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9.已知关于$x$的二次三项式$x^2+x+a$能分解因式成两个一次多项式的积,其中一个一次多项式是$x-2$,则另一个一次多项式是 （
A.$x-1$
B.$x+1$
C.$x-3$
D.$x+3$
D
）A.$x-1$
B.$x+1$
C.$x-3$
D.$x+3$
答案
9.D 解析:设另一个一次多项式是$Ax+B$,则$(x-2)(Ax+B)=Ax^2+Bx-2Ax-2B=Ax^2+(B-2A)x-2B=x^2+x+a$,所以$A=1,B-2A=1$,所以$B=3$,所以另一个一次多项式是$x+3$。
解析
【分析】
本题要求二次三项式分解因式后另一个一次多项式，可采用待定系数法：设出另一个一次多项式，利用多项式乘法法则展开，根据左右两边多项式对应项系数相等建立方程，求解未知系数即可得到结果。
【解析】
设另一个一次多项式为$mx + n$，根据题意可得：
$(x - 2)(mx + n) = x^2 + x + a$
将左边展开并整理：
$mx^2 + nx - 2mx - 2n = mx^2 + (n - 2m)x - 2n$
因为左右两边为相等的多项式，对应项系数相等，因此：
1. 二次项系数：$m = 1$
2. 一次项系数：$n - 2m = 1$
将$m = 1$代入一次项系数的等式，得：$n - 2×1 = 1$，解得$n = 3$
所以另一个一次多项式为$1·x + 3 = x + 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式因式分解、待定系数法、多项式乘法
【点评】
本题考查多项式因式分解的逆应用，核心是利用多项式乘法法则和对应项系数相等的性质求解，属于基础题型，需熟练掌握待定系数法的应用。
【难度系数】
0.6
本题要求二次三项式分解因式后另一个一次多项式，可采用待定系数法：设出另一个一次多项式，利用多项式乘法法则展开，根据左右两边多项式对应项系数相等建立方程，求解未知系数即可得到结果。
【解析】
设另一个一次多项式为$mx + n$，根据题意可得：
$(x - 2)(mx + n) = x^2 + x + a$
将左边展开并整理：
$mx^2 + nx - 2mx - 2n = mx^2 + (n - 2m)x - 2n$
因为左右两边为相等的多项式，对应项系数相等，因此：
1. 二次项系数：$m = 1$
2. 一次项系数：$n - 2m = 1$
将$m = 1$代入一次项系数的等式，得：$n - 2×1 = 1$，解得$n = 3$
所以另一个一次多项式为$1·x + 3 = x + 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式因式分解、待定系数法、多项式乘法
【点评】
本题考查多项式因式分解的逆应用，核心是利用多项式乘法法则和对应项系数相等的性质求解，属于基础题型，需熟练掌握待定系数法的应用。
【难度系数】
0.6
10. 我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题:今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日。疾马日速倍迟。译为白话文是:把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天。已知快马的速度是慢马的2倍。设未知数$ x,y $，依题意列出一个方程$ y(x+1)=2y(x-3) $，则用一个未知数列出方程正确的是 $\boldsymbol{(\quad)}$
A.$\dfrac{900}{x+1}=\dfrac{1800}{x-3}$
B.$\dfrac{1800}{x-1}=\dfrac{900}{x+3}$
C.$\dfrac{900}{y}+1=\dfrac{900}{2y}-3$
D.$\dfrac{900}{2y}+3=\dfrac{900}{y}-1$
A.$\dfrac{900}{x+1}=\dfrac{1800}{x-3}$
B.$\dfrac{1800}{x-1}=\dfrac{900}{x+3}$
C.$\dfrac{900}{y}+1=\dfrac{900}{2y}-3$
D.$\dfrac{900}{2y}+3=\dfrac{900}{y}-1$
答案
10.D 解题密码:本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,解题的关键是理解题意,分析出题干所给方程中x表示规定时间,y表示慢马的速度。
解析
【分析】
