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20.(真题·杭州钱塘)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k(k-1)=0$。
(1)求证:该方程必有两个不相等的实数根。
(2)若$x_1,x_2$是该方程的两个根,且满足$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$,求$k$的值。
(1)求证:该方程必有两个不相等的实数根。
(2)若$x_1,x_2$是该方程的两个根,且满足$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$,求$k$的值。
答案
20.(1)证明:因为$\Delta=(2k-1)^2-4×k(k-1)=4k^2-4k+1-4k^2+4k=1＞0$,所以该方程总有两个不相等的实数根。
(2)由题意得$x_1+x_2=-2k+1$,$x_1x_2=k(k-1)$,因为$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}$,所以$\frac{-2k+1}{k(k-1)}=\frac{3}{2}$,解得$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$,经检验,$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$是原方程的解,所以$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$。
(2)由题意得$x_1+x_2=-2k+1$,$x_1x_2=k(k-1)$,因为$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}$,所以$\frac{-2k+1}{k(k-1)}=\frac{3}{2}$,解得$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$,经检验,$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$是原方程的解,所以$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$。
解析
【分析】
要解决本题，分两步思考：(1) 证明一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ，计算Δ的值，若Δ＞0则结论成立；(2) 已知两根的倒数和，需结合韦达定理（根与系数的关系），将倒数和转化为两根和与两根积的比值，代入已知条件得到关于k的方程，解分式方程后要检验解的合理性。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题中$a=1$，$b=2k-1$，$c=k(k-1)$，计算得：
$\Delta=(2k-1)^2 - 4×1×k(k-1)=4k^2 -4k +1 -4k^2 +4k=1＞0$，
因此该方程必有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -(2k -1)= -2k +1$，$x_1x_2 = k(k-1)$。
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$，将其变形为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}$，代入得：
$\frac{-2k +1}{k(k-1)}=\frac{3}{2}$，
去分母（两边同乘$2k(k-1)$，注意$k≠0$且$k≠1$）得：
$2(-2k +1)=3k(k-1)$，
整理得：$-4k +2 = 3k^2 -3k$，即$3k^2 +k -2=0$，
因式分解得：$(3k -2)(k +1)=0$，
解得$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$。
经检验，$k=\frac{2}{3}$和$k=-1$均满足原分式方程的分母不为0，且原方程判别式$\Delta=1＞0$，符合题意。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k=\frac{2}{3}$或$k=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程的核心知识点，难度适中，需掌握根的判别式的应用、韦达定理的转化，以及分式方程解的检验，是常规基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两步思考：(1) 证明一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用根的判别式Δ，计算Δ的值，若Δ＞0则结论成立；(2) 已知两根的倒数和，需结合韦达定理（根与系数的关系），将倒数和转化为两根和与两根积的比值，代入已知条件得到关于k的方程，解分式方程后要检验解的合理性。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题中$a=1$，$b=2k-1$，$c=k(k-1)$，计算得：
$\Delta=(2k-1)^2 - 4×1×k(k-1)=4k^2 -4k +1 -4k^2 +4k=1＞0$，
因此该方程必有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -(2k -1)= -2k +1$，$x_1x_2 = k(k-1)$。
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$，将其变形为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}$，代入得：
$\frac{-2k +1}{k(k-1)}=\frac{3}{2}$，
去分母（两边同乘$2k(k-1)$，注意$k≠0$且$k≠1$）得：
$2(-2k +1)=3k(k-1)$，
整理得：$-4k +2 = 3k^2 -3k$，即$3k^2 +k -2=0$，
因式分解得：$(3k -2)(k +1)=0$，
解得$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$。
经检验，$k=\frac{2}{3}$和$k=-1$均满足原分式方程的分母不为0，且原方程判别式$\Delta=1＞0$，符合题意。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k=\frac{2}{3}$或$k=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程的核心知识点，难度适中，需掌握根的判别式的应用、韦达定理的转化，以及分式方程解的检验，是常规基础题型。
【难度系数】
0.6
21.(真题·宁波余姚)小明准备进行如下实验操作:把一根长为32cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$34\mathrm{cm}^2$,则这两个正方形的边长各是多少?
(2)小明认为,这两个正方形的面积之和不可能等于$30\mathrm{cm}^2$。你认为他的说法正确吗?请说明理由。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$34\mathrm{cm}^2$,则这两个正方形的边长各是多少?
