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三、解答题(本大题共9小题,共72分.解答应写出过程)
17. (6分)解分式方程:$\frac{x-3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = 1.$
17. (6分)解分式方程:$\frac{x-3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = 1.$
答案
17. 【点拨】本题考查分式方程的解法,解题的关键是掌握解分式方程的步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,最后检验即可.
【解析】$\frac{x-3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = 1$,
去分母,得$(x-3)^2 - 2(x+3) = (x+3)(x-3)$,
去括号,得$x^2 - 6x + 9 - 2x - 6 = x^2 - 9$,
移项、合并同类项,得$-8x = -12$.
系数化为1,得$x = \frac{3}{2}$.
经检验,$x = \frac{3}{2}$是原分式方程的解.
$\therefore$ 原分式方程的解为$x = \frac{3}{2}$.
【解析】$\frac{x-3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = 1$,
去分母,得$(x-3)^2 - 2(x+3) = (x+3)(x-3)$,
去括号,得$x^2 - 6x + 9 - 2x - 6 = x^2 - 9$,
移项、合并同类项,得$-8x = -12$.
系数化为1,得$x = \frac{3}{2}$.
经检验,$x = \frac{3}{2}$是原分式方程的解.
$\therefore$ 原分式方程的解为$x = \frac{3}{2}$.
解析
【分析】解分式方程的核心思路是将其转化为整式方程求解，关键步骤为：先确定最简公分母去分母（需注意给方程中的常数项乘最简公分母，避免漏乘），再按整式方程的解法逐步计算，最后必须检验所得解是否使原分式的分母不为0，排除增根。本题的最简公分母是$(x+3)(x-3)$，据此去分母转化为整式方程，再逐步求解并验证解的合理性。
【解析】$\frac{x-3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = 1$，
去分母，得$(x-3)^2 - 2(x+3) = (x+3)(x-3)$，
去括号，得$x^2 - 6x + 9 - 2x - 6 = x^2 - 9$，
移项、合并同类项，得$-8x = -12$，
系数化为1，得$x = \frac{3}{2}$，
经检验，当$x=\frac{3}{2}$时，原方程分母不为0，故$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】$x=\frac{3}{2}$
【知识点】分式方程的解法
【点评】本题是分式方程的基础题型，重点考查解分式方程的规范步骤，尤其是去分母时常数项的处理和最终的检验环节，是分式方程的核心考点，学生需熟练掌握。
【难度系数】0.7
【解析】$\frac{x-3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = 1$，
去分母，得$(x-3)^2 - 2(x+3) = (x+3)(x-3)$，
去括号，得$x^2 - 6x + 9 - 2x - 6 = x^2 - 9$，
移项、合并同类项，得$-8x = -12$，
系数化为1，得$x = \frac{3}{2}$，
经检验，当$x=\frac{3}{2}$时，原方程分母不为0，故$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】$x=\frac{3}{2}$
【知识点】分式方程的解法
【点评】本题是分式方程的基础题型，重点考查解分式方程的规范步骤，尤其是去分母时常数项的处理和最终的检验环节，是分式方程的核心考点，学生需熟练掌握。
【难度系数】0.7
18. (6分)先化简:$(1-\dfrac{1}{x+2})÷\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-4}$，然后在$-1,0,2$中选一个你喜欢的$x$值，代入求值.
答案
18. 【点拨】本题考查分式的化简求值.
【解析】$\begin{aligned}(1-\frac{1}{x+2})÷\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}&=\frac{x+2-1}{x+2}÷\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x+1}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)^2}\\&=\frac{x-2}{x+1}.\end{aligned}$
$\because x+2≠0,x-2≠0,x+1≠0,\therefore x≠-2,x≠2,x≠-1$,
$\therefore$ 当$x=0$时,原式$=\frac{0-2}{0+1}=-2$.
【解析】$\begin{aligned}(1-\frac{1}{x+2})÷\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}&=\frac{x+2-1}{x+2}÷\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x+1}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)^2}\\&=\frac{x-2}{x+1}.\end{aligned}$
$\because x+2≠0,x-2≠0,x+1≠0,\therefore x≠-2,x≠2,x≠-1$,
$\therefore$ 当$x=0$时,原式$=\frac{0-2}{0+1}=-2$.
