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7. James Webb 太空望远镜探测到一个星系中的氢原子发射线($\mathrm{H}α$线),其波长为0.000 000 000 656 nm,将数据0.000 000 656 用科学记数法表示为 （
A.$6.56× 10^{7}$
B.$6.56× 10^{-7}$
C.$656× 10^{-7}$
D.$6.56× 10^{-6}$
B
）A.$6.56× 10^{7}$
B.$6.56× 10^{-7}$
C.$656× 10^{-7}$
D.$6.56× 10^{-6}$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示规则：将原数表示为$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤|a|＜10$，$n$是原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包含小数点前的零）。首先确定原数$0.000000656$的第一个非零数字是6，其前面共有7个零，据此可确定$a$和$n$的值，进而选出正确选项。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数时，形式为$a×10^{-n}$（$1≤a＜10$，$n$为正整数）。对于$0.000000656$，第一步确定$a$：将小数点移到第一个非零数字6的后面，得到$a=6.56$；第二步确定$n$：数出原数中第一个非零数字前的零的个数，共7个，故$n=7$。因此，$0.000000656$用科学记数法表示为$6.56×10^{-7}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，属于基础题型，核心是掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示规则，难度不大，只要细心数清零的个数即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示规则：将原数表示为$a×10^{-n}$的形式，其中$1≤|a|＜10$，$n$是原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包含小数点前的零）。首先确定原数$0.000000656$的第一个非零数字是6，其前面共有7个零，据此可确定$a$和$n$的值，进而选出正确选项。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数时，形式为$a×10^{-n}$（$1≤a＜10$，$n$为正整数）。对于$0.000000656$，第一步确定$a$：将小数点移到第一个非零数字6的后面，得到$a=6.56$；第二步确定$n$：数出原数中第一个非零数字前的零的个数，共7个，故$n=7$。因此，$0.000000656$用科学记数法表示为$6.56×10^{-7}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，属于基础题型，核心是掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示规则，难度不大，只要细心数清零的个数即可正确解答。
【难度系数】
0.8
8. 关于 $ x $ 的方程 $\frac{3x - 1}{x + 1} - \frac{m}{x + 1} = 1$ 去分母解方程时产生增根，则 $ m $ 的值是（
A.$-4$
B.$4$
C.$-1$
D.$2$
A
）A.$-4$
B.$4$
C.$-1$
D.$2$
答案
8.A 解析:因为原分式方程有增根,所以$x+1=0$,解得$x=-1$。原分式方程去分母,得$3x-1-m=x+1$,将$x=-1$代入,得$-4-m=0$,解得$m=-4$。 知识考查:本题主要考查了分式方程的增根问题,需要理解并熟记分式方程的增根就是使分式方程的分母为0的根。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化成的整式方程的根，但该根会使原分式方程的分母为0。解题思路为：①根据增根的性质确定增根的值；②将原分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出m的值。
【解析】
1. 确定增根：分式方程的分母为$x+1$，增根使分母为0，故$x+1=0$，解得增根$x=-1$。
2. 去分母转化为整式方程：原方程两边同乘最简公分母$x+1$，得$3x - 1 - m = x + 1$。
3. 代入增根求m：将$x=-1$代入整式方程，得$3×(-1) -1 - m = -1 +1$，化简得$-4 - m =0$，解得$m=-4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质，步骤清晰，属于基础题型，需掌握去分母转化整式方程的方法。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化成的整式方程的根，但该根会使原分式方程的分母为0。解题思路为：①根据增根的性质确定增根的值；②将原分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出m的值。
【解析】
1. 确定增根：分式方程的分母为$x+1$，增根使分母为0，故$x+1=0$，解得增根$x=-1$。
2. 去分母转化为整式方程：原方程两边同乘最简公分母$x+1$，得$3x - 1 - m = x + 1$。
