7. 关于$x$的方程$\dfrac{5+m}{x-2}+1=\dfrac{1}{x-2}$有增根$x=2$，则$m$的值是________.

7. -4 【点拨】本题考查分式方程的增根,首先化分式方程为整式方程,把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
【解析】原分式方程去分母得$5 + m + (x - 2) = 1,\because$ 原分式方程的增根为$x = 2,\therefore$ 将$x = 2$代入$5 + m + (x - 2) = 1$中,得$m = -4$. 故答案为 -4.

【分析】首先明确分式方程增根的含义：增根是使分式方程分母为0的根，它是去分母后整式方程的根。解题时先将分式方程转化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求出未知字母m的值。
【解析】原分式方程两边同乘最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$），去分母得整式方程：$5 + m + (x - 2) = 1$。已知方程的增根为$x=2$，将$x=2$代入上述整式方程，得$5 + m + (2 - 2) = 1$，化简得$5 + m = 1$，解得$m = -4$。
【答案】-4
【知识点】分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程增根的应用，核心是掌握增根的性质：增根是去分母后整式方程的根，且使原分式分母为0，解题关键是正确转化为整式方程后代入增根计算。
【难度系数】0.6

8. 如图,在$△ ABC$中,$CD$平分$∠ ACB$,且$CD ⊥ AB$于点$D$,$DE // BC$交$AC$于点$E$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,$AB=2\ \mathrm{cm}$.那么$△ ADE$的周长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.

8. 4 【点拨】本题考查三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质.
【解析】$\because CD$平分$∠ ACB,\therefore ∠ ACD = ∠ BCD.\because CD⊥ AB$于点D,$\therefore ∠ ADC = ∠ BDC = 90°,\therefore ∠ A = ∠ B,\therefore AC = BC = 3\ \mathrm{cm},AD = BD = \frac{1}{2}AB = 1\ \mathrm{cm}.\because DE// BC,CD$平分$∠ ACB,\therefore ∠ EDC = ∠ DCB = ∠ ECD,∠ ADE = ∠ B,\therefore DE = CE,∠ A = ∠ ADE,\therefore CE = AE = DE,\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$\therefore AE = DE = \frac{1}{2}BC = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore △ ADE$的周长$=AD + DE + AE = 1 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 4(\mathrm{cm})$. 故答案为4.

【分析】
要计算△ADE的周长，需先推导各边的长度关系：首先利用CD是角平分线且垂直AB的条件，得出△ABC是等腰三角形，得到AC=BC、AD=BD；再结合DE//BC的平行线性质，推导出DE=CE、AE=DE，进而确定DE是△ABC的中位线，最后代入边长计算周长。
【解析】
1. 因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD；又CD⊥AB，故∠ADC=∠BDC=90°。在△ADC和△BDC中，∠A=180°-∠ACD-∠ADC，∠B=180°-∠BCD-∠BDC，因此∠A=∠B，可得AC=BC=3cm，AD=BD=½AB=½×2=1cm。
2. 由于DE//BC，所以∠EDC=∠BCD（内错角相等），结合∠ACD=∠BCD，得∠EDC=∠ACD，故DE=CE；同时∠ADE=∠B（同位角相等），又∠A=∠B，所以∠ADE=∠A，因此AE=DE。
3. 由AE=DE=CE，可知E是AC中点，即DE是△ABC的中位线，所以DE=½BC=½×3=1.5cm，AE=1.5cm。
4. △ADE的周长=AD+DE+AE=1 + 1.5 + 1.5=4cm。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线的性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形、平行线及三角形中位线的知识，核心是通过角的等量关系推导边相等，进而确定中位线，逐步计算周长，需熟练运用几何定理进行推导。
【难度系数】
0.5

9. 如果$x^2 - 3x - 1 = 0$，则$\sqrt{x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 7}$的值是________.

9. 2 【点拨】本题考查完全平方公式的应用以及已知式子的值求代数式的值,算术平方根.
【解析】当$x = 0$时,则$0 - 3×0 - 1 = -1≠0$,故$x≠0$,方程$x^2 - 3x - 1 = 0$两边同时除以x,得$x - 3 - \frac{1}{x} = 0,\therefore x - \frac{1}{x} = 3$,
$\therefore (x-\frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 9,\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 11,\therefore \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2} - 7} = \sqrt{11 - 7} = 2$. 故答案为2.