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，对分子、分母因式分解后约分得到最简分式；接着根据分式有意义的条件，确定x的取值范围，排除使原式分母为0的x值，最后从给定的数中选取合适的x代入最简式计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{x+2})÷\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}&=\frac{x+2-1}{x+2}÷\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x+1}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)^2}\\&=\frac{x-2}{x+1}.\end{aligned}$
$\because$ 分式有意义需满足分母不为0，即$x+2≠0$，$x-2≠0$，$x+1≠0$，
$\therefore x≠-2$，$x≠2$，$x≠-1$，
$\therefore$ 从$-1,0,2$中只能选$x=0$，代入得：原式$=\frac{0-2}{0+1}=-2$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{x-2}{x+1}$，当$x=0$时，原式的值为$-2$。
【知识点】
分式的化简、分式的有意义条件、分式的求值
【点评】
本题考查分式化简求值的基础运算，核心是通分、因式分解和约分的应用，需注意分式有意义的隐含条件，避免选取使原式无意义的x值，整体运算步骤清晰，难度较低。
【难度系数】
0.6
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，对分子、分母因式分解后约分得到最简分式；接着根据分式有意义的条件，确定x的取值范围，排除使原式分母为0的x值，最后从给定的数中选取合适的x代入最简式计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{x+2})÷\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}&=\frac{x+2-1}{x+2}÷\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x+1}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)^2}\\&=\frac{x-2}{x+1}.\end{aligned}$
$\because$ 分式有意义需满足分母不为0，即$x+2≠0$，$x-2≠0$，$x+1≠0$，
$\therefore x≠-2$，$x≠2$，$x≠-1$，
$\therefore$ 从$-1,0,2$中只能选$x=0$，代入得：原式$=\frac{0-2}{0+1}=-2$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{x-2}{x+1}$，当$x=0$时，原式的值为$-2$。
【知识点】
分式的化简、分式的有意义条件、分式的求值
【点评】
本题考查分式化简求值的基础运算，核心是通分、因式分解和约分的应用，需注意分式有意义的隐含条件，避免选取使原式无意义的x值，整体运算步骤清晰，难度较低。
【难度系数】
0.6
19. (8分)如图,$□ ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,过点$D$作$DE// AC$且$DE = OC$,连接$CE,OE,AE,OE = CD$.
(1)求证:$□ ABCD$是菱形;
(2)若$AB = 4,∠ ABC = 60°$,求$AE$的长.
(1)求证:$□ ABCD$是菱形;
(2)若$AB = 4,∠ ABC = 60°$,求$AE$的长.
答案
19. 【点拨】本题考查菱形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because DE// AC,DE = OC$,
$\therefore$ 四边形OCED是平行四边形.
$\because OE = CD,\therefore$ 平行四边形OCED是矩形,
$\therefore ∠ COD = 90°$,即$AC⊥ BD,\therefore ▱ABCD$是菱形.
(2)$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore OA = OC,CD = AB = BC = 4,AC⊥ BD$.
$\because ∠ ABC = 60°,\therefore △ ABC$是等边三角形,
$\therefore AC = AB = 4,\therefore OA = OC = 2$,
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,$OD = \sqrt{CD^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$.
由(1)得四边形OCED为矩形,
$\therefore CE = OD = 2\sqrt{3},∠ OCE = 90°$,
$\therefore AE = \sqrt{AC^2 + CE^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{7}$.
【解析】(1)证明:$\because DE// AC,DE = OC$,
$\therefore$ 四边形OCED是平行四边形.
$\because OE = CD,\therefore$ 平行四边形OCED是矩形,
$\therefore ∠ COD = 90°$,即$AC⊥ BD,\therefore ▱ABCD$是菱形.
(2)$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore OA = OC,CD = AB = BC = 4,AC⊥ BD$.
