(1)下列计算中，正确的是（）

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
D.$3+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

(1) C

【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的核心规则：只有化简后被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。接下来我们逐个分析选项，先判断是否为同类二次根式，再验证运算是否正确即可。
【解析】
二次根式加减运算步骤：先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式），合并时系数相加减，被开方数不变，非同类二次根式无法合并。
选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$均为最简二次根式，被开方数分别为2和3，不属于同类二次根式，不能直接相加，故A错误；
选项B：$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(4-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠1$，故B错误；
选项C：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，因此$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}$，运算正确，故C正确；
选项D：3是整数，$2\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不属于同类二次根式，不能直接合并，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 最简二次根式化简
2. 同类二次根式识别
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，解题的关键是牢记同类二次根式才能合并的规则，避免出现不同类根式直接合并、合并时忽略根式部分的常见错误。
【难度系数】
0.8

(2)下列二次根式中，可以合并的是（）
①$3\sqrt{\frac{1}{2}}$；②$5\sqrt{\frac{1}{3}}$；③$2\sqrt{\frac{1}{8}}$；④$\sqrt{20}$.

A.①③
B.②④
C.②③
D.①④

(2) A

【分析】
要判断几个二次根式能否合并，首先需明确：只有同类二次根式可以合并，而判断同类二次根式的前提是将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否完全相同。因此解题思路为：先逐个化简题干中的4个二次根式，再对比化简后的被开方数，找出被开方数相同的组即可。
【解析】
先将4个二次根式分别化为最简二次根式：
① $3\sqrt{\frac{1}{2}} = 3×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}} = 3×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2；
② $5\sqrt{\frac{1}{3}} = 5×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = 5×\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3；
③ $2\sqrt{\frac{1}{8}} = 2×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8×2}} = 2×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}} = 2×\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2；
④ $\sqrt{20} = \sqrt{4×5} = \sqrt{4}×\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$，被开方数为5。
对比可知①和③化简后被开方数相同，是同类二次根式，可以合并。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简、同类二次根式的判定
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，核心考查同类二次根式的识别方法，解题的关键是准确将各二次根式化为最简形式，注意分母有理化和二次根式性质的正确运用，避免化简时出现计算错误。
【难度系数】
0.8

(3)计算$(\sqrt{15} - 4)^{2020}(\sqrt{15} + 4)^{2021}$的结果是（）

A.$\sqrt{2}$
B.$6$
C.$\sqrt{15} + 4$
D.$-\sqrt{15} - 4$

(3) C

【分析】
观察算式发现两个乘式的底数互为有理化因式，乘积为整数，且指数接近，因此先利用同底数幂乘法的逆运算，将指数为2021的项拆为指数2020和指数1的两项乘积，再用积的乘方的逆运算把指数相同的两项合并，结合平方差公式计算底数的乘积，最后化简即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(\sqrt{15} - 4)^{2020}(\sqrt{15} + 4)^{2021}\\=&(\sqrt{15} - 4)^{2020}(\sqrt{15} + 4)^{2020} × (\sqrt{15} + 4)\\=&[ (\sqrt{15} - 4)(\sqrt{15} + 4) ]^{2020} × (\sqrt{15} + 4)\\=&[ (\sqrt{15})^2 - 4^2 ]^{2020} × (\sqrt{15} + 4)\\=&(15 - 16)^{2020} × (\sqrt{15} + 4)\\=&(-1)^{2020} × (\sqrt{15} + 4)\\=&\sqrt{15} + 4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算，幂的运算性质，平方差公式
【点评】
本题核心是通过逆用幂的运算性质简化高次幂的计算，结合平方差公式快速求出有理化因式的乘积，避免了直接计算高次幂的复杂过程，熟练掌握运算性质的逆用是解题关键。
【难度系数】
0.7