【分析】要解决这个问题，首先需判断x≠0（若x=0，原方程不成立），将原方程两边除以x得到x - 1/x的值，再利用完全平方公式求出x² + 1/x²的值，最后代入所求的算术平方根式子计算结果。
【解析】因为当x=0时，代入原方程x² - 3x -1=0得-1≠0，所以x≠0。将方程x² - 3x -1=0两边同时除以x，得：x - 3 - 1/x = 0，整理得x - 1/x = 3。根据完全平方公式，(a - b)² = a² - 2ab + b²，所以(x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2。将x - 1/x =3代入，得3² = x² +1/x² -2，解得x² +1/x² =11。因此√(x² +1/x² -7)=√(11 -7)=√4=2。
【答案】2
【知识点】完全平方公式、代数式求值、算术平方根
【点评】本题考查完全平方公式的变形应用，需先通过方程变形构造出可利用公式的形式，再结合算术平方根的定义计算结果，是基础的代数式求值题。
【难度系数】0.6

10. 如图所示,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为________.

10. 3 【点拨】本题考查矩形的性质,全等三角形的判定,阴影部分面积的计算等知识.
【解析】$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore OA = OC,AD// BC,∠ AEO = ∠ CFO.\because ∠ AOE = ∠ COF,\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{AAS}),\therefore S_{△ AOE}=S_{△ COF},\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AOE}+S_{△ BOF}+S_{△ COD}=S_{△ COF}+S_{△ BOF}+S_{△ COD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC· CD=\frac{1}{2}×3×2=3$. 故答案为3.

【分析】
要计算阴影部分面积，可利用矩形的性质结合全等三角形进行等积转化。矩形的对角线互相平分且对边平行，由此可证明相关三角形全等，将不规则的阴影面积转化为规则三角形的面积，进而简化计算。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD//BC，CD=AB=2，BC=3，∠AEO=∠CFO，
又
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴S△AOE = S△COF，
因此，阴影部分的面积 = S△AOE + S△BOF + S△COD = S△COF + S△BOF + S△COD = S△BCD，
而S△BCD = $\frac{1}{2}×BC×CD = \frac{1}{2}×3×2 = 3$，
故图中阴影部分的面积为3。
【答案】
3
【知识点】
矩形的性质、全等三角形判定、三角形面积计算
【点评】
本题通过等积转化将不规则阴影面积转化为规则三角形面积，核心是利用矩形性质和全等三角形实现面积替换，体现了数学转化思想，解题关键是找到全等三角形完成面积等量转换。
【难度系数】
0.6

11. 如图,直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,把$△ AOB$绕点$A$顺时针旋转$90°$后得到$△ AO'B'$,则点$B'$的坐标是________.

11. (7,3) 【点拨】本题考查旋转的性质:旋转不改变图形的形状和大小,解题时需注意旋转前后线段的长度不变.
【解析】直线$y=-\frac{4}{3}x + 4$与x轴、y轴分别交于$A(3,0)$,$B(0,4)$两点,由题可知$O'A = OA = 3,O'B' = OB = 4,B'$的横坐标为$OA + O'B' = OA + OB = 7$,则点$B'$的坐标为$(7,3)$. 故答案为$(7,3)$.

【分析】首先，我们需要先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，再利用旋转的性质（旋转前后对应边长度相等，对应角相等），确定旋转后各点的位置关系，进而计算出点B'的坐标。具体步骤：1. 求直线与x轴、y轴交点A、B的坐标；2. 根据旋转性质得到对应边的长度，确定旋转后O'、B'的位置特征；3. 结合坐标系计算点B'的横纵坐标。
【解析】首先，求直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$与坐标轴的交点：令$y=0$，则$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，故点A坐标为$(3,0)$；令$x=0$，则$y=4$，故点B坐标为$(0,4)$。根据旋转的性质，$△ AOB$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ AO'B'$，因此$O'A=OA=3$，$O'B'=OB=4$，且$O'A ⊥ x$轴，$O'B' // x$轴。由此可得，点O'的坐标为$(3,3)$，点B'的横坐标为$3+4=7$，纵坐标与O'的纵坐标相同为$3$，所以点B'的坐标为$(7,3)$。
【答案】$(7,3)$
【知识点】一次函数与坐标轴交点、旋转的性质
【点评】本题结合一次函数图象和旋转的性质考查坐标计算，解题关键是利用旋转前后对应边相等的性质，结合坐标系的特征确定点的位置，属于中等难度的基础题型，需要学生掌握一次函数与坐标轴交点的求法和旋转的基本性质。
【难度系数】0.4

12. 如图所示,将矩形ABCD分别沿BE,EF,FG翻折,翻折后点A、点D、点C都落在点H上.若AB=2,则GH=.

12. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 【点拨】本题考查矩形折叠问题,勾股定理.
【解析】由题意得$AE = EH = ED,DF = HF = CF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB = 1,AB = BH = 2,CG = GH$,设$AE = ED = a,\because ∠ BEH + ∠ FEH + ∠ AEB + ∠ DEF = 180°,∠ BEH = ∠ AEB,∠ FEH = ∠ DEF$,
$\therefore ∠ BEF = ∠ BEH + ∠ FEH = 90°$. 在$\mathrm{Rt}△ BEF$中,$BE^2 + EF^2 = BF^2,\therefore AB^2 + AE^2 + DE^2 + DF^2 = BC^2 + FC^2,\therefore 2^2 + a^2 + a^2 + 1^2 = (2a)^2 + 1^2,\therefore a = \sqrt{2}$. 设$CG = GH = x$,则$BG = 2\sqrt{2} - x$. 在$\mathrm{Rt}△ BHG$中,$BH^2 + HG^2 = BG^2$,即$2^2 + x^2 = (2\sqrt{2} - x)^2$,解得$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

【分析】
本题是矩形折叠问题，需利用折叠的性质（对应边相等、对应角相等）结合勾股定理求解。首先，由折叠可知AE=EH=ED，DF=HF=CF，且翻折后对应角相等，可推出∠BEF=90°；接着设AE=a，结合矩形边长关系和勾股定理求出a的值；最后设GH=x，在Rt△BHG中利用勾股定理列方程求解GH的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可知：
AE = EH = ED，DF = HF = CF，AB = BH = 2，CG = GH，且∠AEB = ∠HEB，∠DEF = ∠HEF。
因为∠AEB + ∠HEB + ∠DEF + ∠HEF = 180°，所以2∠HEB + 2∠HEF = 180°，即∠BEF = ∠HEB + ∠HEF = 90°。
又因为矩形ABCD中，AB=CD=2，所以CF=DF=1，AD=BC，设AE=ED=a，则AD=BC=2a。
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE² + EF² = BF²，
其中BE² = AB² + AE² = 2² + a²，EF² = DE² + DF² = a² + 1²，BF² = BC² + CF² = (2a)² + 1²，
代入得：2² + a² + a² + 1² = (2a)² + 1²，
化简得：4 + 2a² + 1 = 4a² + 1，
移项合并得：2a² = 4，解得a=√2（a为边长，取正值）。
设GH = CG = x，则BG = BC - CG = 2√2 - x，
在Rt△BHG中，由勾股定理得：BH² + GH² = BG²，
代入得：2² + x² = (2√2 - x)²，
展开右边：8 - 4√2 x + x²，
消去x²得：4 = 8 - 4√2 x，
解得：4√2 x = 4，即x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
矩形折叠性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形折叠的性质与勾股定理的应用，核心是利用折叠前后的边、角关系推导直角，再通过设未知数建立方程求解，需学生掌握几何图形的折叠规律和方程思想。
【难度系数】
0.5

13. 某书店分别用400元和500元分两次购进同一种书,第二次购进数量比第一次多10本,且两次进价相同.若设该书店第一次购进x本,根据题意,列方程为$\frac{400}{x} = \frac{500}{x + 10}$.

13. $\frac{400}{x}=\frac{500}{x+10}$ 【点拨】本题考查由实际问题抽象出分式方程,由两次购进数量之间的关系,可得出第二次购进$(x+10)$本,再利用进价相同列出方程即可.
【解析】设该书店第一次购进x本,则该书店第二次购进$(x+10)$本,由题意得$\frac{400}{x}=\frac{500}{x+10}$. 故答案为$\frac{400}{x}=\frac{500}{x+10}$.