首先明确题干所给方程中未知数的含义：从方程$ y(x+1)=2y(x-3) $可知，$ x $表示送文件的规定时间，$ y $表示慢马的速度，因此快马速度为$ 2y $。接下来根据“路程=速度×时间”，分别表示慢马、快马走900里的时间，结合它们与规定时间$ x $的关系，即可推导单未知数方程。
【解析】
1. 确定未知数意义：由题干方程$ y(x+1)=2y(x-3) $，得$ x $为规定时间，$ y $为慢马速度，快马速度为$ 2y $；
2. 慢马走900里的时间为$ \frac{900}{y} $，该时间比规定时间$ x $多1天，故：$ \frac{900}{y} = x +1 $，变形得$ x = \frac{900}{y} -1 $；
3. 快马走900里的时间为$ \frac{900}{2y} $，该时间比规定时间$ x $少3天，故：$ \frac{900}{2y} = x -3 $，变形得$ x = \frac{900}{2y} +3 $；
4. 联立两个$ x $的表达式，得：$ \frac{900}{2y} +3 = \frac{900}{y} -1 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；行程问题
【点评】
本题结合古代数学问题考查分式方程的应用，核心是理解题干所给方程中未知数的实际意义，再利用路程、速度、时间的关系转化方程，难度中等，需准确梳理各量之间的关系。
【难度系数】
0.5
首先明确题干所给方程中未知数的含义：从方程$ y(x+1)=2y(x-3) $可知，$ x $表示送文件的规定时间，$ y $表示慢马的速度，因此快马速度为$ 2y $。接下来根据“路程=速度×时间”，分别表示慢马、快马走900里的时间，结合它们与规定时间$ x $的关系，即可推导单未知数方程。
【解析】
1. 确定未知数意义：由题干方程$ y(x+1)=2y(x-3) $，得$ x $为规定时间，$ y $为慢马速度，快马速度为$ 2y $；
2. 慢马走900里的时间为$ \frac{900}{y} $，该时间比规定时间$ x $多1天，故：$ \frac{900}{y} = x +1 $，变形得$ x = \frac{900}{y} -1 $；
3. 快马走900里的时间为$ \frac{900}{2y} $，该时间比规定时间$ x $少3天，故：$ \frac{900}{2y} = x -3 $，变形得$ x = \frac{900}{2y} +3 $；
4. 联立两个$ x $的表达式，得：$ \frac{900}{2y} +3 = \frac{900}{y} -1 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；行程问题
【点评】
本题结合古代数学问题考查分式方程的应用，核心是理解题干所给方程中未知数的实际意义，再利用路程、速度、时间的关系转化方程，难度中等，需准确梳理各量之间的关系。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本题有6小题,每小题3分,共18分)
11. 因式分解:$3a^2 + a = \_\_\_\_\_\_$。
11. 因式分解:$3a^2 + a = \_\_\_\_\_\_$。
答案
11.$a(3a+1)$
解析
【分析】
本题考查因式分解的基本方法，首先观察多项式的两项，找到它们的公因式，再通过提取公因式完成因式分解。
【解析】
对于多项式$3a^2 + a$，先确定各项的公因式：$3a^2$和$a$的公因式为$a$，提取公因式$a$后可得：
$3a^2 + a = a · 3a + a · 1 = a(3a + 1)$
【答案】
$a(3a+1)$
【知识点】
因式分解、提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，只要掌握找公因式的方法即可快速解答，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解的基本方法，首先观察多项式的两项，找到它们的公因式，再通过提取公因式完成因式分解。
【解析】
对于多项式$3a^2 + a$，先确定各项的公因式：$3a^2$和$a$的公因式为$a$，提取公因式$a$后可得：
$3a^2 + a = a · 3a + a · 1 = a(3a + 1)$
【答案】
$a(3a+1)$
【知识点】
因式分解、提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，只要掌握找公因式的方法即可快速解答，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
