5.如图,在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为A(-1,3),B(-2,0),C(2,2),求三角形ABC的面积.

5.解:三角形 ABC 的面积为 $3×4-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×1×3=5.$

6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(1,0),C(4,3).若点P在x轴上,且三角形ABP与三角形ABC的面积相等,求点P的坐标.

6.解:$S_{\mathrm{三角形}ABC}=4×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×1×4=\frac{9}{2}.$
因为三角形 ABP 与三角形 ABC 的面积相等，
所以 $S_{\mathrm{三角形}ABP}=\frac{1}{2}PB · OA =\frac{1}{2}PB · 2=\frac{9}{2}.$
所以 $PB=\frac{9}{2}.$
当点 P 在点 B 的右边时,$x_P=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}$,
所以 $P(\frac{11}{2},0)$;
当点 P 在点 B 的左边时,$x_P=1-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$,
所以 $P(-\frac{7}{2},0).$
综上所述,点 P 的坐标为 $(\frac{11}{2},0)$ 或 $(-\frac{7}{2},0).$

7.如图,已知点$A(-1,0),B(0,3),C(2,4),D(3,0),P$是$x$轴上一点,直线$CP$将四边形$ABCD$分成面积比为$1:2$的两部分,求点$P$的坐标.

7.解:如图,过点 C 作 $CE⊥x$ 轴于点 E,则E(2,0).

所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{\mathrm{三角形}AOB} + S_{\mathrm{梯形}OBCE} + S_{\mathrm{三角形}CDE} =\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×(3+4)×2+\frac{1}{2}×1×4=\frac{21}{2}.$
因为直线 CP 将四边形 ABCD 分成面积比为 1:2 的两部分，
所以 $S_{\mathrm{三角形}CPD} = \frac{1}{3} S_{\mathrm{四边形}ABCD} =\frac{7}{2}$ 或 $S_{\mathrm{三角形}CPD} =\frac{2}{3}S_{\mathrm{四边形}ABCD}=7,$
所以$\frac{1}{2}PD · 4=\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}PD · 4=7$,
所以 $PD=\frac{7}{4}$ 或 $PD=\frac{7}{2}.$
所以 $x_P=3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$ 或 $x_P=3-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}$,
所以点 P 的坐标为 $(\frac{5}{4},0)$ 或 $(-\frac{1}{2},0).$