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21. (6分)某公司为表达对员工的关怀,准备为全体员工发放节日礼品.该公司在超市购进了甲、乙两种礼品.已知甲礼品的单价比乙礼品的单价的2倍少30元,用1 200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍. 甲礼品的单价是多少元?
答案
21. 【点拨】本题考查分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键,注意分式方程要检验.
【解析】设乙礼品的单价是x元,则甲礼品的单价是$(2x - 30)$元.
由题意得$\frac{1200}{x}=\frac{900}{2x-30}×2$,解得$x = 60$,
经检验,$x = 60$是原方程的解且符合题意.
$\therefore 2x - 30 = 2×60 - 30 = 90$(元).
答:甲礼品的单价是90元.
【解析】设乙礼品的单价是x元,则甲礼品的单价是$(2x - 30)$元.
由题意得$\frac{1200}{x}=\frac{900}{2x-30}×2$,解得$x = 60$,
经检验,$x = 60$是原方程的解且符合题意.
$\therefore 2x - 30 = 2×60 - 30 = 90$(元).
答:甲礼品的单价是90元.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目中的等量关系：购买乙礼品的数量是购买甲礼品数量的2倍，而数量=总价÷单价。我们可以先设乙礼品的单价为未知数，根据甲、乙单价的关系表示出甲的单价，再结合上述等量关系列出分式方程，求解后检验解的合理性，最终计算出甲礼品的单价。
【解析】
设乙礼品的单价是$ x $元，则甲礼品的单价是$ (2x - 30) $元。
根据“用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍”，可列方程：
$\frac{1200}{x} = 2 × \frac{900}{2x - 30}$
解方程：
两边同乘$ x(2x - 30) $得：$1200(2x - 30) = 1800x$
展开：$2400x - 36000 = 1800x$
移项：$2400x - 1800x = 36000$
合并：$600x = 36000$
解得：$x = 60$
经检验，$x = 60$是原方程的解，且符合实际意义。
则甲礼品的单价为：$2x - 30 = 2×60 - 30 = 90$（元）
【答案】
90元
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的典型应用，解题核心是找准数量间的等量关系，正确列出分式方程，需注意解分式方程后要检验解是否符合题意，整体属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确题目中的等量关系：购买乙礼品的数量是购买甲礼品数量的2倍，而数量=总价÷单价。我们可以先设乙礼品的单价为未知数，根据甲、乙单价的关系表示出甲的单价，再结合上述等量关系列出分式方程，求解后检验解的合理性，最终计算出甲礼品的单价。
【解析】
设乙礼品的单价是$ x $元，则甲礼品的单价是$ (2x - 30) $元。
根据“用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍”，可列方程：
$\frac{1200}{x} = 2 × \frac{900}{2x - 30}$
解方程：
两边同乘$ x(2x - 30) $得：$1200(2x - 30) = 1800x$
展开：$2400x - 36000 = 1800x$
移项：$2400x - 1800x = 36000$
合并：$600x = 36000$
解得：$x = 60$
经检验，$x = 60$是原方程的解，且符合实际意义。
则甲礼品的单价为：$2x - 30 = 2×60 - 30 = 90$（元）
【答案】
90元
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的典型应用，解题核心是找准数量间的等量关系，正确列出分式方程，需注意解分式方程后要检验解是否符合题意，整体属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
22. (6分)如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是边AD,BC上的点,且$AE=BF$,连接AF,BE相交于点G,连接CE,DF相交于点H,连接GH.求证:$GH=\frac{1}{2}AD$.
答案
22. 【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定,三角形中位线性质定理,熟练运用平行四边形的性质和判定是解题的关键.
【解析】证明:如图,连接EF,
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,
$\therefore AD// BC,AD = BC$.
$\because AE = BF,\therefore DE = CF$.
$\because AE// BF,DE// CF$,
$\therefore$ 四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形,
$\therefore AG = FG,FH = DH,\therefore GH$是$△ AFD$的中位线,$\therefore GH = \frac{1}{2}AD$.
解析
【分析】要证明$GH=\frac{1}{2}AD$，需结合平行四边形的性质，先通过已知条件证明四边形ABFE和EFCD是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分得到G、H分别为AF、DF的中点，再依据三角形中位线定理推导结论。
【解析】证明：连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵$AE=BF$，
∴$DE=AD - AE$，$CF=BC - BF$，故$DE=CF$。
又
∵$AE// BF$，$DE// CF$，
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形。
∴AG=FG，FH=DH，即G是AF的中点，H是DF的中点。
∴GH是$△ AFD$的中位线，
根据三角形中位线定理，得$GH=\frac{1}{2}AD$。
【答案】证明：连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵$AE=BF$，
∴$DE=CF$。
∵$AE// BF$，$DE// CF$，
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形，
∴AG=FG，FH=DH，
∴GH是$△ AFD$的中位线，
∴$GH=\frac{1}{2}AD$。
【知识点】平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理
【点评】本题综合考查平行四边形的性质、判定及三角形中位线定理，解题关键是构造辅助线EF，证明小平行四边形得到中点，利用中位线定理完成证明，属于基础几何证明题。
【难度系数】0.6
【解析】证明：连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵$AE=BF$，
∴$DE=AD - AE$，$CF=BC - BF$，故$DE=CF$。
又
∵$AE// BF$，$DE// CF$，
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形。
∴AG=FG，FH=DH，即G是AF的中点，H是DF的中点。
∴GH是$△ AFD$的中位线，
根据三角形中位线定理，得$GH=\frac{1}{2}AD$。
【答案】证明：连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵$AE=BF$，
∴$DE=CF$。
∵$AE// BF$，$DE// CF$，
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形，
∴AG=FG，FH=DH，
∴GH是$△ AFD$的中位线，
∴$GH=\frac{1}{2}AD$。
【知识点】平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理
【点评】本题综合考查平行四边形的性质、判定及三角形中位线定理，解题关键是构造辅助线EF，证明小平行四边形得到中点，利用中位线定理完成证明，属于基础几何证明题。
【难度系数】0.6
23. (8分)小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张. 他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形(如图2). 根据图2的面积关系可得等式:$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$,即使用拼图将$a^2 + 2ab + b^2$分解因式.
