24.(12分)商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格:设A种糖的单价为a元/千克,B种糖的单价为b元/千克,且a≠b,则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为$\frac{ma+nb}{m+n}$(元/千克)。把质量相同的A种糖和B种糖混合而成,记为甲种什锦糖(单价记为$W_甲$);把总价相同的A种糖和B种糖混合而成,记为乙种什锦糖(单价记为$W_乙$)。请解决以下问题:
(1)分别求出$W_甲$,$W_乙$;(可用含有a,b的代数式表示)
(2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜?为什么?

24.解:(1)设甲种什锦糖A,B两种糖果的质量均为p千克,则$W_甲=\frac{ap+bp}{p+p}=\frac{a+b}{2}$(元/千克)。设乙种什锦糖A,B两种糖果的总价均为w元,则$W_乙=\frac{2w}{\frac{w}{a}+\frac{w}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$(元/千克)。 (2)购买乙种什锦糖较便宜。理由如下:$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$,因为$a＞0,b＞0,a≠ b$,所以$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,所以甲种什锦糖的售价高于乙种什锦糖的售价,所以购买乙种什锦糖较便宜。

【分析】
要解决这个问题，需先明确什锦糖单价的核心计算逻辑：单价=总价格÷总质量。对于甲种什锦糖，是质量相同的A、B糖混合，可设相同质量为参数代入公式化简；对于乙种什锦糖，是总价相同的A、B糖混合，需先算出各自质量，再推导总质量和总价格，进而化简单价。比较两种什锦糖单价时，采用作差法，通过判断差值正负确定大小，利用平方的非负性和分式符号规则即可得出结论。
【解析】
(1) 求$W_甲$和$W_乙$：
设甲种什锦糖中A、B两种糖果的质量均为$p$千克（$p＞0$），总质量为$p+p=2p$千克，总价格为$ap+bp$元，根据什锦糖单价公式：
$W_甲=\frac{ap+bp}{p+p}=\frac{p(a+b)}{2p}=\frac{a+b}{2}$（元/千克）。
设乙种什锦糖中A、B两种糖果的总价均为$w$元（$w＞0$），A种糖质量为$\frac{w}{a}$千克，B种糖质量为$\frac{w}{b}$千克，总质量为$\frac{w}{a}+\frac{w}{b}$千克，总价格为$2w$元，因此：
$W_乙=\frac{2w}{\frac{w}{a}+\frac{w}{b}}=\frac{2w}{w(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=\frac{2ab}{a+b}$（元/千克）。
(2) 比较$W_甲$和$W_乙$的大小：
作差得：
$W_甲 - W_乙 = \frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b}$
通分后化简：
$=\frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
因为$a＞0$，$b＞0$，且$a≠b$，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，故$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$W_甲＞W_乙$，因此购买乙种什锦糖较便宜。
【答案】
(1) $W_甲=\frac{a+b}{2}$，$W_乙=\frac{2ab}{a+b}$；
(2) 购买乙种什锦糖较便宜，理由：$W_甲 - W_乙=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，故$W_甲＞W_乙$，乙种更便宜。
【知识点】
分式的化简、代数式应用、作差法比较大小
【点评】
本题结合实际生活场景，考查分式运算与代数式比较的应用，核心是理解不同混合方式下总价格和总质量的计算，作差法是比较代数式大小的常用方法，需熟练掌握分式通分、化简技能，属于初中数学常规应用题。
【难度系数】
0.6