20.(8分)为了解某区七年级男生的身体素质情况,随机抽取了200名男生进行100 m短跑测试,将测试成绩(精确到0.1秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值,含后一个边界值)。
200名男生100 m短跑成绩的频数表
 

根据表中提供的信息解答下列问题:
(1)频数表中,$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_$;
(2)把频数分布直方图补充完整;
(3)若该区七年级共有4 000名男生,请估计100 m短跑成绩小于或等于13.5秒的人数。

20. (1)50 20 0.1 解析:易得$a=200×0.25=50$,所以$b=200-(20+50+70+40)=20$,所以$c=20÷200=0.1$。 (2)解:补全频数直方图如图。 (3)解:$4000×(0.1+0.25)=1400$(名)。答:估计100 m短跑成绩小于或等于13.5秒的人数为1 400名。

【分析】
要解决本题，首先明确抽取的总人数为200名，利用“频数=总人数×频率”“频率=频数÷总人数”的关系计算未知的频数和频率；补全直方图需根据计算出的14.5~15.5秒组的频数绘制对应矩形；估计总体人数时，先算出成绩≤13.5秒的两组频率和，再乘以该区七年级男生总人数即可。
【解析】
(1) 已知抽取的总人数为200名，根据题意计算：
12.5~13.5秒组的频数 $ a = 200 × 0.25 = 50 $；
14.5~15.5秒组的频数 $ b = 200 - (20 + 50 + 70 + 40) = 20 $；
该组的频率 $ c = \frac{20}{200} = 0.1 $。
(2) 补全频数分布直方图：在横轴14.5~15.5秒对应的区间，绘制高度为20的矩形，如图：
(3) 成绩小于或等于13.5秒的是11.5~12.5秒和12.5~13.5秒两组，频率和为 $ 0.1 + 0.25 = 0.35 $，
估计该区七年级男生中对应成绩的人数为 $ 4000 × 0.35 = 1400 $（名）。
【答案】
(1)50，20，0.1；(2)补全后的频数直方图：；(3)1400名
【知识点】
频数分布直方图、频率与频数、用样本估计总体
【点评】
本题是统计基础题型，考查频数与频率的计算、补全直方图及用样本估计总体，需掌握各统计量的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5

21.(8分)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是边CD,AB上的点,连结EF,过点E作NE⊥DA,垂足为N。已知∠A=∠C,∠1=∠2。
(1)说明AD//BC的理由；
(2)说明NE⊥BC的理由。

21.解:(1)因为$∠1=∠2$,所以$AB// CD$,所以$∠A+∠D=180°$,又因为$∠A=∠C$,所以$∠C+∠D=180°$,所以$AD// BC$。 (2)如图,延长NE交BC的延长线于点G。因为$AD// BC$,$NE⊥ AD$,所以$NE⊥ BC$。

【分析】
本题需运用平行线的判定定理与性质定理解决问题。第(1)问先通过∠1=∠2推出AB//CD，再结合∠A=∠C，利用同旁内角互补证明AD//BC；第(2)问借助第(1)问的结论AD//BC，结合NE⊥AD，根据平行线的垂直性质推导NE⊥BC。
【解析】
(1) 因为∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD。
由AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠A + ∠D = 180°。
又已知∠A=∠C，将∠A替换为∠C，可得∠C + ∠D = 180°。
再根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明AD//BC。
(2) 由(1)已证AD//BC，已知NE⊥DA，根据“如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线”，可得NE⊥BC。
【答案】
(1) AD//BC，理由见解析；(2) NE⊥BC，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合应用，解题关键是熟练运用相关定理，逻辑清晰，步骤连贯，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.6