3. 代入增根求m：将$x=-1$代入整式方程，得$3×(-1) -1 - m = -1 +1$，化简得$-4 - m =0$，解得$m=-4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质，步骤清晰，属于基础题型，需掌握去分母转化整式方程的方法。
【难度系数】
0.5
9. 关于$ x $的代数式$ 3x^2 + mx - 8 $分解因式得$(x - 2)(nx + 4)$，则$ n^m $的值为 （
A.3
B.9
C.$\dfrac{1}{9}$
D.$-2$
C
）A.3
B.9
C.$\dfrac{1}{9}$
D.$-2$
答案
9.C 解析:由题意,得$3x^2+mx-8=(x-2)(nx+4)=nx^2+4x-2nx-8=nx^2+(4-2n)x-8$,所以$n=3,m=4-2n$,所以$m=-2$,所以$n^m=3^{-2}=\dfrac{1}{9}$。
解析
【分析】根据因式分解的性质，分解前后的多项式相等，因此将右边的乘积展开后，与左边代数式的同类项系数对应相等，据此可求出n和m的值，再代入计算$n^m$即可。
【解析】先展开右边的多项式乘积：
$(x - 2)(nx + 4) = nx^2 + 4x - 2nx - 8 = nx^2 + (4 - 2n)x - 8$
因为$3x^2 + mx - 8 = nx^2 + (4 - 2n)x - 8$，所以对应同类项系数相等：
1. $x^2$项系数：$n = 3$
2. $x$项系数：$m = 4 - 2n$，将$n=3$代入得$m = 4 - 2×3 = -2$
因此$n^m = 3^{-2} = \frac{1}{9}$
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式、同类项系数对应、负整数指数幂
【点评】本题考查多项式乘多项式的运算及同类项系数相等的应用，需掌握展开多项式并对应系数求解的方法，再结合负整数指数幂的计算得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】先展开右边的多项式乘积：
$(x - 2)(nx + 4) = nx^2 + 4x - 2nx - 8 = nx^2 + (4 - 2n)x - 8$
因为$3x^2 + mx - 8 = nx^2 + (4 - 2n)x - 8$，所以对应同类项系数相等：
1. $x^2$项系数：$n = 3$
2. $x$项系数：$m = 4 - 2n$，将$n=3$代入得$m = 4 - 2×3 = -2$
因此$n^m = 3^{-2} = \frac{1}{9}$
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式、同类项系数对应、负整数指数幂
【点评】本题考查多项式乘多项式的运算及同类项系数相等的应用，需掌握展开多项式并对应系数求解的方法，再结合负整数指数幂的计算得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.6
10.欧拉曾经提出过一道问题:两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖,两人鸡蛋个数不同,卖得的钱却相同,于是甲农妇对乙农妇说:"如果我有你的鸡蛋个数,我的单价不变,可以卖得15个铜板。"乙农妇回答道:"如果我有你的鸡蛋个数,我的单价不变,我就只能卖得$\frac{20}{3}$个铜板。"问两人各有多少个鸡蛋?设甲农妇有$x$个鸡蛋,则根据题意可以列出方程 （
A.$\frac{15x}{100-x}=\frac{20(100-x)}{3x}$
B.$\frac{15}{100-x}=\frac{20}{3x}$
C.$\frac{20x}{3(100-x)}=\frac{15(100-x)}{x}$
D.$\frac{15x}{100-x}=\frac{3x}{20(100-x)}$
A
）A.$\frac{15x}{100-x}=\frac{20(100-x)}{3x}$
B.$\frac{15}{100-x}=\frac{20}{3x}$
C.$\frac{20x}{3(100-x)}=\frac{15(100-x)}{x}$
D.$\frac{15x}{100-x}=\frac{3x}{20(100-x)}$
答案
10.A 解析:因为甲农妇有$x$个鸡蛋,所以乙农妇有$(100-x)$个鸡蛋,根据题意,得$\dfrac{15}{100-x}· x=\dfrac{20}{3x}·(100-x)$,整理,得$\dfrac{15x}{100-x}=\dfrac{20(100-x)}{3x}$。
解析
【分析】
设甲农妇有$x$个鸡蛋，根据总鸡蛋数为100个，可得乙农妇有$(100 - x)$个鸡蛋。解题核心是利用“单价=总价÷数量”，结合甲、乙的表述分别求出两人的鸡蛋单价，再根据“两人原来卖得的钱相同”这一等量关系，列出对应的方程。
【解析】
设甲农妇有$x$个鸡蛋，则乙农妇有$(100 - x)$个鸡蛋。
1. 求甲的鸡蛋单价：甲说“如果我有你的鸡蛋个数（$100 - x$个），可卖15个铜板”，根据“单价=总价÷数量”，得甲的单价为$\frac{15}{100 - x}$；
2. 求乙的鸡蛋单价：乙说“如果我有你的鸡蛋个数（$x$个），可卖$\frac{20}{3}$个铜板”，同理得乙的单价为$\frac{\frac{20}{3}}{x} = \frac{20}{3x}$；
3. 列方程：因为两人原来卖得的钱相同，所以甲原来的收入（甲单价×甲数量）等于乙原来的收入（乙单价×乙数量），即：
$\frac{15}{100 - x} · x = \frac{20}{3x} · (100 - x)$
整理后得到$\frac{15x}{100 - x} = \frac{20(100 - x)}{3x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用，单价总价数量关系