【分析】首先设第一次购进书的数量为x本，根据“第二次购进数量比第一次多10本”，可得出第二次购进数量为$(x+10)$本。由于两次进价相同，而进价的计算公式是“进价=总金额÷购进数量”，因此第一次的进价为$\frac{400}{x}$，第二次的进价为$\frac{500}{x+10}$，据此可根据进价相等的等量关系列出方程。
【解析】设该书店第一次购进x本，则第二次购进$(x+10)$本。根据“两次进价相同”这一等量关系，结合“进价=总费用÷购进数量”，第一次进价为$\frac{400}{x}$，第二次进价为$\frac{500}{x+10}$，因此可列方程：$\frac{400}{x} = \frac{500}{x + 10}$。
【答案】$\frac{400}{x}=\frac{500}{x+10}$
【知识点】分式方程的应用、实际问题抽象分式方程
【点评】本题是分式方程应用的基础题型，核心是从实际购物问题中提取“两次进价相同”的等量关系，通过设未知数、表示相关量完成方程的构建，重点考查学生对分式方程实际应用的基本掌握。
【难度系数】0.6

14. 在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，直线$y = kx + 2k - 3$（$k$为常数且$k≠0$）与$x$轴正半轴、$y$轴负半轴分别交于点$A,B$，则$\dfrac{2}{OA} - \dfrac{3}{OB}$的值是________.

14. -1 【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及分式运算,利用一次函数图象上点的坐标特征,求出点A,B的坐标是解题的关键.
【解析】当$y = 0$时,$kx + 2k - 3 = 0$,得$x = \frac{3 - 2k}{k},\therefore$ 点A的坐标为$(\frac{3-2k}{k},0).\because$ 点A在x轴正半轴上,$\therefore OA = \frac{3 - 2k}{k}$,当$x = 0$时,$y = k·0 + 2k - 3 = 2k - 3,\therefore$ 点B的坐标为$(0,2k - 3).\because$ 点B在y轴负半轴上,$\therefore OB = 3 - 2k,\therefore \frac{2}{OA} - \frac{3}{OB} = \frac{2}{\frac{3-2k}{k}} - \frac{3}{3-2k} = \frac{2k - 3}{3 - 2k} = -1$. 故答案为 -1.

【分析】
要解决这个问题，需先求出直线与x轴、y轴交点A、B的坐标，再根据A在x轴正半轴、B在y轴负半轴确定OA、OB的表达式，最后代入目标分式化简求值。具体步骤为：令y=0求A点横坐标得OA；令x=0求B点纵坐标，结合B在y轴负半轴确定OB；将OA、OB代入分式化简计算。
【解析】
1. 求点A坐标：令直线中y=0，即$kx + 2k - 3 = 0$，解得$x = \frac{3 - 2k}{k}$。因A在x轴正半轴，故$OA = \frac{3 - 2k}{k}$。
2. 求点B坐标：令直线中x=0，得$y = 2k - 3$。因B在y轴负半轴，故$OB = 3 - 2k$。
3. 代入计算：将OA、OB代入$\frac{2}{OA} - \frac{3}{OB}$，得：
$\frac{2}{\frac{3 - 2k}{k}} - \frac{3}{3 - 2k} = \frac{2k}{3 - 2k} - \frac{3}{3 - 2k} = \frac{2k - 3}{3 - 2k} = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值
【点评】
本题考查一次函数与坐标轴交点的求法及分式运算，关键是根据点所在半轴正确确定OA、OB的表达式，避免符号错误，通过通分化简即可得到结果，难度适中。
【难度系数】
0.5

15. 如图,在等腰梯形ABCD中,DC//AB,AD=BC,AC平分∠DAB,∠DCA=30°,DC=3 cm,则∠BCA=°,梯形ABCD的周长为cm.

15. 90 15 【点拨】本题考查等腰梯形的性质,平行线的性质,角平分线的性质及直角三角形中30°角所对直角边与斜边的关系.
【解析】$\because AC$平分$∠ DAB,\therefore ∠ DAC = ∠ CAB.\because DC// AB,\therefore ∠ DCA = ∠ CAB = 30°,∠ D + ∠ DAB = 180°,\therefore ∠ DAC = ∠ DCA = 30°$,
$\therefore AD = DC = 3\ \mathrm{cm}.\because AD = BC,\therefore CB = 3\ \mathrm{cm},∠ DAB = ∠ B = 60°$,
$\therefore ∠ ACB = 90°,\therefore AB = 2BC = 6\ \mathrm{cm},\therefore$ 梯形ABCD的周长为$3 + 3 + 3 + 6 = 15(\mathrm{cm})$. 故答案为90,15.

