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1. “五一”期间,王老师一家自驾去了离家260km的某地游玩,他们离家的距离y(km)与汽车的行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示,则他们行驶2.3h后,距离目的地还有(
A.48km
B.32km
C.28km
D.22km
22km
)A.48km
B.32km
C.28km
D.22km
答案
1. D [解析]当 $1.5 \leq x \leq 2.5$ 时,设 $y = kx + b$.
将 $(1.5,150)$ 和 $(2.5,260)$ 代入,得 $\begin{cases}1.5k + b = 150,\\2.5k + b = 260,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = 110,\\b = -15,\end{cases}$
$\therefore$ 当 $1.5 \leq x \leq 2.5$ 时,$y = 110x - 15$.
当 $x = 2.3$ 时,$y = 110 × 2.3 - 15 = 238$,
$\therefore$ 距离目的地还有 $260 - 238 = 22(\text{km})$.
将 $(1.5,150)$ 和 $(2.5,260)$ 代入,得 $\begin{cases}1.5k + b = 150,\\2.5k + b = 260,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = 110,\\b = -15,\end{cases}$
$\therefore$ 当 $1.5 \leq x \leq 2.5$ 时,$y = 110x - 15$.
当 $x = 2.3$ 时,$y = 110 × 2.3 - 15 = 238$,
$\therefore$ 距离目的地还有 $260 - 238 = 22(\text{km})$.
2. 小明在一次学科综合实践活动中发现,某品牌鞋子的长度y(cm)与鞋子的码数x之间满足一次函数关系,y与x的一些对应值如下表所示.根据小明的数据,可以得出该品牌38码鞋子的长度为(
A.24cm
B.25cm
C.26cm
D.38cm
24
)A.24cm
B.25cm
C.26cm
D.38cm
答案
2. A [解析]设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = kx + b$.
将 $(26,18),(30,20)$ 代入,得
$\begin{cases}26k + b = 18,\\30k + b = 20,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = \frac{1}{2},\\b = 5,\end{cases}$
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = \frac{1}{2}x + 5$.
当 $x = 38$ 时,$y = \frac{1}{2} × 38 + 5 = 24$.
将 $(26,18),(30,20)$ 代入,得
$\begin{cases}26k + b = 18,\\30k + b = 20,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = \frac{1}{2},\\b = 5,\end{cases}$
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = \frac{1}{2}x + 5$.
当 $x = 38$ 时,$y = \frac{1}{2} × 38 + 5 = 24$.
3. 已知某处地面的气温是20℃,如果每升高100m,气温下降0.6℃,那么该处的气温t(℃)与高度h(m)之间的函数表达式是
$t = 20 - 0.006h$
.答案
3. $t = 20 - 0.006h$
4. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,甲、乙两种消费卡所需费用y甲,y乙(元)与入园次数x(次)之间的函数关系如图所示,当x满足
x＞20
时,y甲＞y乙.答案
4. $x ＞ 20$ [解析]结合题中函数图象可知,当 $x ＞ 20$ 时,$y_{\text{甲}} ＞ y_{\text{乙}}$.
5. (江苏南京模拟)某单位准备购买一种文化用品,该文化用品在甲、乙两家超市的标价均为10元/件.现甲、乙两家超市进行促销活动：甲超市,一次性购物金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的六折售卖；乙超市,全部按标价的八折售卖.
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市购买,支付的费用为______
(2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市购买,支付的费用较少?
当0≤x＜80时，选择乙超市购买，支付的费用较少；当x=80时，选择两家超市购买，支付的费用一样；当x＞80时，选择甲超市购买，支付的费用较少.
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市购买,支付的费用为______
300
______元；在乙超市购买,支付的费用为______240
______元.(2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市购买,支付的费用较少?
当0≤x＜80时，选择乙超市购买，支付的费用较少；当x=80时，选择两家超市购买，支付的费用一样；当x＞80时，选择甲超市购买，支付的费用较少.
答案
5. 解:(1)在甲超市购买,支付的费用为 $30 × 10 = 300$ (元);
在乙超市购买,支付的费用为 $30 × 10 × 0.8 = 240$ (元).故答案为 $300,240$.
(2)设该单位需要购买 $x$ 件这种文化用品,支付的费用为 $y$ 元.令 $10x = 400$,解得 $x = 40$.
当 $0 \leq x \leq 40$ 时,$y_{\text{甲}} = 10x$,$y_{\text{乙}} = 10x × 0.8 = 8x$,
此时选择乙超市购买,支付的费用较少.
当 $x ＞ 40$ 时,$y_{\text{甲}} = 400 + 0.6(10x - 400) = 6x + 160$,
$y_{\text{乙}} = 10x × 0.8 = 8x$.
当 $y_{\text{甲}} = y_{\text{乙}}$ 时,$6x + 160 = 8x$,解得 $x = 80$;
当 $y_{\text{甲}} ＞ y_{\text{乙}}$ 时,$6x + 160 ＞ 8x$,解得 $x ＜ 80$;
当 $y_{\text{甲}} ＜ y_{\text{乙}}$ 时,$6x + 160 ＜ 8x$,解得 $x ＞ 80$.
