25. (12分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点,点F在边BC的延长线上,且$CF = AE$,连接DE,DF.
(1)求证:$DE ⊥ DF$;
(2)连接EF,取EF的中点G,连接DG并延长交BC于点H,连接BG.
①依题意,补全图形;
②求证:$BG = DG$;
③若$∠ EGB = 45°$,用等式表示线段BG,HG与AE之间的数量关系,并证明.

备用图
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25. 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,直角三角形斜边上中线的性质,等腰三角形的性质等知识,熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质,证明全等三角形是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore AD=CD,∠ A=∠ B=∠ BCD=∠ ADC=90°,\therefore ∠ DCF=90°$.
$\because AE=CF,\therefore △ ADE≌△ CDF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADE=∠ CDF$.
$\because ∠ ADE+∠ CDE=90°,\therefore ∠ CDF+∠ CDE=90°$,
即$∠ EDF=90°,\therefore DE⊥ DF$.
(2)①由题意,补全图形如图所示.
②证明:由(1)可知$△ DEF$和$△ BEF$都是直角三角形.
$\because G$是EF的中点,
$\therefore DG=\frac{1}{2}EF,BG=\frac{1}{2}EF,\therefore BG=DG$.
③$BG^2+HG^2=4AE^2$,证明过程如下:
由(1)得$△ ADE≌△ CDF,DE⊥ DF$,
$\therefore DE=DF,\therefore △ DEF$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ DEG=45°$.
$\because G$为EF的中点,
$\therefore DG⊥ EF,DG=\frac{1}{2}EF=EG,BG=\frac{1}{2}EF=EG=FG$,
$\therefore ∠ EGD=∠ HGF=∠ DGF=90°,∠ GDF=45°,∠ EDG=∠ DEG=45°,∠ GBF=∠ GFB$.
$\because ∠ EGB=45°,\therefore ∠ GBF=∠ GFB=22.5°$.
$\because ∠ DHF+∠ HFG=∠ DHF+∠ CDH=90°$,
$\therefore ∠ HFG=∠ CDH=22.5°$,
$\therefore ∠ CDF=∠ GDF-∠ HDC=22.5°=∠ CDH$.
$\because ∠ DCH=∠ DCF=90°,CD=CD$,
$\therefore △ CDH≌△ CDF(\mathrm{ASA}),\therefore CH=CF$,
在$\mathrm{Rt}△ GHF$中,由勾股定理得$GF^2+HG^2=HF^2$.
$\because HF=2CF=2AE,GF=BG$,
$\therefore BG^2+HG^2=(2AE)^2$,即$BG^2+HG^2=4AE^2$.

【分析】
本题是正方形背景下的几何综合题，分三小问逐步推导：第(1)问要证$DE⊥DF$，利用正方形的边、角性质，结合已知$AE=CF$，通过SAS证明三角形全等，推出角的等量关系进而得到直角；第(2)问①按题意补全图形；②利用直角三角形斜边中线的性质，证明$DG$和$BG$都等于$EF$的一半，从而得$BG=DG$；③需结合等腰直角三角形性质、角度推导，通过全等转化线段，再用勾股定理得到线段间的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD=CD$，$∠A=∠BCD=∠ADC=90°$，
∴$∠DCF=180°-∠BCD=90°$，即$∠A=∠DCF=90°$。
在$△ ADE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\ ∠A=∠DCF \\ AE=CF\end{array} $
∴$△ ADE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ADE=∠CDF$。
∵$∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°$，
∴$∠CDF+∠CDE=∠EDF=90°$，
∴$DE⊥DF$。
(2) ① 补全图形如图所示；
② 证明：由(1)知$DE⊥DF$，故$△ DEF$是直角三角形，
又
∵四边形$ABCD$是正方形，$∠ABC=90°$，点$F$在$BC$延长线上，
∴$∠EBF=90°$，故$△ BEF$也是直角三角形。
∵$G$是$EF$的中点，
∴在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$DG=\frac{1}{2}EF$；在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$BG=\frac{1}{2}EF$，
∴$BG=DG$。
③ 数量关系：$BG^2+HG^2=4AE^2$，证明如下：
由(1)中$△ ADE≌△ CDF$，得$DE=DF$，结合$DE⊥DF$，
∴$△ DEF$是等腰直角三角形，
∵$G$为$EF$中点，
∴$DG⊥EF$，$DG=EG=FG=\frac{1}{2}EF$，
又
∵$BG=\frac{1}{2}EF$，
∴$BG=EG=FG$，
∴$∠GBF=∠GFB$，$∠GDE=∠GED=45°$，$∠EGD=90°$。
已知$∠EGB=45°$，则$∠BGF=∠EGF - ∠EGB=90°-45°=45°$，故$∠GBF=\frac{1}{2}(180°-45°)=22.5°$。
又
∵$∠DHF+∠HFG=90°$，$∠DHF+∠CDH=90°$，
∴$∠HFG=∠CDH=22.5°$，
又
∵$∠CDF=∠GDF - ∠CDH=45°-22.5°=22.5°$，
∴$∠CDH=∠CDF$。
在$△ CDH$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠CDH=∠CDF \\ CD=CD \\ ∠DCH=∠DCF=90°\end{array} $
∴$△ CDH≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
∴$CH=CF$。
∵$HF=HC+CF=2CF=2AE$，
在$\mathrm{Rt}△ GHF$中，由勾股定理：$GF^2 + HG^2 = HF^2$，
又
∵$GF=BG$，$HF=2AE$，
∴$BG^2 + HG^2=(2AE)^2$，即$BG^2 + HG^2=4AE^2$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① 补全图形；② 证明见解析；③ $BG^2+HG^2=4AE^2$；

【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查正方形性质、全等三角形、直角三角形斜边中线定理、等腰直角三角形性质，解题关键是逐步推导角与线段的等量关系，合理运用几何定理转化，需较强逻辑推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5