(2)小明认为,这两个正方形的面积之和不可能等于$30\mathrm{cm}^2$。你认为他的说法正确吗?请说明理由。
答案
21.(1)设其中一个正方形的边长为$x$cm,则另一个正方形的边长为$(8-x)$cm。依题意列方程得$x^2+(8-x)^2=34$。整理得:$x^2-8x+15=0$,所以$(x-3)(x-5)=0$,解方程得$x_1=3$,$x_2=5$,因此这两个正方形的边长分别是3cm,5cm。
(2)他的说法正确。理由:若两个正方形的面积之和为$30\mathrm{cm}^2$,则$x^2+(8-x)^2=30$,所以$x^2-8x+17=0$,因为$b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4$,所以此方程无解,所以两个正方形的面积之和不可能等于$30\mathrm{cm}^2$。
(2)他的说法正确。理由:若两个正方形的面积之和为$30\mathrm{cm}^2$,则$x^2+(8-x)^2=30$,所以$x^2-8x+17=0$,因为$b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4$,所以此方程无解,所以两个正方形的面积之和不可能等于$30\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】首先，铁丝总长32cm，剪成两段后分别作为两个正方形的周长，因此两个正方形的边长之和为32÷4=8cm。设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(8-x)cm。问题(1)根据两个正方形面积和为34cm²列一元二次方程求解；问题(2)假设面积和为30cm²，列方程后用根的判别式判断方程是否有实根，若无实根则说明面积和不可能为30cm²，进而判断小明的说法是否正确。
【解析】
(1) 设其中一个正方形的边长为$ x $ cm，则另一个正方形的边长为$ (8 - x) $ cm。
根据两个正方形的面积之和为$ 34\mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ x^2 + (8 - x)^2 = 34 $
整理得：$ x^2 - 8x + 15 = 0 $
因式分解得：$ (x - 3)(x - 5) = 0 $
解得：$ x_1 = 3 $，$ x_2 = 5 $
因此两个正方形的边长分别为3cm和5cm。
(2) 若两个正方形的面积之和为$ 30\mathrm{cm}^2 $，设其中一个正方形的边长为$ x $ cm，则另一个边长为$ (8 - x) $ cm，列方程：
$ x^2 + (8 - x)^2 = 30 $
整理得：$ x^2 - 8x + 17 = 0 $
计算根的判别式：$ \Delta = (-8)^2 - 4×1×17 = -4 ＜ 0 $
此方程无实数解，说明不存在这样的边长，因此两个正方形的面积之和不可能等于$ 30\mathrm{cm}^2 $，小明的说法正确。
【答案】(1) 两个正方形的边长分别是3cm和5cm；(2) 小明的说法正确，理由是方程无实数解，面积和不可能为30cm²。
【知识点】一元二次方程的应用、根的判别式
【点评】本题结合几何面积问题考查一元二次方程的应用，关键是先确定两个正方形边长的数量关系，再通过方程求解和判别式判断解的存在性，是代数与几何结合的典型题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 设其中一个正方形的边长为$ x $ cm，则另一个正方形的边长为$ (8 - x) $ cm。
根据两个正方形的面积之和为$ 34\mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ x^2 + (8 - x)^2 = 34 $
整理得：$ x^2 - 8x + 15 = 0 $
因式分解得：$ (x - 3)(x - 5) = 0 $
解得：$ x_1 = 3 $，$ x_2 = 5 $
因此两个正方形的边长分别为3cm和5cm。
(2) 若两个正方形的面积之和为$ 30\mathrm{cm}^2 $，设其中一个正方形的边长为$ x $ cm，则另一个边长为$ (8 - x) $ cm，列方程：
$ x^2 + (8 - x)^2 = 30 $
整理得：$ x^2 - 8x + 17 = 0 $
计算根的判别式：$ \Delta = (-8)^2 - 4×1×17 = -4 ＜ 0 $
此方程无实数解，说明不存在这样的边长，因此两个正方形的面积之和不可能等于$ 30\mathrm{cm}^2 $，小明的说法正确。
【答案】(1) 两个正方形的边长分别是3cm和5cm；(2) 小明的说法正确，理由是方程无实数解，面积和不可能为30cm²。
【知识点】一元二次方程的应用、根的判别式
【点评】本题结合几何面积问题考查一元二次方程的应用，关键是先确定两个正方形边长的数量关系，再通过方程求解和判别式判断解的存在性，是代数与几何结合的典型题型，难度适中。
【难度系数】0.6