综上,当 $0 \leq x ＜ 80$ 时,选择乙超市购买,支付的费用较少;当 $x = 80$ 时,选择两家超市购买,支付的费用一样;当 $x ＞ 80$ 时,选择甲超市购买,支付的费用较少.
在乙超市购买,支付的费用为 $30 × 10 × 0.8 = 240$ (元).故答案为 $300,240$.
(2)设该单位需要购买 $x$ 件这种文化用品,支付的费用为 $y$ 元.令 $10x = 400$,解得 $x = 40$.
当 $0 \leq x \leq 40$ 时,$y_{\text{甲}} = 10x$,$y_{\text{乙}} = 10x × 0.8 = 8x$,
此时选择乙超市购买,支付的费用较少.
当 $x ＞ 40$ 时,$y_{\text{甲}} = 400 + 0.6(10x - 400) = 6x + 160$,
$y_{\text{乙}} = 10x × 0.8 = 8x$.
当 $y_{\text{甲}} = y_{\text{乙}}$ 时,$6x + 160 = 8x$,解得 $x = 80$;
当 $y_{\text{甲}} ＞ y_{\text{乙}}$ 时,$6x + 160 ＞ 8x$,解得 $x ＜ 80$;
当 $y_{\text{甲}} ＜ y_{\text{乙}}$ 时,$6x + 160 ＜ 8x$,解得 $x ＞ 80$.
综上,当 $0 \leq x ＜ 80$ 时,选择乙超市购买,支付的费用较少;当 $x = 80$ 时,选择两家超市购买,支付的费用一样;当 $x ＞ 80$ 时,选择甲超市购买,支付的费用较少.
6. (练思维·综合能力)快车和慢车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快车到达乙地卸装货物用时30min,结束后,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与慢车相遇,已知慢车的速度为70km/h.两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图象如图所示.
(1)请解释图中点A的实际意义；
(2)求出图中线段AB对应的函数表达式；
(3)两车相遇后,如果快车以返回的速度继续匀速向甲地行驶,求快车到达甲地还需多长时间.
(1)请解释图中点A的实际意义；
快车到达乙地时,慢车距离乙地还有120km
(2)求出图中线段AB对应的函数表达式；
y = -70x + 330(3 ≤ x ≤ 3.5)
(3)两车相遇后,如果快车以返回的速度继续匀速向甲地行驶,求快车到达甲地还需多长时间.
2.8h
答案
6. 解:(1)根据题图,得点 $A$ 的实际意义为快车到达乙地时,慢车距离乙地还有 $120 \text{ km}$.
(2)快车到达乙地卸装货物用时 $30 \text{ min}$,则点 $B$ 的横坐标为 $3 + \frac{1}{2} = 3.5$,此时快车与慢车的距离为 $120 - 70 × \frac{1}{2} = 120 - 35 = 85(\text{km})$,
$\therefore B(3.5,85)$.
设线段 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b$,
$\therefore \begin{cases}85 = 3.5k + b,\\120 = 3k + b,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = -70,\\b = 330,\end{cases}$
$\therefore$ 线段 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = -70x + 330(3 \leq x \leq 3.5)$.
(3)设快车去乙地的速度为 $a \text{ km/h}$,
则 $3(a - 70) = 120$,
解得 $a = 110$,
$\therefore$ 甲、乙两地的距离为 $110 × 3 = 330(\text{km})$.
设快车返回甲地的速度为 $v \text{ km/h}$.
根据题意,
得 $\frac{1}{2} × (v + 70) = 330 - (3 + \frac{1}{2}) × 70$,
解得 $v = 100$,
$\therefore$ 两车相遇后,如果快车以返回的速度继续匀速向甲地行驶,快车到达甲地还需 $\frac{330 - \frac{1}{2} × 100}{100} = 2.8(\text{h})$.
(2)快车到达乙地卸装货物用时 $30 \text{ min}$,则点 $B$ 的横坐标为 $3 + \frac{1}{2} = 3.5$,此时快车与慢车的距离为 $120 - 70 × \frac{1}{2} = 120 - 35 = 85(\text{km})$,
$\therefore B(3.5,85)$.
设线段 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b$,
$\therefore \begin{cases}85 = 3.5k + b,\\120 = 3k + b,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = -70,\\b = 330,\end{cases}$
$\therefore$ 线段 $AB$ 对应的函数表达式为 $y = -70x + 330(3 \leq x \leq 3.5)$.
(3)设快车去乙地的速度为 $a \text{ km/h}$,
则 $3(a - 70) = 120$,
解得 $a = 110$,
$\therefore$ 甲、乙两地的距离为 $110 × 3 = 330(\text{km})$.
设快车返回甲地的速度为 $v \text{ km/h}$.
根据题意,
得 $\frac{1}{2} × (v + 70) = 330 - (3 + \frac{1}{2}) × 70$,
解得 $v = 100$,
$\therefore$ 两车相遇后,如果快车以返回的速度继续匀速向甲地行驶,快车到达甲地还需 $\frac{330 - \frac{1}{2} × 100}{100} = 2.8(\text{h})$.