$\because ∠ ABC = 60°,\therefore △ ABC$是等边三角形,
$\therefore AC = AB = 4,\therefore OA = OC = 2$,
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,$OD = \sqrt{CD^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$.
由(1)得四边形OCED为矩形,
$\therefore CE = OD = 2\sqrt{3},∠ OCE = 90°$,
$\therefore AE = \sqrt{AC^2 + CE^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
要证明□ABCD是菱形，需利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，因此需先证AC⊥BD。由DE//AC且DE=OC，可证四边形OCED是平行四边形，结合OE=CD，进一步证得平行四边形OCED是矩形，从而得到AC⊥BD，完成第一问的证明。对于第二问，利用菱形的性质及∠ABC=60°，推出△ABC是等边三角形，算出AC的长度；再结合第一问中矩形OCED的性质得到CE的长度，最后在Rt△ACE中用勾股定理计算AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE//AC，DE=OC，
∴ 四边形OCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ OE=CD，
∴ 平行四边形OCED是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴ ∠COD=90°，即AC⊥BD。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ □ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=AB=BC=4，OA=OC，AC⊥BD。
∵ ∠ABC=60°，BC=AB=4，
∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AC=AB=4，
∴ OC=½AC=2。
在Rt△OCD中，OD=√(CD² - OC²)=√(4² - 2²)=2√3。
由(1)知四边形OCED是矩形，
∴ CE=OD=2√3，∠OCE=90°。
在Rt△ACE中，AE=√(AC² + CE²)=√(4² + (2√3)²)=√(16 + 12)=2√7。
【答案】
2√7
【知识点】
菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行四边形、菱形、矩形、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题需逐步推导，将已知条件与几何定理结合，逻辑严谨，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.6
要证明□ABCD是菱形，需利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，因此需先证AC⊥BD。由DE//AC且DE=OC，可证四边形OCED是平行四边形，结合OE=CD，进一步证得平行四边形OCED是矩形，从而得到AC⊥BD，完成第一问的证明。对于第二问，利用菱形的性质及∠ABC=60°，推出△ABC是等边三角形，算出AC的长度；再结合第一问中矩形OCED的性质得到CE的长度，最后在Rt△ACE中用勾股定理计算AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE//AC，DE=OC，
∴ 四边形OCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ OE=CD，
∴ 平行四边形OCED是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴ ∠COD=90°，即AC⊥BD。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ □ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD=AB=BC=4，OA=OC，AC⊥BD。
∵ ∠ABC=60°，BC=AB=4，
∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AC=AB=4，
∴ OC=½AC=2。
在Rt△OCD中，OD=√(CD² - OC²)=√(4² - 2²)=2√3。
由(1)知四边形OCED是矩形，
∴ CE=OD=2√3，∠OCE=90°。
在Rt△ACE中，AE=√(AC² + CE²)=√(4² + (2√3)²)=√(16 + 12)=2√7。
【答案】
2√7
【知识点】
菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行四边形、菱形、矩形、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题需逐步推导，将已知条件与几何定理结合，逻辑严谨，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.6
20. (10分)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个顶点都是格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形的三边长分别为$2,\sqrt{5},\sqrt{13}$;
(3)图3中的$∠ BCD$是不是直角?请说明理由.(可以适当添加字母)
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形的三边长分别为$2,\sqrt{5},\sqrt{13}$;
(3)图3中的$∠ BCD$是不是直角?请说明理由.(可以适当添加字母)
答案
20. 【点拨】本题考查正方形的性质,勾股定理,熟练掌握正方形的性质,运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键.
【解析】(1)面积为10的正方形的边长为$\sqrt{10}$.
$\because \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10},\therefore$ 如图1所示的四边形即为所求.(答案不唯一)
(2)$\because \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5},\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$,
$\therefore$ 如图2所示的三角形即为所求.(答案不唯一)
(3)$∠ BCD$是直角,理由如下:
如图3,连接BD,$BD = \sqrt{BG^2 + GD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$,
$BC = \sqrt{BF^2 + CF^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$,
$CD = \sqrt{CE^2 + DE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
$\because (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5^2$,即$CD^2 + BC^2 = BD^2,\therefore ∠ BCD = 90°$.