【点评】
本题是经典的欧拉卖鸡蛋问题，属于分式方程的实际应用题型，解题关键是理清单价、总价、数量的关系，准确找到“两人原收入相等”的等量关系，考查学生对实际问题中数量关系的分析与构建能力。
【难度系数】
0.5
设甲农妇有$x$个鸡蛋，根据总鸡蛋数为100个，可得乙农妇有$(100 - x)$个鸡蛋。解题核心是利用“单价=总价÷数量”，结合甲、乙的表述分别求出两人的鸡蛋单价，再根据“两人原来卖得的钱相同”这一等量关系，列出对应的方程。
【解析】
设甲农妇有$x$个鸡蛋，则乙农妇有$(100 - x)$个鸡蛋。
1. 求甲的鸡蛋单价：甲说“如果我有你的鸡蛋个数（$100 - x$个），可卖15个铜板”，根据“单价=总价÷数量”，得甲的单价为$\frac{15}{100 - x}$；
2. 求乙的鸡蛋单价：乙说“如果我有你的鸡蛋个数（$x$个），可卖$\frac{20}{3}$个铜板”，同理得乙的单价为$\frac{\frac{20}{3}}{x} = \frac{20}{3x}$；
3. 列方程：因为两人原来卖得的钱相同，所以甲原来的收入（甲单价×甲数量）等于乙原来的收入（乙单价×乙数量），即：
$\frac{15}{100 - x} · x = \frac{20}{3x} · (100 - x)$
整理后得到$\frac{15x}{100 - x} = \frac{20(100 - x)}{3x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用，单价总价数量关系
【点评】
本题是经典的欧拉卖鸡蛋问题，属于分式方程的实际应用题型，解题关键是理清单价、总价、数量的关系，准确找到“两人原收入相等”的等量关系，考查学生对实际问题中数量关系的分析与构建能力。
【难度系数】
0.5
11.分解因式：$6xy^2 - 3x^2y=$
$3xy(2y-x)$
。答案
11.$3xy(2y-x)$
解析
【分析】分解因式时，需先确定多项式各项的公因式。该多项式为$6xy^2 - 3x^2y$，先找系数的最大公约数（6和3的最大公约数是3），再找相同字母的最低次幂（x的最低次幂为1，y的最低次幂为1），因此公因式为$3xy$，提取公因式后即可完成分解。
【解析】解：$6xy^2 - 3x^2y = 3xy · 2y - 3xy · x = 3xy(2y - x)$
【答案】$3xy(2y - x)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是因式分解的基础题型，考查提公因式法的应用，核心是准确识别并提取公因式，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.9
【解析】解：$6xy^2 - 3x^2y = 3xy · 2y - 3xy · x = 3xy(2y - x)$
【答案】$3xy(2y - x)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是因式分解的基础题型，考查提公因式法的应用，核心是准确识别并提取公因式，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.9
12.某班向突发自然灾害的地区捐款，经过统计发现有10元、20元、50元三种结果，把结果制成如图所示的扇形统计图，“50元”所在扇形的圆心角的度数是
$108$
°。答案
12.108
解析
【分析】要计算“50元”所在扇形的圆心角度数，需先利用扇形统计图各部分百分比之和为1，求出50元捐款对应的百分比，再根据“扇形圆心角度数=360°×该部分所占百分比”的公式计算结果。
【解析】1. 求50元捐款的占比：扇形统计图中各部分百分比之和为1，因此50元的占比为 $1 - 20\% - 50\% = 30\%$；
2. 计算圆心角度数：根据圆心角与百分比的关系，圆心角度数为 $360° × 30\% = 108°$。
【答案】108
【知识点】扇形统计图、圆心角计算
【点评】本题考查扇形统计图的基础应用，核心是掌握百分比与圆心角的转换关系，属于常规基础题。
【难度系数】0.7
【解析】1. 求50元捐款的占比：扇形统计图中各部分百分比之和为1，因此50元的占比为 $1 - 20\% - 50\% = 30\%$；
2. 计算圆心角度数：根据圆心角与百分比的关系，圆心角度数为 $360° × 30\% = 108°$。
【答案】108
【知识点】扇形统计图、圆心角计算
【点评】本题考查扇形统计图的基础应用，核心是掌握百分比与圆心角的转换关系，属于常规基础题。
【难度系数】0.7
13. 一副三角板如图所示摆放，$a// b$，$∠ 3=65°$，$∠ 2=30°$，则$∠ 1$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
13.$20°$ 解析:由题意,得$∠BCA=90°$,$∠CAD=45°$,又因为$∠3=65°$,所以$∠CAF=∠CAD+∠3=110°$。因为$a// b$,所以$∠ACE=∠CAF=110°$,所以$∠1=∠ACE-∠BCA=20°$。 灵活思维:本题中隐含了一个平行线中的经典模型——M型,由此模型的结论可得$∠B=∠1+∠GAB$,据此也可求得$∠1$的度数。
解析
【分析】
要计算∠1的度数，需结合三角板的固定角度和平行线的性质分析：首先明确三角板的角度特征，再利用平行线的内错角相等找到关联角，最后通过角度的和差关系求出∠1。
【解析】
根据三角板的特征，可知∠BCA=90°，∠CAD=45°。
已知∠3=65°，则∠CAF=∠CAD + ∠3 = 45° + 65° = 110°。
因为a//b，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ACE = ∠CAF = 110°。
