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三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(8分)化简:
(1)$(x-2)^2 + x(4-x)$;
(2)$(3+a)(2-a)-(2-a)(2+a)$。
17.(8分)化简:
(1)$(x-2)^2 + x(4-x)$;
(2)$(3+a)(2-a)-(2-a)(2+a)$。
答案
17.解:(1)原式$=x^2-4x+4+4x-x^2=4$。 (2)原式$=6-3a+2a-a^2-4+a^2=2-a$。
解析
【分析】
化简整式时，需先根据整式的运算法则和乘法公式展开式子，再合并同类项得到最简结果。第(1)小题先利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，再计算单项式乘多项式$x(4-x)$，最后合并同类项；第(2)小题先分别展开两个多项式相乘的部分，注意第二个乘积可利用平方差公式简化，再合并同类项，同时要注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 原式$=x^2 -4x +4 +4x -x^2$
$=(x^2 -x^2)+(-4x +4x)+4$
$=0 +0 +4$
$=4$
(2) 原式$=(6 -3a +2a -a^2)-(4 -a^2)$
$=6 -a -a^2 -4 +a^2$
$=(6 -4)+(-a^2 +a^2)-a$
$=2 +0 -a$
$=2 -a$
【答案】
(1)4；(2)2 - a
【知识点】
整式的化简、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是整式化简的基础题，主要考查整式的运算法则及乘法公式的应用，解题时需准确运用公式，注意去括号和合并同类项的细节，属于学生应熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
化简整式时，需先根据整式的运算法则和乘法公式展开式子，再合并同类项得到最简结果。第(1)小题先利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，再计算单项式乘多项式$x(4-x)$，最后合并同类项；第(2)小题先分别展开两个多项式相乘的部分，注意第二个乘积可利用平方差公式简化，再合并同类项，同时要注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 原式$=x^2 -4x +4 +4x -x^2$
$=(x^2 -x^2)+(-4x +4x)+4$
$=0 +0 +4$
$=4$
(2) 原式$=(6 -3a +2a -a^2)-(4 -a^2)$
$=6 -a -a^2 -4 +a^2$
$=(6 -4)+(-a^2 +a^2)-a$
$=2 +0 -a$
$=2 -a$
【答案】
(1)4；(2)2 - a
【知识点】
整式的化简、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是整式化简的基础题，主要考查整式的运算法则及乘法公式的应用，解题时需准确运用公式，注意去括号和合并同类项的细节，属于学生应熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
18.(8分)计算：
(1)$\frac{2a}{4 - a^2} - \frac{1}{2 - a}$；
(2)$(\frac{3x}{x - 1} - \frac{x}{1 + x}) · \frac{x^2 - 1}{x}$。
(1)$\frac{2a}{4 - a^2} - \frac{1}{2 - a}$；
(2)$(\frac{3x}{x - 1} - \frac{x}{1 + x}) · \frac{x^2 - 1}{x}$。
答案
18.解:(1)原式$=\frac{2a}{(2+a)(2-a)}-\frac{1}{2-a}=\frac{2a-(2+a)}{(2+a)(2-a)}=\frac{a-2}{(2+a)(2-a)}=-\frac{1}{2+a}$。 (2)原式$=\frac{3x(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}=\frac{x(3x+3-x+1)}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}=2x+4$。
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，解题思路如下：
(1) 对于分式减法，先利用平方差公式分解分母$4 - a^2=(2+a)(2-a)$，确定最简公分母为$(2+a)(2-a)$，将第二个分式通分后，分子相减，再对分子化简并约分得到结果；
(2) 对于含括号的分式混合运算，先计算括号内的分式减法，通分后分子相减，再利用平方差公式分解$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，与后续分式相乘时约分，最终化简得到结果。
【解析】
(1) 原式$=\frac{2a}{(2+a)(2-a)}-\frac{1}{2-a}$
$=\frac{2a-(2+a)}{(2+a)(2-a)}$
$=\frac{a-2}{(2+a)(2-a)}$
$=-\frac{1}{2+a}$；
(2) 原式$=\frac{3x(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{3x^2+3x -x^2+x}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{2x^2+4x}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{x(2x+4)}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=2x+4$。
【答案】
(1) $-\frac{1}{2+a}$；(2) $2x+4$
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、平方差公式分解因式
【点评】
本题是分式混合运算的基础题，核心是通分、约分及因式分解的应用，计算时需注意符号处理和运算顺序，步骤清晰即可避免错误，适合巩固分式运算的基本技能。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的混合运算，解题思路如下：
(1) 对于分式减法，先利用平方差公式分解分母$4 - a^2=(2+a)(2-a)$，确定最简公分母为$(2+a)(2-a)$，将第二个分式通分后，分子相减，再对分子化简并约分得到结果；
(2) 对于含括号的分式混合运算，先计算括号内的分式减法，通分后分子相减，再利用平方差公式分解$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，与后续分式相乘时约分，最终化简得到结果。