(1)如果要拼成一个长为$(a + 2b)$,宽为$(a + b)$的大长方形,则需要2号卡片
(2)当他拼成如图3所示的长方形,根据图3的拼图可以把多项式$a^2 + 4ab + 3b^2$分解因式,其结果是
(3)动手操作,请依照小刚的方法,在图4的方框中画出面积为$a^2 + 5ab + 6b^2$的长方形拼图,并利用拼图分解因式$a^2 + 5ab + 6b^2$.
(1)如果要拼成一个长为$(a + 2b)$,宽为$(a + b)$的大长方形,则需要2号卡片
2
张,3号卡片3
张;(2)当他拼成如图3所示的长方形,根据图3的拼图可以把多项式$a^2 + 4ab + 3b^2$分解因式,其结果是
$(a+3b)(a+b)$
;(3)动手操作,请依照小刚的方法,在图4的方框中画出面积为$a^2 + 5ab + 6b^2$的长方形拼图,并利用拼图分解因式$a^2 + 5ab + 6b^2$.
答案
23. 【点拨】本题考查多项式乘多项式的计算法则,因式分解.
【解析】(1)拼成的长为$(a+2b)$,宽为$(a+b)$的大长方形的面积为$(a+2b)(a+b)=a^2+3ab+2b^2$,
$\therefore$ 需要2号卡片2张,3号卡片3张.
故答案为2,3.
(2)$a^2+4ab+3b^2=(a+3b)(a+b)$.
故答案为$(a+3b)(a+b)$.
(3)利用拼图分解因式:$a^2+5ab+6b^2=(a+2b)(a+3b)$.
拼图如图所示:
解析
【分析】
本题利用面积法解决因式分解问题，核心是大长方形的面积等于各小卡片（1号：面积$a^2$，2号：面积$b^2$，3号：面积$ab$）的面积之和，解题时通过计算目标图形的面积对应卡片数量，或通过面积和反推因式分解结果，体现数形结合思想。
【解析】
(1) 长为$(a+2b)$、宽为$(a+b)$的大长方形面积为：
$(a+2b)(a+b)=a^2 +ab +2ab +2b^2 =a^2 +3ab +2b^2$
其中，2号卡片对应$b^2$，共2张；3号卡片对应$ab$，共3张。
(2) 图3的长方形面积为$(a+3b)(a+b)=a^2 +4ab +3b^2$，因此多项式$a^2 +4ab +3b^2$分解因式的结果为$(a+3b)(a+b)$。
(3) 对$a^2 +5ab +6b^2$分解因式，通过面积关系可得：$a^2 +5ab +6b^2=(a+2b)(a+3b)$，对应拼图为长$(a+3b)$、宽$(a+2b)$的长方形，包含1张1号卡片、6张2号卡片、5张3号卡片，面积和与原式一致。
【答案】
(1) 2，3；
(2) $(a+3b)(a+b)$；
(3) $a^2 +5ab +6b^2=(a+2b)(a+3b)$，拼图如图所示：
【知识点】
多项式乘多项式、因式分解
【点评】
本题通过拼图的面积关系将整式运算与因式分解直观化，考查学生对整式运算的理解和数形结合的应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
本题利用面积法解决因式分解问题，核心是大长方形的面积等于各小卡片（1号：面积$a^2$，2号：面积$b^2$，3号：面积$ab$）的面积之和，解题时通过计算目标图形的面积对应卡片数量，或通过面积和反推因式分解结果，体现数形结合思想。
【解析】
(1) 长为$(a+2b)$、宽为$(a+b)$的大长方形面积为：
$(a+2b)(a+b)=a^2 +ab +2ab +2b^2 =a^2 +3ab +2b^2$
其中，2号卡片对应$b^2$，共2张；3号卡片对应$ab$，共3张。
(2) 图3的长方形面积为$(a+3b)(a+b)=a^2 +4ab +3b^2$，因此多项式$a^2 +4ab +3b^2$分解因式的结果为$(a+3b)(a+b)$。
(3) 对$a^2 +5ab +6b^2$分解因式，通过面积关系可得：$a^2 +5ab +6b^2=(a+2b)(a+3b)$，对应拼图为长$(a+3b)$、宽$(a+2b)$的长方形，包含1张1号卡片、6张2号卡片、5张3号卡片，面积和与原式一致。
【答案】
(1) 2，3；
(2) $(a+3b)(a+b)$；
(3) $a^2 +5ab +6b^2=(a+2b)(a+3b)$，拼图如图所示：
【知识点】
多项式乘多项式、因式分解
【点评】
本题通过拼图的面积关系将整式运算与因式分解直观化，考查学生对整式运算的理解和数形结合的应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