12.已知方程$3x-y=5$,用含$x$的代数式表示$y=$
3x-5
。答案
12.$3x-5$
解析
【分析】本题要求用含x的代数式表示y，核心是对二元一次方程进行变形，将y单独置于等式一侧。解题思路是利用等式的基本性质，通过移项、调整系数等操作，把y的表达式整理出来。具体步骤为：先将含y的项移到等式一侧，其余项移到另一侧，再化简得到y的表达式。
【解析】对于方程$3x - y =5$，移项可得：$-y =5 - 3x$，两边同时乘以$-1$，得到$y=3x -5$。
【答案】$3x-5$
【知识点】二元一次方程的变形
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，考查学生对等式性质的基本运用，属于必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】对于方程$3x - y =5$，移项可得：$-y =5 - 3x$，两边同时乘以$-1$，得到$y=3x -5$。
【答案】$3x-5$
【知识点】二元一次方程的变形
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，考查学生对等式性质的基本运用，属于必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】0.9
13. 如图,三角形$A'B'C'$是由三角形$ABC$沿射线$AC$方向平移2 cm得到的。若$AC=3$ cm,则$A'C=$
1
cm。答案
13.1
解析
【分析】本题考查平移的性质，解题思路是：图形平移时，对应点之间的距离等于平移的距离，据此先确定对应点A与A'的距离，再结合已知AC的长度，计算A'C的长度。
【解析】因为三角形$A'B'C'$是由三角形$ABC$沿射线$AC$方向平移2 cm得到的，根据平移的性质，对应点$A$与$A'$的距离等于平移距离，即$AA' = 2$ cm。已知$AC = 3$ cm，所以$A'C = AC - AA' = 3 - 2 = 1$ cm。
【答案】1
【知识点】平移的性质
【点评】本题是平移性质的基础应用，难度不大，核心是掌握平移后对应点的距离等于平移距离的知识点。
【难度系数】0.6
【解析】因为三角形$A'B'C'$是由三角形$ABC$沿射线$AC$方向平移2 cm得到的，根据平移的性质，对应点$A$与$A'$的距离等于平移距离，即$AA' = 2$ cm。已知$AC = 3$ cm，所以$A'C = AC - AA' = 3 - 2 = 1$ cm。
【答案】1
【知识点】平移的性质
【点评】本题是平移性质的基础应用，难度不大，核心是掌握平移后对应点的距离等于平移距离的知识点。
【难度系数】0.6
14.一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是
4
。答案
14.4
解析
【分析】
要计算选B的人数，需先结合条形图和扇形图的信息求出总人数：已知选D的人数为10，从扇形图可知D占总人数的20%，用D的人数除以其占比得到总人数；再根据扇形图中B的占比，用总人数乘以B的占比，即可求出选B的人数。
【解析】
1. 计算总人数：选D的人数是10，对应占比为20%，因此总人数 = $10 ÷ 20\% = 50$（人）；
2. 计算选B的人数：扇形图中B占总人数的8%，所以选B的人数 = $50 × 8\% = 4$。
【答案】
4
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、百分比计算
【点评】
本题结合两种统计图的信息，利用百分比的意义求解，核心是先通过已知的D的人数和占比求出总人数，再计算B的人数，属于基础统计应用题目。
【难度系数】
0.3
要计算选B的人数，需先结合条形图和扇形图的信息求出总人数：已知选D的人数为10，从扇形图可知D占总人数的20%，用D的人数除以其占比得到总人数；再根据扇形图中B的占比，用总人数乘以B的占比，即可求出选B的人数。
【解析】
1. 计算总人数：选D的人数是10，对应占比为20%，因此总人数 = $10 ÷ 20\% = 50$（人）；
2. 计算选B的人数：扇形图中B占总人数的8%，所以选B的人数 = $50 × 8\% = 4$。
【答案】
4
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、百分比计算
【点评】
本题结合两种统计图的信息，利用百分比的意义求解，核心是先通过已知的D的人数和占比求出总人数，再计算B的人数，属于基础统计应用题目。
【难度系数】
0.3