解析
【分析】
本题包含三个小问题，解题思路如下：
(1) 画面积为10的正方形：先由正方形面积公式得边长为√10，再利用勾股定理，格点中直角边为3和1的直角三角形斜边为√(3²+1²)=√10，以此为边长构造正方形；
(2) 画三边长为2、√5、√13的三角形：结合勾股定理，√5是直角边1和2的斜边（√(1²+2²)），√13是直角边2和3的斜边（√(2²+3²)），在格点中找到对应长度的线段，连接成三角形；
(3) 判断∠BCD是否为直角：利用勾股定理逆定理，连接BD，分别计算BC、CD、BD的长度，验证是否满足BC² + CD² = BD²，若满足则为直角。
【解析】
(1) 面积为10的正方形边长为√10，根据勾股定理，直角边为3和1的直角三角形斜边长为√(3²+1²)=√10，以该斜边为边长，在格点中画出正方形，如图1所示；
(2) 由勾股定理得：√5=√(1²+2²)，√13=√(2²+3²)，2为整数边长，在格点中选取对应长度的线段，构造出三边长为2、√5、√13的三角形，如图2所示；
(3) 连接BD，计算各线段长度：
BC=√(BF²+CF²)=√(4²+2²)=2√5，
CD=√(CE²+DE²)=√(2²+1²)=√5，
BD=√(BG²+GD²)=√(3²+4²)=5，
验证：CD² + BC²=(√5)² + (2√5)²=5+20=25，BD²=5²=25，因此CD² + BC²=BD²，根据勾股定理逆定理，∠BCD=90°，即∠BCD是直角。
【答案】
(1) 如图1所示的正方形；(2) 如图2所示的三角形；(3) ∠BCD是直角，理由见解析。
【知识点】
勾股定理、正方形性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查勾股定理及其逆定理的应用，以及格点图形的作图，需要学生熟练运用勾股定理计算格点间线段长度，利用逆定理判断直角，是初中几何的典型题型。
【难度系数】
0.5
本题包含三个小问题，解题思路如下：
(1) 画面积为10的正方形：先由正方形面积公式得边长为√10，再利用勾股定理，格点中直角边为3和1的直角三角形斜边为√(3²+1²)=√10，以此为边长构造正方形；
(2) 画三边长为2、√5、√13的三角形：结合勾股定理，√5是直角边1和2的斜边（√(1²+2²)），√13是直角边2和3的斜边（√(2²+3²)），在格点中找到对应长度的线段，连接成三角形；
(3) 判断∠BCD是否为直角：利用勾股定理逆定理，连接BD，分别计算BC、CD、BD的长度，验证是否满足BC² + CD² = BD²，若满足则为直角。
【解析】
(1) 面积为10的正方形边长为√10，根据勾股定理，直角边为3和1的直角三角形斜边长为√(3²+1²)=√10，以该斜边为边长，在格点中画出正方形，如图1所示；
(2) 由勾股定理得：√5=√(1²+2²)，√13=√(2²+3²)，2为整数边长，在格点中选取对应长度的线段，构造出三边长为2、√5、√13的三角形，如图2所示；
(3) 连接BD，计算各线段长度：
BC=√(BF²+CF²)=√(4²+2²)=2√5，
CD=√(CE²+DE²)=√(2²+1²)=√5，
BD=√(BG²+GD²)=√(3²+4²)=5，
验证：CD² + BC²=(√5)² + (2√5)²=5+20=25，BD²=5²=25，因此CD² + BC²=BD²，根据勾股定理逆定理，∠BCD=90°，即∠BCD是直角。
【答案】
(1) 如图1所示的正方形；(2) 如图2所示的三角形；(3) ∠BCD是直角，理由见解析。
【知识点】
勾股定理、正方形性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查勾股定理及其逆定理的应用，以及格点图形的作图，需要学生熟练运用勾股定理计算格点间线段长度，利用逆定理判断直角，是初中几何的典型题型。
【难度系数】
0.5