(4)已知最简二次根式$\sqrt{3x-4}$与$\sqrt{5}$能合并成一项，则$x$的值为（）

A.5
B.4
C.3
D.2

(4) C

【分析】
要解决这道题，首先思考：几个二次根式能合并成一项的前提是它们是同类二次根式，且题目明确给出这两个都是最简二次根式，因此不需要额外化简，直接利用“最简同类二次根式的被开方数相同”这一性质，列出关于x的方程，求解后验证二次根式有意义，即可得到x的值。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{3x-4}$与$\sqrt{5}$能合并成一项
∴ 二者是同类最简二次根式，被开方数相等，可得方程：
$3x-4=5$
解这个方程：
$3x=5+4$
$3x=9$
$x=3$
检验：当$x=3$时，$3x-4=3×3-4=5≥0$，二次根式有意义，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式，最简二次根式，解一元一次方程
【点评】
本题是二次根式加减部分的基础概念题，核心是理解同类二次根式的判定规则：若几个最简二次根式可以合并，则它们的被开方数一定相等；若题目未说明是最简二次根式，需要先将根式化为最简后再判断被开方数是否相同，求解后要注意验证二次根式的被开方数非负，避免出现增根。
【难度系数】
0.8

(5)若将某一长方形的长增加$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，宽增加$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，就变成一个面积为$128\ \mathrm{cm}^2$的正方形，则原长方形的面积为（）

A.$18\ \mathrm{cm}^2$
B.$20\ \mathrm{cm}^2$
C.$36\ \mathrm{cm}^2$
D.$48\ \mathrm{cm}^2$

(5) B

【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据正方形的面积公式，先求出变化后正方形的边长；第二步，用正方形的边长分别减去长、宽增加的长度，得到原长方形的长和宽；第三步，根据长方形面积公式计算原长方形的面积，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求正方形的边长：
正方形面积公式为$S=a^2$，已知正方形面积为$128\ \mathrm{cm}^2$，则边长$a=\sqrt{128}=\sqrt{64×2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
2. 求原长方形的长和宽：
原长方形的长 = 正方形边长 - 增加的长 = $8\sqrt{2}-3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
原长方形的宽 = 正方形边长 - 增加的宽 = $8\sqrt{2}-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
3. 计算原长方形的面积：
长方形面积公式为$S=长×宽$，则原面积为：
$5\sqrt{2}×2\sqrt{2}=10×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=10×2=20\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算；长方形与正方形的面积计算
【点评】
本题结合几何图形面积公式考察二次根式的化简与运算，解题核心是先求出正方形的边长，再反推原长方形的长宽，掌握二次根式的基本运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7

(1)在$\sqrt{8}$，$\sqrt{12}$，$\sqrt{18}$，$\sqrt{20}$中，能与$\sqrt{2}$进行合并的有。

(1) $\sqrt{8},\sqrt{18}$

【分析】
要解决这道题，首先要明确：只有同类二次根式才能相互合并，而同类二次根式的定义是“化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式”。因此解题思路为：先将题目给出的所有二次根式化为最简形式，再对比化简后的被开方数，被开方数为2的即可和$\sqrt{2}$合并。
【解析】
逐个化简给出的二次根式：
1. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，化简后被开方数为2；
2. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3；
3. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数为2；
4. $\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，化简后被开方数为5。
因此化简后被开方数为2的二次根式是$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$，二者可与$\sqrt{2}$合并。
【答案】
$\sqrt{8},\sqrt{18}$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式；二次根式合并条件
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，核心考察同类二次根式的判定，解题关键是熟练掌握二次根式的化简方法，只有化为最简二次根式后才能准确判断是否为同类二次根式。
【难度系数】
0.8

(2)已知$\sqrt{18} - \sqrt{2} = a\sqrt{2} - \sqrt{2} = b\sqrt{2}$，则$ab=$

(2) 6

【分析】
解题时首先需要将$\sqrt{18}$化简为最简二次根式，通过对应系数求出a的值；再合并同类二次根式，对应求出b的值，最后计算a与b的乘积即可得到结果。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{18}$为最简二次根式
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
结合题干$\sqrt{18} - \sqrt{2} = a\sqrt{2} - \sqrt{2}$，可得$a=3$。
第二步：合并同类二次根式求b
$a\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
结合题干$a\sqrt{2} - \sqrt{2} = b\sqrt{2}$，可得$b=2$。
第三步：计算$ab$的值
$ab=3×2=6$
【答案】
6
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式加减运算的基础题型，重点考查最简二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，熟练掌握相关基础运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

(3)计算：$\sqrt{12} - \frac{3}{\sqrt{3}} - |1 - \sqrt{3}| + (\frac{1}{2})^{-1} =$

.