15. 生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等。为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式$x^3 - 9x$分解，结果为$x(x+3)(x-3)$。当$x=20$时，$x+3=23$，$x-3=17$，此时可得到数字密码202317。将多项式$x^3 + mx^2 + nx$因式分解后，利用题目中所示的方法，当$x=12$时可以得到数字密码121415，则$mn=$
30
。答案
15.30 解析:根据题意,得$x^3+mx^2+nx$分解的结果为$x(x+2)(x+3)$,因为$x(x+2)(x+3)=(x^2+2x)(x+3)=x^3+3x^2+2x^2+6x=x^3+5x^2+6x$,所以$x^3+mx^2+nx=x^3+5x^2+6x$,所以$m=5,n=6$,所以$mn=30$。 思路点拨:本题考查了因式分解的应用,解题的基本思路是理解题中产生密码的原理,还原分解项,利用对应项相等方程求解m,n的值,进而得到mn的值。
解析
【分析】
首先明确密码生成原理：多项式因式分解为x与两个一次因式的乘积，当取x值时，三个因式的值按顺序组成密码。已知x=12时密码为121415，可知三个因式的值为12、14、15，其中一个因式是x=12，由此推出另外两个因式为x+2和x+3，再通过因式展开与原多项式对比系数，求出m、n的值，进而计算mn。
【解析】
根据题意，多项式$x^3 + mx^2 + nx$因式分解后，当$x=12$时得到密码121415，因此分解后的三个因式为$x$、$x+2$、$x+3$（因为$x=12$时，$x=12$，$x+2=14$，$x+3=15$，组合成密码121415）。
对三个因式展开计算：
$x(x+2)(x+3) = x[(x+2)(x+3)] = x(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x$
由于$x^3 + mx^2 + nx = x^3 + 5x^2 + 6x$，根据多项式对应项系数相等，可得$m=5$，$n=6$。
因此$mn = 5×6 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
因式分解的应用、多项式乘多项式
【点评】
本题结合生活中的密码场景考查因式分解的应用，核心是理解密码与因式的对应关系，通过还原因式、对比系数求解参数，是基础的代数应用题型，需准确把握题意中的逻辑关系。
【难度系数】
0.5
首先明确密码生成原理：多项式因式分解为x与两个一次因式的乘积，当取x值时，三个因式的值按顺序组成密码。已知x=12时密码为121415，可知三个因式的值为12、14、15，其中一个因式是x=12，由此推出另外两个因式为x+2和x+3，再通过因式展开与原多项式对比系数，求出m、n的值，进而计算mn。
【解析】
根据题意，多项式$x^3 + mx^2 + nx$因式分解后，当$x=12$时得到密码121415，因此分解后的三个因式为$x$、$x+2$、$x+3$（因为$x=12$时，$x=12$，$x+2=14$，$x+3=15$，组合成密码121415）。
对三个因式展开计算：
$x(x+2)(x+3) = x[(x+2)(x+3)] = x(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x$
由于$x^3 + mx^2 + nx = x^3 + 5x^2 + 6x$，根据多项式对应项系数相等，可得$m=5$，$n=6$。
因此$mn = 5×6 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
因式分解的应用、多项式乘多项式
【点评】
本题结合生活中的密码场景考查因式分解的应用，核心是理解密码与因式的对应关系，通过还原因式、对比系数求解参数，是基础的代数应用题型，需准确把握题意中的逻辑关系。
【难度系数】
0.5
16. 在一个边长为4的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，两个长方形重叠部分的面积为$ S_{1} $，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为$ S_{2} $（阴影部分的面积之和）。若$ S_{1}=2S_{2} $，则被放置的长方形的周长是
12
。答案
