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22.(10 分)已知 $a^2 + b^2 = 12$，$a - b = 3$，分别求 $ab$ 和 $a + b$ 的值。
答案
22.解:因为$a-b=3$,所以$(a-b)^2=9$,所以$a^2-2ab+b^2=9$,又因为$a^2+b^2=12$,所以$12-2ab=9$,所以$ab=\frac{3}{2}$,所以$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=12+3=15$,所以$a+b=\pm\sqrt{15}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用完全平方公式的变形来推导。首先，已知$a - b$的值，对其平方后展开，结合已知的$a^2 + b^2$的值，就能求出$ab$；接着，再利用完全平方公式计算$(a + b)^2$，代入已得的$a^2 + b^2$和$ab$的值，进而求出$a + b$，注意$a + b$存在正负两种情况。
【解析】
解：因为$a - b = 3$，将等式两边平方，根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可得：
$(a - b)^2 = 3^2 = 9$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 9$。
又已知$a^2 + b^2 = 12$，将其代入上式：
$12 - 2ab = 9$，
移项计算得：$-2ab = 9 - 12 = -3$，
两边同时除以$-2$，解得$ab = \frac{3}{2}$。
接下来求$a + b$的值，根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入$a^2 + b^2 = 12$和$ab = \frac{3}{2}$：
$(a + b)^2 = 12 + 2×\frac{3}{2} = 12 + 3 = 15$，
所以$a + b = ±\sqrt{15}$。
【答案】
$ab = \frac{3}{2}$，$a + b = ±\sqrt{15}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征，求$a + b$时需注意正负两种情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用完全平方公式的变形来推导。首先，已知$a - b$的值，对其平方后展开，结合已知的$a^2 + b^2$的值，就能求出$ab$；接着，再利用完全平方公式计算$(a + b)^2$，代入已得的$a^2 + b^2$和$ab$的值，进而求出$a + b$，注意$a + b$存在正负两种情况。
【解析】
解：因为$a - b = 3$，将等式两边平方，根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可得：
$(a - b)^2 = 3^2 = 9$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 9$。
又已知$a^2 + b^2 = 12$，将其代入上式：
$12 - 2ab = 9$，
移项计算得：$-2ab = 9 - 12 = -3$，
两边同时除以$-2$，解得$ab = \frac{3}{2}$。
接下来求$a + b$的值，根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入$a^2 + b^2 = 12$和$ab = \frac{3}{2}$：
$(a + b)^2 = 12 + 2×\frac{3}{2} = 12 + 3 = 15$，
所以$a + b = ±\sqrt{15}$。
【答案】
$ab = \frac{3}{2}$，$a + b = ±\sqrt{15}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征，求$a + b$时需注意正负两种情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
23.(10分)用如图1中的长方形和正方形木板作侧面和底面,做如图2的无盖竖式和有盖横式两种木箱。现在仓库里有a块正方形木板和b块长方形木板。
(1)当$a=600,b=2000$,恰好将库存木板用完,则两种木箱各做了多少个?
(2)当$a=100$时,且$395＜b＜405$,恰好要将库存木板用完,求整数b的值。
(1)当$a=600,b=2000$,恰好将库存木板用完,则两种木箱各做了多少个?
