彩带总长度；③将现有金彩带长度单位统一为厘米，和所需长度比较，若不够则用所需长度减去现有长度得到差值，最后按要求保留整数。
【解析】
解：先计算镶两张贺卡所需金彩带的总长度：
$\begin{aligned}&4×(\sqrt{800}+\sqrt{450})\\=&4×(20\sqrt{2}+15\sqrt{2})\\=&4×35\sqrt{2}\\=&140\sqrt{2}\end{aligned}$
将$\sqrt{2} \approx 1.414$代入得：$140\sqrt{2}\approx140×1.414=197.96(\mathrm{cm})$
统一单位：$1.2\ \mathrm{m}=1.2×100=120\ \mathrm{cm}$
比较大小：$\because120＜197.96$，$\therefore$现有金彩带不够用
计算还需要的长度：$197.96-120=77.96\approx78(\mathrm{cm})$
【答案】
这根金彩带不够用，还需要约78cm长的金彩带。
【知识点】
二次根式的运算、正方形周长与面积计算、单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查二次根式的实际应用，解题的关键是准确理解题意，明确镶边所需彩带长度为两个正方形的周长之和，计算过程中要注意统一单位，化简二次根式时避免出错，最后按要求保留近似值即可。
【难度系数】
0.7
6. 先观察下面的化简过程，感受分母有理化的作用，再回答问题.
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1×(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2,$
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1×(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}-\sqrt{5}.$
(1) 请写出化简$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$的结果.
(2) 化简：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+···+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$
(3) 不计算近似值，试比较$\sqrt{13}-\sqrt{11}$与$\sqrt{15}-\sqrt{13}$的大小，并说明理由.
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1×(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2,$
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1×(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}-\sqrt{5}.$
(1) 请写出化简$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$的结果.
(2) 化简：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+···+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$
(3) 不计算近似值，试比较$\sqrt{13}-\sqrt{11}$与$\sqrt{15}-\sqrt{13}$的大小，并说明理由.
答案
(1) $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$
(2) 9
(3) $\sqrt{13}-\sqrt{11}＞\sqrt{15}-\sqrt{13}.$
理由：$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}$
$=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}$
$=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2},$
$\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$
$=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}$
$=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}.$
$\because\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}＜\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2},$
$\therefore\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}＜\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}.$
$\therefore\sqrt{13}-\sqrt{11}＞\sqrt{15}-\sqrt{13}.$
(2) 9
(3) $\sqrt{13}-\sqrt{11}＞\sqrt{15}-\sqrt{13}.$
理由：$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}$
$=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}$
$=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2},$
$\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$
$=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}$
$=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}.$
$\because\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}＜\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2},$
$\therefore\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}＜\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}.$
$\therefore\sqrt{13}-\sqrt{11}＞\sqrt{15}-\sqrt{13}.$
解析
【分析】
（1）观察给出的分母有理化示例，可知分母为两个二次根式的和时，可利用平方差公式，给分子分母同乘两个根式的差，将分母化为整数，据此推导$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$的化简结果即可。
（2）利用第（1）问得到的规律，将算式中每一项拆成两个二次根式的差，相加时中间项会相互抵消，仅剩首尾两项，计算即可得到结果。
（3）两个式子均为二次根式的差，直接比较大小不方便，可采用倒数法：先分别求两个式子的倒数，通过分母有理化将倒数化为两个二次根式和的形式，比较倒数的大小，再根据“正数中，倒数越大，原数越小”的规律判断原式大小即可。
【解析】
（1）对$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$进行分母有理化：
分子分母同乘$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，得：
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}$
根据平方差公式，分母为$(\sqrt{n})^2-(\sqrt{n-1})^2=n-(n-1)=1$，因此化简结果为$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$。
（2）根据（1）的规律拆分每一项：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，……，$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{99}-\sqrt{98})+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\\&=\sqrt{100}-1\\&=10-1\\&=9\end{aligned}$
（3）先分别求两个式子的倒数并有理化：
$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}$
$\because \sqrt{11}＜\sqrt{15}$，$\therefore \frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}＜\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}$，即$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}＜\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$
又$\because \sqrt{13}-\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{15}-\sqrt{13}＞0$，正数的倒数越小，原数越大，因此$\sqrt{13}-\sqrt{11}＞\sqrt{15}-\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$
(2) $9$
(3) $\sqrt{13}-\sqrt{11}＞\sqrt{15}-\sqrt{13}$，理由见解析
【知识点】
分母有理化，二次根式加减运算，实数大小比较
【点评】
本题重点考查分母有理化的灵活应用，其中裂项相消法计算二次根式的和、倒数法比较二次根式的大小都是二次根式部分的常用技巧，熟练掌握平方差公式和分母有理化的方法是解题的关键，有助于提升规律探究能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的分母有理化示例，可知分母为两个二次根式的和时，可利用平方差公式，给分子分母同乘两个根式的差，将分母化为整数，据此推导$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$的化简结果即可。
（2）利用第（1）问得到的规律，将算式中每一项拆成两个二次根式的差，相加时中间项会相互抵消，仅剩首尾两项，计算即可得到结果。
（3）两个式子均为二次根式的差，直接比较大小不方便，可采用倒数法：先分别求两个式子的倒数，通过分母有理化将倒数化为两个二次根式和的形式，比较倒数的大小，再根据“正数中，倒数越大，原数越小”的规律判断原式大小即可。
【解析】
（1）对$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$进行分母有理化：
分子分母同乘$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，得：
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}$
根据平方差公式，分母为$(\sqrt{n})^2-(\sqrt{n-1})^2=n-(n-1)=1$，因此化简结果为$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$。
（2）根据（1）的规律拆分每一项：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，……，$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{99}-\sqrt{98})+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\\&=\sqrt{100}-1\\&=10-1\\&=9\end{aligned}$
（3）先分别求两个式子的倒数并有理化：
$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}$
$\because \sqrt{11}＜\sqrt{15}$，$\therefore \frac{\sqrt{13}+\sqrt{11}}{2}＜\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}$，即$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{11}}＜\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$
又$\because \sqrt{13}-\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{15}-\sqrt{13}＞0$，正数的倒数越小，原数越大，因此$\sqrt{13}-\sqrt{11}＞\sqrt{15}-\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$
(2) $9$
(3) $\sqrt{13}-\sqrt{11}＞\sqrt{15}-\sqrt{13}$，理由见解析
【知识点】
分母有理化，二次根式加减运算，实数大小比较
【点评】
本题重点考查分母有理化的灵活应用，其中裂项相消法计算二次根式的和、倒数法比较二次根式的大小都是二次根式部分的常用技巧，熟练掌握平方差公式和分母有理化的方法是解题的关键，有助于提升规律探究能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