又因为∠ACE = ∠1 + ∠BCA，且∠BCA=90°，所以∠1 = ∠ACE - ∠BCA = 110° - 90° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平行线的性质，三角板角度，角度和差计算
【点评】
本题结合三角板的固定角度和平行线的性质考查角度计算，核心是利用平行线的内错角相等建立角的联系，再通过角度和差求解，属于基础几何题，需熟练掌握平行线的性质。
【难度系数】
0.6
要计算∠1的度数，需结合三角板的固定角度和平行线的性质分析：首先明确三角板的角度特征，再利用平行线的内错角相等找到关联角，最后通过角度的和差关系求出∠1。
【解析】
根据三角板的特征，可知∠BCA=90°，∠CAD=45°。
已知∠3=65°，则∠CAF=∠CAD + ∠3 = 45° + 65° = 110°。
因为a//b，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ACE = ∠CAF = 110°。
又因为∠ACE = ∠1 + ∠BCA，且∠BCA=90°，所以∠1 = ∠ACE - ∠BCA = 110° - 90° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平行线的性质，三角板角度，角度和差计算
【点评】
本题结合三角板的固定角度和平行线的性质考查角度计算，核心是利用平行线的内错角相等建立角的联系，再通过角度和差求解，属于基础几何题，需熟练掌握平行线的性质。
【难度系数】
0.6
14.若$|3x - y - 1| + (x + y - 3)^2 = 0$,则$x - y$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
14.$-1$ 解析:因为$|3x-y-1|+(x+y-3)^2=0$,所以$\begin{cases}3x-y-1=0,\\x+y-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}$所以$x-y=-1$。
解析
【分析】
要解决这道题，需利用非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得到x、y的值，再代入计算x - y即可。
【解析】
因为绝对值具有非负性，平方数也具有非负性，所以$|3x - y - 1| ≥ 0$，$(x + y - 3)^2 ≥ 0$。
已知$|3x - y - 1| + (x + y - 3)^2 = 0$，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}3x - y - 1 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases}$
将两个方程相加消去y：$4x - 4 = 0$，解得$x = 1$。
把$x = 1$代入$x + y - 3 = 0$，得$1 + y - 3 = 0$，解得$y = 2$。
因此$x - y = 1 - 2 = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质、二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查非负数的性质与二元一次方程组的应用，属于基础题型，解题核心是利用非负数和为0的特点建立方程组，进而求解计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需利用非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得到x、y的值，再代入计算x - y即可。
【解析】
因为绝对值具有非负性，平方数也具有非负性，所以$|3x - y - 1| ≥ 0$，$(x + y - 3)^2 ≥ 0$。
已知$|3x - y - 1| + (x + y - 3)^2 = 0$，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}3x - y - 1 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases}$
将两个方程相加消去y：$4x - 4 = 0$，解得$x = 1$。
把$x = 1$代入$x + y - 3 = 0$，得$1 + y - 3 = 0$，解得$y = 2$。
因此$x - y = 1 - 2 = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质、二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查非负数的性质与二元一次方程组的应用，属于基础题型，解题核心是利用非负数和为0的特点建立方程组，进而求解计算。
【难度系数】
0.7
15.把四张完全相同的阴影长方形纸片和两本完全相同的长方形课本按如图方式摆放。根据图中标注尺寸,可得阴影长方形纸片的长与宽之差为
$\dfrac{a-b}{2}$
。(结果用含a,b的代数式表示)答案
15.$\dfrac{a-b}{2}$ 解析:设阴影长方形纸片的长为$x$,宽为$y$。根据题意,得$a+y-x=b+x-y$,所以$2x-2y=a-b$,所以$x-y=\dfrac{a-b}{2}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数表示阴影长方形的长和宽，结合两本课本高度相同的隐含条件，利用图中标注的尺寸建立等式，消去课本高度这个中间量，进而求出阴影长方形长与宽的差。具体思路：设阴影长方形的长为$x$、宽为$y$，课本高度为$h$，分别用$x、y、h$表示$a$和$b$，再通过等式变形消去$h$，即可得到长与宽的差。
【解析】