(2)当$a=100$时,且$395＜b＜405$,恰好要将库存木板用完,求整数b的值。
答案
23.解:(1)设无盖竖式木箱做了x个,有盖横式木箱做了y个。根据题意,得$\begin{cases}x+2y=600,\\4x+4y=2\ 000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=400,\\y=100。\end{cases}$ 答:无盖竖式木箱做了400个,有盖横式木箱做了100个。 (2)设无盖竖式木箱做了m个,则有盖横式木箱做了$\frac{100-m}{2}$个。根据题意,得$b=4m+4×\frac{100-m}{2}=2m+200$,因为$395＜b＜405$,所以$\begin{cases}2m+200＞395,\\2m+200＜405,\end{cases}$ 解得$\frac{195}{2}＜m＜\frac{205}{2}$,又因为$m,\frac{100-m}{2}$均为非负整数,所以$m=98$或100,所以$b=2m+200=2×98+200=396$或$b=2×100+200=400$。 难点突破:本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的实际应用问题,难点在于根据题意找准等量关系,还需注意m和$\frac{100-m}{2}$均为非负整数,避免多解。
解析
【分析】
首先明确两种木箱的木板用量：无盖竖式木箱（设为x个）需要1块正方形木板、4块长方形木板；有盖横式木箱（设为y个）需要2块正方形木板、4块长方形木板。根据总正方形木板数和总长方形木板数，可列出二元一次方程组求解第一问。第二问中，当正方形木板总数a=100时，用含x的式子表示y，代入长方形木板总数b的表达式，结合b的范围和x、y为非负整数的条件，即可求出整数b的值。
【解析】
(1) 设无盖竖式木箱做了x个，有盖横式木箱做了y个。
根据正方形木板总数为600，得：$x + 2y = 600$；
根据长方形木板总数为2000，得：$4x + 4y = 2000$，化简为$x + y = 500$。
联立方程组：$\begin{cases}x + 2y = 600 \\ x + y = 500 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$y = 100$，将$y=100$代入$x + y = 500$，解得$x = 400$。
(2) 设无盖竖式木箱做了m个，因为正方形木板总数为100，所以有盖横式木箱数量为$\frac{100 - m}{2}$个。
长方形木板总数$b = 4m + 4×\frac{100 - m}{2} = 2m + 200$。
已知$395 ＜ b ＜ 405$，即$395 ＜ 2m + 200 ＜ 405$，
解不等式：
$2m + 200 ＞ 395 → m ＞ 97.5$；
$2m + 200 ＜ 405 → m ＜ 102.5$。
又因为m和$\frac{100 - m}{2}$均为非负整数，所以m为整数且$100 - m$是偶数，即m为偶数。
在$97.5 ＜ m ＜ 102.5$的整数中，偶数为98、100。
当m=98时，$b=2×98 + 200=396$；
当m=100时，$b=2×100 + 200=400$。
【答案】
(1) 无盖竖式木箱做了400个，有盖横式木箱做了100个；
(2) 整数b的值为396或400。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用
【点评】
本题为实际应用问题，核心是找准两种木箱的木板用量等量关系，列方程组或代数式求解，需注意未知数为非负整数的隐含条件，避免错解漏解。
【难度系数】
0.5
首先明确两种木箱的木板用量：无盖竖式木箱（设为x个）需要1块正方形木板、4块长方形木板；有盖横式木箱（设为y个）需要2块正方形木板、4块长方形木板。根据总正方形木板数和总长方形木板数，可列出二元一次方程组求解第一问。第二问中，当正方形木板总数a=100时，用含x的式子表示y，代入长方形木板总数b的表达式，结合b的范围和x、y为非负整数的条件，即可求出整数b的值。
【解析】
(1) 设无盖竖式木箱做了x个，有盖横式木箱做了y个。
根据正方形木板总数为600，得：$x + 2y = 600$；
根据长方形木板总数为2000，得：$4x + 4y = 2000$，化简为$x + y = 500$。
联立方程组：$\begin{cases}x + 2y = 600 \\ x + y = 500 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$y = 100$，将$y=100$代入$x + y = 500$，解得$x = 400$。
(2) 设无盖竖式木箱做了m个，因为正方形木板总数为100，所以有盖横式木箱数量为$\frac{100 - m}{2}$个。
长方形木板总数$b = 4m + 4×\frac{100 - m}{2} = 2m + 200$。
已知$395 ＜ b ＜ 405$，即$395 ＜ 2m + 200 ＜ 405$，
解不等式：
$2m + 200 ＞ 395 → m ＞ 97.5$；
$2m + 200 ＜ 405 → m ＜ 102.5$。
又因为m和$\frac{100 - m}{2}$均为非负整数，所以m为整数且$100 - m$是偶数，即m为偶数。
在$97.5 ＜ m ＜ 102.5$的整数中，偶数为98、100。
当m=98时，$b=2×98 + 200=396$；
当m=100时，$b=2×100 + 200=400$。
【答案】
(1) 无盖竖式木箱做了400个，有盖横式木箱做了100个；
(2) 整数b的值为396或400。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用
【点评】
本题为实际应用问题，核心是找准两种木箱的木板用量等量关系，列方程组或代数式求解，需注意未知数为非负整数的隐含条件，避免错解漏解。
【难度系数】
0.5
