4. 如图，在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中涂色正方形的面积为10，涂色正方形与带阴影正方形重叠部分的面积为3.

(1)涂色正方形的边长为.
(2)设两处空白部分的面积分别为$S_1$，$S_2$.
①$S_1$$S_2$.（填“＞”“＜”或“=”）
②若$S_1+S_2=2\sqrt{30}-6$，则带阴影正方形的面积为多少？

4. (1) $\sqrt{10}$
(2)①= ②12

【分析】
(1) 第一问根据正方形面积与边长的关系：正方形边长是其面积的算术平方根，直接计算即可得到结果。
(2) ①要比较$S_1$和$S_2$的大小，先设带阴影正方形的边长为$x$，重叠部分是面积为3的正方形，可得其边长为$\sqrt{3}$，分别表示出$S_1$和$S_2$的邻边长度，计算面积后即可比较大小。
②已知$S_1+S_2$的和，结合①中$S_1=S_2$先求出$S_1$的面积，再代入$S_1$的面积表达式，通过二次根式的运算求出阴影正方形的边长，进而计算其面积。
【解析】
(1) 设涂色正方形的边长为$a$，由正方形面积公式$S=a^2$，得$a=\sqrt{10}$，因此涂色正方形的边长为$\sqrt{10}$。
(2) ①设带阴影正方形的边长为$x$，重叠部分是面积为3的小正方形，因此重叠部分的边长为$\sqrt{3}$。
观察图形可得：$S_1$的两条邻边长度分别为$\sqrt{10}-\sqrt{3}$和$x-\sqrt{3}$，因此$S_1=(\sqrt{10}-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$；
$S_2$的两条邻边长度分别为$\sqrt{10}-\sqrt{3}$和$x-\sqrt{3}$，因此$S_2=(\sqrt{10}-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$，故$S_1=S_2$。
②已知$S_1+S_2=2\sqrt{30}-6$，且$S_1=S_2$，因此$2S_1=2\sqrt{30}-6$，解得$S_1=\sqrt{30}-3$。
将$S_1=\sqrt{30}-3$代入$S_1=(\sqrt{10}-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$得：
$(\sqrt{10}-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=\sqrt{30}-3$
对右边因式分解：$\sqrt{30}-3=\sqrt{3}×\sqrt{10}-\sqrt{3}×\sqrt{3}=\sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})$
因此等式变为：$(\sqrt{10}-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=\sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})$
$\because\sqrt{10}-\sqrt{3}≠0$，两边同时除以$(\sqrt{10}-\sqrt{3})$得：$x-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，解得$x=2\sqrt{3}$
因此带阴影正方形的面积为$x^2=(2\sqrt{3})^2=12$。
【答案】
(1) $\sqrt{10}$ (2)①$=$ ②$12$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，因式分解
【点评】
本题将几何图形性质与二次根式运算结合，解题核心是通过观察图形得到空白部分面积的表达式，再结合已知条件灵活变形求解，能有效考察数形结合能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6

5. 已知 $a=\sqrt{2n}+\sqrt{6}$，$b=\sqrt{2n}-\sqrt{6}$。
(1)求 $a^2 - b^2$ 的值.（结果用含 $n$ 的代数式表示）
(2)若(1)中代数式的值是整数，求正整数 $n$ 的最小值.

5. 解：(1)$a^2 - b^2$
$=(a+b)(a-b)$
$=(\sqrt{2n}+\sqrt{6}+\sqrt{2n}-\sqrt{6})(\sqrt{2n}+\sqrt{6}-\sqrt{2n}+\sqrt{6})$
$=4\sqrt{12n}$
$=8\sqrt{3n}.$
(2)3

【分析】
对于第(1)问，观察所求式子$a^2 - b^2$符合平方差公式的结构特征，若直接代入展开计算步骤繁琐，因此优先选择平方差公式因式分解为$(a+b)(a-b)$，再将$a$、$b$的表达式代入，结合二次根式的加减、乘法运算法则化简即可。对于第(2)问，已知化简后的代数式为整数，系数8本身是整数，因此只需保证根号内的被开方数是能开得尽方的正整数，结合$n$是正整数的条件，即可求出最小的$n$值。
【解析】
(1) 利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - b^2&=(a+b)(a-b)\\&=(\sqrt{2n}+\sqrt{6}+\sqrt{2n}-\sqrt{6})(\sqrt{2n}+\sqrt{6}-(\sqrt{2n}-\sqrt{6}))\\&=2\sqrt{2n} × 2\sqrt{6}\\&=4\sqrt{12n}\\&=8\sqrt{3n}\end{aligned}$
(2) 由(1)得$a^2 - b^2=8\sqrt{3n}$，若该式的值为整数，且$n$为正整数，则$\sqrt{3n}$必须为正整数，即$3n$是完全平方数。
由于3是质数，要使$3n$为最小的完全平方数，需满足$3n=3×3=9$，解得$n=3$，即正整数$n$的最小值为3。
【答案】
(1)$8\sqrt{3n}$；(2)$3$
【知识点】
平方差公式，二次根式混合运算，完全平方数性质
【点评】
本题侧重考查乘法公式在二次根式运算中的简化作用，第二问结合整数性质求解最值，解题时优先用乘法公式变形可大幅降低计算量，同时需要掌握二次根式结果为整数的判断方法。
【难度系数】
0.8

6. 计算：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+$

$\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$

【分析】
观察算式中每一项的分母都是两个二次根式的和，首先想到利用平方差公式对每一项进行分母有理化，将每一项拆成两个二次根式的差除以2的形式，再观察拆分后的式子，会发现中间的二次根式可以相互抵消，仅剩下首尾两项，最后整理计算即可得到结果。
【解析】
首先利用平方差公式对每一项分母有理化：
对于任意一项$\frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1}}$（$k$为正整数），分子分母同乘$\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}$，得：
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1}}&=\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{(\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1})(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})}\\&=\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{(2k+1)-(2k-1)}\\&=\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2}\end{aligned}$
将原式每一项按上述方法拆分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}\\&=\frac{1}{2}×[(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})]\end{aligned}$
观察括号内的项，中间的$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$与$-\sqrt{5}$……$\sqrt{2n-1}$与$-\sqrt{2n-1}$全部抵消，仅剩首尾两项：
$=\frac{1}{2}×(\sqrt{2n+1}-1)=\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$
【知识点】
1. 二次根式分母有理化
2. 平方差公式
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的常见题型，核心解题技巧是通过分母有理化实现裂项，利用抵消法简化计算，解题时需注意准确识别抵消后剩余的首尾项，避免计算错误。
【难度系数】
0.7