16.12 解析:如图。设被放置的长方形的长是x,宽是y。因为正方形的边长为4,所以$BC=4-y,AB=4-x$,所以$S_2=2(4-x)(4-y)$。因为两个长方形覆盖的面积为$2xy-S_1,S_1=2S_2$,所以两个长方形覆盖的面积为$2xy-2S_2$。因为$S_{正方形}=S_{两个长方形覆盖}+S_2$,所以$4^2=2xy-2S_2+S_2=2xy-S_2=2xy-2(4-x)(4-y)=2xy-(32-8x-8y+2xy)=-32+8x+8y$,所以$x+y=6$,所以被放置的长方形的周长是$2(x+y)=12$。
解析
【分析】
首先设被放置长方形的长为$ x $，宽为$ y $。观察图形，正方形边长为4，右上角阴影的长为$ 4-x $、宽为$ 4-y $，因此单个阴影面积为$ (4-x)(4-y) $，两个阴影面积之和$ S_2 = 2(4-x)(4-y) $。再根据正方形面积与各部分面积的关系：正方形面积 = 两个长方形覆盖的面积 + 阴影面积$ S_2 $，而两个长方形覆盖的面积 = 两个长方形面积和 - 重叠部分$ S_1 $，结合已知$ S_1=2S_2 $，代入后化简可求出$ x+y $的值，进而得到长方形周长。
【解析】
设被放置的长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
1. 求阴影面积$ S_2 $：
由图形可知，单个阴影的长为$ 4-x $，宽为$ 4-y $，因此两个阴影面积之和：
$ S_2 = 2(4-x)(4-y) $
2. 利用正方形面积关系列方程化简：
正方形面积为$ 4^2=16 $，正方形面积等于两个长方形覆盖的面积加阴影面积$ S_2 $，且两个长方形覆盖的面积为$ 2xy - S_1 $，结合$ S_1=2S_2 $，可得：
$ 16 = (2xy - S_1) + S_2 = 2xy - 2S_2 + S_2 = 2xy - S_2 $
将$ S_2=2(4-x)(4-y) $代入上式：
$ 16 = 2xy - 2(4-x)(4-y) $
展开并化简右边：
$ 2(4-x)(4-y)=2(16-4x-4y+xy)=32-8x-8y+2xy $
代入后整理：
$ 16 = 2xy - (32 -8x -8y +2xy) $
$ 16 = -32 +8x +8y $
解得：$ x+y=6 $。
3. 计算长方形周长：
长方形周长为$ 2(x+y)=2×6=12 $。
【答案】
12
【知识点】
整式运算、长方形周长面积、正方形面积
【点评】
本题通过设未知数建立代数关系，将几何图形的面积问题转化为代数运算，关键是理清正方形面积与各部分面积的和差关系，结合已知条件化简得到长和宽的和，进而求出周长，难度中等。
【难度系数】
0.5
首先设被放置长方形的长为$ x $，宽为$ y $。观察图形，正方形边长为4，右上角阴影的长为$ 4-x $、宽为$ 4-y $，因此单个阴影面积为$ (4-x)(4-y) $，两个阴影面积之和$ S_2 = 2(4-x)(4-y) $。再根据正方形面积与各部分面积的关系：正方形面积 = 两个长方形覆盖的面积 + 阴影面积$ S_2 $，而两个长方形覆盖的面积 = 两个长方形面积和 - 重叠部分$ S_1 $，结合已知$ S_1=2S_2 $，代入后化简可求出$ x+y $的值，进而得到长方形周长。
【解析】
设被放置的长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
1. 求阴影面积$ S_2 $：
由图形可知，单个阴影的长为$ 4-x $，宽为$ 4-y $，因此两个阴影面积之和：
$ S_2 = 2(4-x)(4-y) $
2. 利用正方形面积关系列方程化简：
正方形面积为$ 4^2=16 $，正方形面积等于两个长方形覆盖的面积加阴影面积$ S_2 $，且两个长方形覆盖的面积为$ 2xy - S_1 $，结合$ S_1=2S_2 $，可得：
$ 16 = (2xy - S_1) + S_2 = 2xy - 2S_2 + S_2 = 2xy - S_2 $
将$ S_2=2(4-x)(4-y) $代入上式：
$ 16 = 2xy - 2(4-x)(4-y) $
展开并化简右边：
$ 2(4-x)(4-y)=2(16-4x-4y+xy)=32-8x-8y+2xy $
代入后整理：
$ 16 = 2xy - (32 -8x -8y +2xy) $
$ 16 = -32 +8x +8y $
解得：$ x+y=6 $。
3. 计算长方形周长：
长方形周长为$ 2(x+y)=2×6=12 $。
【答案】
12
【知识点】
整式运算、长方形周长面积、正方形面积
【点评】
本题通过设未知数建立代数关系，将几何图形的面积问题转化为代数运算，关键是理清正方形面积与各部分面积的和差关系，结合已知条件化简得到长和宽的和，进而求出周长，难度中等。
【难度系数】
0.5