设阴影长方形纸片的长为$x$，宽为$y$，两本课本的高度均为$h$。
根据左图总高度可得：$a = h + x - y$；
根据右图总高度可得：$b = h + y - x$；
将两式相减消去$h$：
$a - b = (h + x - y) - (h + y - x)$
化简右边：$a - b = 2x - 2y$
两边同时除以2，得：$x - y = \dfrac{a - b}{2}$
【答案】
$\dfrac{a - b}{2}$
【知识点】
代数式应用、整式加减
【点评】
本题结合几何摆放图形考查代数关系，关键是利用课本高度相同的隐含条件，消去中间变量后求解，体现了代数方法在几何问题中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们可以通过设未知数表示阴影长方形的长和宽，结合两本课本高度相同的隐含条件，利用图中标注的尺寸建立等式，消去课本高度这个中间量，进而求出阴影长方形长与宽的差。具体思路：设阴影长方形的长为$x$、宽为$y$，课本高度为$h$，分别用$x、y、h$表示$a$和$b$，再通过等式变形消去$h$，即可得到长与宽的差。
【解析】
设阴影长方形纸片的长为$x$，宽为$y$，两本课本的高度均为$h$。
根据左图总高度可得：$a = h + x - y$；
根据右图总高度可得：$b = h + y - x$；
将两式相减消去$h$：
$a - b = (h + x - y) - (h + y - x)$
化简右边：$a - b = 2x - 2y$
两边同时除以2，得：$x - y = \dfrac{a - b}{2}$
【答案】
$\dfrac{a - b}{2}$
【知识点】
代数式应用、整式加减
【点评】
本题结合几何摆放图形考查代数关系，关键是利用课本高度相同的隐含条件，消去中间变量后求解，体现了代数方法在几何问题中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
16. 已知实数 $ x,y,a $ 满足 $ x+a^2=2025 $，$ y+a^2=2026 $，且 $ xy=4 $，则代数式 $ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} $ 的值是 ______。
答案
16.2 解析:原式$=\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}-\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}-\dfrac{y-x}{xy}$。因为$x+a^2=2025$,$y+a^2=2026$,所以$y-x=2026-a^2-(2025-a^2)=1$,又因为$xy=4$,所以$x^2+y^2=(y-x)^2+2xy=1+8=9$。所以原式$=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}=2$。
解析
【分析】
首先观察所求代数式，先对其通分化简为同分母形式，便于代入已知条件；再利用已知两式相减消去$a^2$，求出$y-x$的值；接着根据完全平方公式将$x^2+y^2$变形为$(y-x)^2+2xy$，结合已知$xy$的值求出$x^2+y^2$；最后将相关值代入化简后的代数式计算结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}-\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}\\&=\frac{x^2+y^2}{xy}-\frac{y-x}{xy}\end{aligned}$
由$x+a^2=2025$，$y+a^2=2026$，两式相减得：
$y-x=(2026-a^2)-(2025-a^2)=1$
已知$xy=4$，根据完全平方公式：
$x^2+y^2=(y-x)^2+2xy=1^2+2×4=9$
将$x^2+y^2=9$、$y-x=1$、$xy=4$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式的化简求值、完全平方公式
【点评】
本题考查分式化简求值与完全平方公式的应用，核心是先化简代数式，再利用整体思想代入已知条件，避免求解$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【难度系数】
0.6
首先观察所求代数式，先对其通分化简为同分母形式，便于代入已知条件；再利用已知两式相减消去$a^2$，求出$y-x$的值；接着根据完全平方公式将$x^2+y^2$变形为$(y-x)^2+2xy$，结合已知$xy$的值求出$x^2+y^2$；最后将相关值代入化简后的代数式计算结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}-\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}\\&=\frac{x^2+y^2}{xy}-\frac{y-x}{xy}\end{aligned}$
由$x+a^2=2025$，$y+a^2=2026$，两式相减得：
$y-x=(2026-a^2)-(2025-a^2)=1$
已知$xy=4$，根据完全平方公式：
$x^2+y^2=(y-x)^2+2xy=1^2+2×4=9$
将$x^2+y^2=9$、$y-x=1$、$xy=4$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式的化简求值、完全平方公式
【点评】
本题考查分式化简求值与完全平方公式的应用，核心是先化简代数式，再利用整体思想代入已知条件，避免求解$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【难度系数】
0.6