(3) 3

【分析】
这是一道二次根式的混合运算题，解题时需先将原式中的每一项分别化简，再合并同类项即可：①先将√12化为最简二次根式；②对$\frac{3}{\sqrt{3}}$进行分母有理化；③根据绝对值的性质，判断$1-\sqrt{3}$的正负后化简绝对值；④根据负整数指数幂的运算法则计算$(\frac{1}{2})^{-1}$，最后将所有化简后的结果合并计算。
【解析】
解：分别化简每一项：
1. 化简二次根式：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
2. 分母有理化：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
3. 化简绝对值：$\because\sqrt{3}＞1$，$\therefore1-\sqrt{3}＜0$，则$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$
4. 计算负整数指数幂：$(\frac{1}{2})^{-1}=2^1=2$
将化简后的项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3}-\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)+2\\&=2\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}+1+2\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
二次根式的化简；绝对值的性质；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题型，核心是对各类基础运算规则的掌握，计算时要注意去绝对值时的符号变化，避免因粗心出现符号错误。
【难度系数】
0.7

(4)规定一种新运算：$a\bigstar b=\sqrt{2}(b-a)$，如$3\bigstar5=\sqrt{2}(5-3)=2\sqrt{2}$。$\sqrt{2}\bigstar\sqrt{3}=$

(4) $\sqrt{6}-2$

【分析】
解决这类新定义运算问题，首先要准确理解新运算的规则：本题中$a\bigstar b$表示用$\sqrt{2}$乘（第二个数减第一个数），先确定所求式子中$\bigstar$前后的数分别对应规则里的$a$、$b$，即$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，再将其代入运算公式，最后按照二次根式的运算法则计算化简即可得到结果。
【解析】
根据新运算规则$a\bigstar b=\sqrt{2}(b-a)$，可得$\sqrt{2}\bigstar\sqrt{3}$中$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，代入公式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{2}\bigstar\sqrt{3}&=\sqrt{2}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\&=\sqrt{2}×\sqrt{3}-\sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=\sqrt{6}-2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{6}-2$
【知识点】
新定义运算，二次根式的乘法运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，重点考察对新运算规则的理解和二次根式基本运算的掌握，解题时注意不要混淆新运算中$a$、$b$的对应位置，计算时严格遵循二次根式的运算法则，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.8

(5)已知$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，那么$a+\frac{1}{a}=$

(5) $2\sqrt{3}$

【分析】
要求$a+\frac{1}{a}$的值，首先已知$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，需要先求出$\frac{1}{a}$的最简形式。由于$\frac{1}{a}$的分母是含二次根式的式子，因此需要先进行分母有理化：利用平方差公式，给分子、分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$（即$a$的有理化因式），就能把分母中的根号去掉，得到$\frac{1}{a}$的最简结果，最后将$a$和$\frac{1}{a}$相加，合并同类二次根式即可得到最终答案。
【解析】
解：已知$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，先化简$\frac{1}{a}$：
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
对上述式子分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，得：
$\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
根据平方差公式计算分母：
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$
因此$\frac{1}{a}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，再计算$a+\frac{1}{a}$：
$a+\frac{1}{a}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式加减运算
3. 平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握分母有理化的操作方法，化简后合并同类二次根式时注意符号，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.8

3. 已知$a+b=\sqrt{2}-1$，$ab=-1$。求$a^2+ab+b^2$的值。

$4-2\sqrt{2}$

【分析】
已知条件给出了$a+b$和$ab$的值，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，可通过完全平方公式对所求代数式变形简化计算。回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对比所求的$a^2+ab+b^2$，可将其变形为$(a+b)^2 - ab$，再整体代入已知数值计算即可。
【解析】
解：根据完全平方公式对所求代数式变形：
$a^2 + ab + b^2 = (a+b)^2 - ab$
将$a+b=\sqrt{2}-1$，$ab=-1$代入式子：
先计算$(a+b)^2$：
$(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} +1 = 3 - 2\sqrt{2}$
再代入原式计算：
原式$= (3 - 2\sqrt{2}) - (-1) = 3 - 2\sqrt{2} +1 = 4 - 2\sqrt{2}$
【答案】
$4-2\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，二次根式运算
【点评】
本题属于基础化简求值题，核心是灵活运用完全平方公式的变形，采用整体代入的方法避免求解单个字母的繁琐运算，计算时要注意负数的符号处理。
【难度系数】
0.8