【分析】
要解决这个问题，我们可以逐步推导角和边的关系：
1. 利用AC平分∠DAB，结合DC//AB的平行线性质，得到∠DAC=∠CAB=∠DCA=30°，进而推出AD=DC=3cm；
2. 根据等腰梯形AD=BC、同一底上的角相等的性质，得到BC=3cm，∠B=∠DAB=60°；
3. 在△ABC中，利用三角形内角和算出∠BCA的度数；
4. 再结合直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，算出AB的长度，最后计算梯形周长。
【解析】
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC = ∠CAB。
又
∵ DC//AB，
∴ ∠DCA = ∠CAB = 30°，
∴ ∠DAC = ∠DCA = 30°，
∴ AD = DC = 3 cm。
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，
∴ AD = BC = 3 cm，且∠DAB = ∠B = ∠DAC + ∠CAB = 60°。
在△ABC中，∠BCA = 180° - ∠CAB - ∠B = 180° - 30° - 60° = 90°。
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴ AB = 2BC = 2×3 = 6 cm。
∴ 梯形ABCD的周长 = AD + DC + BC + AB = 3 + 3 + 3 + 6 = 15 cm。
【答案】
90；15
【知识点】
等腰梯形性质、平行线性质、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查等腰梯形、角平分线、平行线及直角三角形的相关性质，需要逐步推导角与边的关系，步骤清晰，是基础几何综合题。
【难度系数】
0.5

16. 用换元法解方程组$\begin{cases}\dfrac{5}{x} - \dfrac{6}{1 - y} = 1, \\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y - 1} = 1\end{cases}$时,可设$\dfrac{1}{x} = m,\dfrac{1}{y - 1} = n$,那么原方程组可化为关于$m,n$的整式方程组为________.

16. $\begin{cases}5m+6n=1,\\m+n=1\end{cases}$ 【点拨】本题考查换元法解分式方程,将$\frac{1}{x}=m,\frac{1}{y-1}=n$代入原方程组即可得出答案.
【解析】将$\frac{1}{x}=m,\frac{1}{y-1}=n$代入方程组$\begin{cases}\dfrac{5}{x} - \dfrac{6}{1 - y} = 1, \\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y - 1} = 1\end{cases}$,得$\begin{cases}5m+6n=1,\\m+n=1.\end{cases}$ 故答案为$\begin{cases}5m+6n=1,\\m+n=1.\end{cases}$

【分析】
解本题的核心思路是利用换元法简化分式方程组：先明确换元设定，将原方程组中复杂的分式项用新变量替换；再针对每个方程，结合分式的符号变形，把含原变量的分式转化为新变量的整式，最终得到关于新变量的整式方程组。具体步骤为：先确定换元后，处理第二个方程的直接替换，再处理第一个方程中$\frac{1}{1-y}$的符号变形，转化为与新变量相关的项，进而整合得到整式方程组。
【解析】
已知换元设定为$\frac{1}{x}=m$，$\frac{1}{y-1}=n$，将其代入原方程组：
1. 处理第一个方程$\frac{5}{x} - \frac{6}{1 - y} = 1$：
$\frac{5}{x}=5×\frac{1}{x}=5m$；
$\frac{6}{1 - y}=\frac{6}{-(y - 1)}=-\frac{6}{y - 1}=-6n$，因此$-\frac{6}{1 - y}=-(-6n)=6n$；
代入后得：$5m + 6n =1$。
2. 处理第二个方程$\frac{1}{x} + \frac{1}{y -1}=1$：
直接替换得：$m + n =1$。
综上，原方程组可化为关于$m,n$的整式方程组为$\begin{cases}5m +6n=1\\m +n=1\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}5m +6n=1\\m +n=1\end{cases}$
【知识点】
换元法解分式方程组，分式的符号变换
【点评】
本题考查换元法在解分式方程组中的基础应用，核心是通过替换简化复杂分式结构，关键在于正确处理$\frac{1}{1-y}$与$\frac{1}{y-1}$的符号关系，避免符号错误，属于侧重基础操作的题型，难度适中。
【难度系数】
0.8