【解析】
(1) 原式$=\frac{2a}{(2+a)(2-a)}-\frac{1}{2-a}$
$=\frac{2a-(2+a)}{(2+a)(2-a)}$
$=\frac{a-2}{(2+a)(2-a)}$
$=-\frac{1}{2+a}$；
(2) 原式$=\frac{3x(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{3x^2+3x -x^2+x}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{2x^2+4x}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{x(2x+4)}{(x+1)(x-1)}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=2x+4$。
【答案】
(1) $-\frac{1}{2+a}$；(2) $2x+4$
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、平方差公式分解因式
【点评】
本题是分式混合运算的基础题，核心是通分、约分及因式分解的应用，计算时需注意符号处理和运算顺序，步骤清晰即可避免错误，适合巩固分式运算的基本技能。
【难度系数】
0.7
19.(8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases}x - 2y = 3, \\2x + 3y = -1;\end{cases}$
(2)$\dfrac{1 - x}{x - 2} + 2 = \dfrac{1}{2x - 4}$。
(1)$\begin{cases}x - 2y = 3, \\2x + 3y = -1;\end{cases}$
(2)$\dfrac{1 - x}{x - 2} + 2 = \dfrac{1}{2x - 4}$。
答案
19.解:(1)$\begin{cases}x-2y=3,①\\2x+3y=-1,②\end{cases}$ ②$-$①$×2$,得$7y=-7$,解得$y=-1$。将$y=-1$代入①,得$x+2=3$,解得$x=1$。所以原方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=-1。\end{cases}$ (2)原方程去分母,得$2(1-x)+2(2x-4)=1$,去括号,得$2-2x+4x-8=1$,移项,合并同类项,得$2x=7$,解得$x=\frac{7}{2}$。经检验,$x=\frac{7}{2}$是原分式方程的根。
解析
【分析】
解二元一次方程组时，观察方程组中未知数的系数，采用加减消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，再代入求剩余未知数；解分式方程时，先将分母因式分解，找到最简公分母去分母转化为整式方程，求解后必须检验是否为增根，确保解的有效性。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}x - 2y = 3,①\\2x + 3y = -1,②\end{cases}$，采用加减消元法：
② - ①×2，得$2x + 3y - 2(x - 2y) = -1 - 2×3$，化简得$7y = -7$，解得$y = -1$；
将$y = -1$代入①，得$x - 2×(-1) = 3$，解得$x = 1$；
因此原方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{1 - x}{x - 2} + 2 = \dfrac{1}{2x - 4}$，先将分母因式分解：$2x - 4 = 2(x - 2)$，最简公分母为$2(x - 2)$；
方程两边同乘$2(x - 2)$去分母，得$2(1 - x) + 2×2(x - 2) = 1$，即$2(1 - x) + 2(2x - 4) = 1$；
去括号得$2 - 2x + 4x - 8 = 1$，移项合并同类项得$2x = 7$，解得$x = \dfrac{7}{2}$；
经检验，当$x = \dfrac{7}{2}$时，$2x - 4 = 3 ≠ 0$，故$x = \dfrac{7}{2}$是原分式方程的根。
【答案】
(1)$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$；(2)$x = \dfrac{7}{2}$
【知识点】
二元一次方程组解法、分式方程解法、分式方程检验
【点评】
本题考查二元一次方程组与分式方程的解法，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，需注意消元时的系数运算；分式方程的易错点是忘记检验增根，需牢记解分式方程后必须验证解的有效性。
【难度系数】
0.6
解二元一次方程组时，观察方程组中未知数的系数，采用加减消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，再代入求剩余未知数；解分式方程时，先将分母因式分解，找到最简公分母去分母转化为整式方程，求解后必须检验是否为增根，确保解的有效性。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}x - 2y = 3,①\\2x + 3y = -1,②\end{cases}$，采用加减消元法：
② - ①×2，得$2x + 3y - 2(x - 2y) = -1 - 2×3$，化简得$7y = -7$，解得$y = -1$；
将$y = -1$代入①，得$x - 2×(-1) = 3$，解得$x = 1$；
因此原方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{1 - x}{x - 2} + 2 = \dfrac{1}{2x - 4}$，先将分母因式分解：$2x - 4 = 2(x - 2)$，最简公分母为$2(x - 2)$；
方程两边同乘$2(x - 2)$去分母，得$2(1 - x) + 2×2(x - 2) = 1$，即$2(1 - x) + 2(2x - 4) = 1$；
去括号得$2 - 2x + 4x - 8 = 1$，移项合并同类项得$2x = 7$，解得$x = \dfrac{7}{2}$；
经检验，当$x = \dfrac{7}{2}$时，$2x - 4 = 3 ≠ 0$，故$x = \dfrac{7}{2}$是原分式方程的根。
【答案】
(1)$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$；(2)$x = \dfrac{7}{2}$
【知识点】
二元一次方程组解法、分式方程解法、分式方程检验
【点评】
本题考查二元一次方程组与分式方程的解法，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，需注意消元时的系数运算；分式方程的易错点是忘记检验增根，需牢记解分式方程后必须验证解的有效性。
【难度系数】
0.6
