24. (10分)如图1,将矩形ABOC放置于第一象限,使其顶点O位于原点,且点B,C分别位于x轴、y轴上.若$A(m,n)$满足$\sqrt{m-12} + |n-8| = 0$;
(1)求点A的坐标;
(2)取AC的中点M,连接MO,$△ CMO$与$△ NMO$关于MO所在直线对称,连接AN并延长交x轴于点P.
①求AP的长;
②如图2,点D位于线段AC上,且$CD = 8$,E为平面内一动点,满足$DE ⊥ OE$,连接PE.请你求出线段PE长度的最大值.

24. 【点拨】本题考查算术平方根和绝对值的非负性,矩形的性质,平行四边形的判定与性质,轴对称的性质及勾股定理,坐标与图形等知识点,熟练掌握矩形的性质并能用勾股定理正确求解是解题的关键.
【解析】(1)$\because \sqrt{m-12}+|n-8|=0,\therefore m-12=0,n-8=0$,
解得$m=12,n=8,\therefore$ 点A的坐标为$(12,8)$.
(2)①$\because △ CMO$与$△ NMO$关于MO所在直线对称,
$\therefore ON=OC=8,MN=CM=AM=6$.
如图1,连接NC,$\therefore CN⊥ OM$.
$\because MN=AM=MC$,
$\therefore ∠ MAN=∠ MNA,∠ MNC=∠ MCN$.
设$∠ MAN=∠ MNA=α,∠ MNC=∠ MCN=β$,在$△ ACN$中,$∠ ACN+∠ CAN+∠ ANM+∠ MNC=180°$,
$\therefore 2α+2β=180°,\therefore α+β=90°$,
$\therefore ∠ CNA=90°,\therefore ∠ NCA+∠ CAN=90°$.
$\because ∠ NCA+∠ OMC=90°$,
$\therefore ∠ CAN=∠ OMC,\therefore OM// AP$.
$\because AC// OB,\therefore$ 四边形AMOP是平行四边形,
$\therefore OP=AM=\frac{1}{2}OB=6,\therefore P$为OB的中点,
$\therefore P(6,0),\therefore AP=\sqrt{6^2+8^2}=10$.

②如图2,连接OD,取OD的中点Q,连接QE,QP.
$\because ∠ OED=∠ OCA=90°,Q$是OD的中点,$CD=8$.
$\therefore D(8,8),\therefore OD=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$,
$\therefore QE=\frac{1}{2}OD=4\sqrt{2}$.
由中点坐标公式可知$Q(4,4)$.
$\because P(6,0)$,
$\therefore QP=\sqrt{(4-6)^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}$,
$\therefore$ 当点P,Q,E三点共线时,PE的长度最大,则PE的最大值为$QE+PQ,\therefore PE$的最大值为$4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$.

【分析】
1. 第(1)问：根据算术平方根和绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数均为0，据此求出m、n的值，得到点A的坐标。
2. 第(2)问①：利用轴对称性质得到线段相等关系，结合M是AC中点的条件，通过角度推导证明OM//AP，结合AC//OB判定四边形AMOP为平行四边形，求出P点坐标后用勾股定理计算AP的长。
3. 第(2)问②：由DE⊥OE可知点E在以OD为直径的圆上，取OD中点Q，根据直角三角形斜边中线定理得QE为定值，计算Q到P的距离，利用圆上点到定点的最大距离为圆心距加半径，求出PE的最大值。
【解析】
(1)
∵ √(m-12) + |n-8| = 0，且√(m-12)≥0，|n-8|≥0，
∴ m-12=0，n-8=0，解得m=12，n=8，
∴ 点A的坐标为(12,8)。
(2) ①
∵ △CMO与△NMO关于MO所在直线对称，
∴ ON=OC=8，MN=CM，
∵ M是AC中点，AC=OB=12，
∴ CM=AM=6，故MN=AM=6。
连接NC，由对称得CN⊥OM，
设∠MAN=∠MNA=α，∠MNC=∠MCN=β，
在△ACN中，∠ACN + ∠CAN + ∠ANM + ∠MNC = 180°，
即2α + 2β = 180°，得α+β=90°，
∴ ∠CNA=90°，故∠NCA + ∠CAN=90°，
又
∵ ∠NCA + ∠OMC=90°，
∴ ∠CAN=∠OMC，即OM//AP。
∵ AC//OB，
∴ 四边形AMOP是平行四边形，
∴ OP=AM=6，即P(6,0)，
∴ AP=√[(12-6)² + (8-0)²] = √(36+64)=10。
②
∵ CD=8，AC=12，
∴ D点坐标为(8,8)，
连接OD，取OD中点Q，连接QE、QP，
∵ DE⊥OE，
∴ △OED是直角三角形，Q为OD中点，
∴ QE=½OD，OD=√(8²+8²)=8√2，故QE=4√2，
由中点坐标公式得Q(4,4)，
∵ P(6,0)，
∴ QP=√[(4-6)² + (4-0)²] = √(4+16)=2√5，
当P、Q、E三点共线时，PE最大，最大值为QE + QP=4√2 + 2√5。
【答案】
(1) A(12,8)；(2) ① AP=10；② PE最大值为4√2 + 2√5。


【知识点】
非负性、轴对称与平行四边形、直角三角形与圆的性质
【点评】
本题综合考查代数与几何知识点，涉及非负性、矩形性质、轴对称、平行四边形、圆的相关性质，解题关键在于利用几何定理推导线段与角度关系，第②问需掌握圆上动点到定点的最大距离求法，对学生综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5