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22.(真题·绍兴越城)某商场销售一批服装,已知进价为 150 元/件，若以 162 元/件销售时,平均每天可销售 100 件。为了尽快减少库存,商场决定降价销售。经调查发现,单价每降低 1 元,每天可多售出 20 件。
(1)若以 158 元/件销售,平均每天可销售多少件?
(2)如果每天盈利 1400 元,那么单价应降低多少元?
(3)如果每天想盈利 2000 元,能做到吗? 若能,那么此时应降低多少元;若不能,说明理由。
(1)若以 158 元/件销售,平均每天可销售多少件?
(2)如果每天盈利 1400 元,那么单价应降低多少元?
(3)如果每天想盈利 2000 元,能做到吗? 若能,那么此时应降低多少元;若不能,说明理由。
答案
22.(1)根据题意得,$100+(162-158)×20=180$(件),答:平均每天可销售180件。
(2)设降价$x$元,根据题意得,$(162-x-150)(100+20x)=1400$,解得$x=2$或$x=5$。为了尽快减少库存,所以$x=5$,答:单价应降低5元。
(3)不能,理由如下:设此时应降低$x$元。$(162-150-x)(100+20x)=2000$,整理得,$x^2-7x+40=0$,因为$\Delta=49-160＜0$,此方程没有实数根,故不能。
(2)设降价$x$元,根据题意得,$(162-x-150)(100+20x)=1400$,解得$x=2$或$x=5$。为了尽快减少库存,所以$x=5$,答:单价应降低5元。
(3)不能,理由如下:设此时应降低$x$元。$(162-150-x)(100+20x)=2000$,整理得,$x^2-7x+40=0$,因为$\Delta=49-160＜0$,此方程没有实数根,故不能。
解析
【分析】
本题是商品销售利润的实际问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先算出从162元降到158元的降价金额，再根据“单价每降1元多售20件”，计算增加的销售量，加上原销售量即可得结果；
2. 第(2)问：设降价x元，明确每件利润为（售价-进价）、销售量为原销量+降价增加的销量，根据“总盈利=每件利润×销售量”列一元二次方程，解方程后结合“尽快减少库存”的条件选合适的解；
3. 第(3)问：同样设降价x元，根据总盈利列方程，整理为一元二次方程后，通过判别式判断方程是否有实根，确定能否达到目标盈利。
【解析】
(1) 单价从162元降到158元，降价金额为：162-158=4（元）
增加的销售量为：4×20=80（件）
平均每天销售量为：100+80=180（件）
(2) 设单价应降低x元，每件利润为(162-x-150)元，每天销售量为(100+20x)件，根据题意列方程：
(162-x-150)(100+20x)=1400
整理得：(12-x)(100+20x)=1400
展开化简：x²-7x+10=0
解得：x₁=2，x₂=5
因要尽快减少库存，需降价更多，故x=5。
(3) 设单价降低x元时每天盈利2000元，列方程：
(162-x-150)(100+20x)=2000
整理得：x²-7x+40=0
计算判别式Δ=(-7)²-4×1×40=49-160=-111＜0，方程无实数根，故不能做到。
【答案】
(1) 平均每天可销售180件；
(2) 单价应降低5元；
(3) 不能，理由：设此时应降低x元，列方程得(162-150-x)(100+20x)=2000，整理得x²-7x+40=0，Δ=49-160＜0，方程无实数根，故不能。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为销售利润类典型应用题，核心是利用“总盈利=单件利润×销售量”建立方程，需结合题意筛选合理的解，同时考查根的判别式的应用，是一元二次方程应用的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是商品销售利润的实际问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先算出从162元降到158元的降价金额，再根据“单价每降1元多售20件”，计算增加的销售量，加上原销售量即可得结果；
2. 第(2)问：设降价x元，明确每件利润为（售价-进价）、销售量为原销量+降价增加的销量，根据“总盈利=每件利润×销售量”列一元二次方程，解方程后结合“尽快减少库存”的条件选合适的解；
3. 第(3)问：同样设降价x元，根据总盈利列方程，整理为一元二次方程后，通过判别式判断方程是否有实根，确定能否达到目标盈利。
【解析】
(1) 单价从162元降到158元，降价金额为：162-158=4（元）
增加的销售量为：4×20=80（件）
平均每天销售量为：100+80=180（件）
(2) 设单价应降低x元，每件利润为(162-x-150)元，每天销售量为(100+20x)件，根据题意列方程：
(162-x-150)(100+20x)=1400
整理得：(12-x)(100+20x)=1400
展开化简：x²-7x+10=0
解得：x₁=2，x₂=5
因要尽快减少库存，需降价更多，故x=5。
(3) 设单价降低x元时每天盈利2000元，列方程：
(162-x-150)(100+20x)=2000
整理得：x²-7x+40=0
计算判别式Δ=(-7)²-4×1×40=49-160=-111＜0，方程无实数根，故不能做到。
【答案】
(1) 平均每天可销售180件；
(2) 单价应降低5元；
(3) 不能，理由：设此时应降低x元，列方程得(162-150-x)(100+20x)=2000，整理得x²-7x+40=0，Δ=49-160＜0，方程无实数根，故不能。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为销售利润类典型应用题，核心是利用“总盈利=单件利润×销售量”建立方程，需结合题意筛选合理的解，同时考查根的判别式的应用，是一元二次方程应用的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
23.(真题·宁波北仑)定义:如果 $ x_1,x_2 $ 是一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根,且 $ |x_1 - x_2| = 1 $,那么称这样的方程为“邻根方程”。例如:一元二次方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 的两个根是 $ x_1 = 1,x_2 = 2 $,此时 $ |x_1 - x_2| = |1 - 2| = 1 $,则方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 是“邻根方程”。
(1)下列方程中,属于“邻根方程”的是 ______（填序号）。
①$ x^2 = 1 $;②$ 4x^2 + 4x + 1 = 0 $;③$ x^2 - x = 0 $。
(2)已知方程$ (x - m)(x + 3) = 0 $是“邻根方程”,求 $ m $ 的值。
(3)若方程 $ x^2 - bx + c = 0 $ 是“邻根方程”,求证:$ b + 2c + 1 ≥ 0 $。
(1)下列方程中,属于“邻根方程”的是 ______（填序号）。
①$ x^2 = 1 $;②$ 4x^2 + 4x + 1 = 0 $;③$ x^2 - x = 0 $。
(2)已知方程$ (x - m)(x + 3) = 0 $是“邻根方程”,求 $ m $ 的值。
(3)若方程 $ x^2 - bx + c = 0 $ 是“邻根方程”,求证:$ b + 2c + 1 ≥ 0 $。
答案
23.(1)③
(2)解方程得$x_1=m$,$x_2=-3$,因为方程$(x-m)(x+3)=0$是“邻根方程”,所以$|m+3|=1$,解得$m=-2$或$m=-4$。
(3)证明:设$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-bx+c=0$的两个根,所以$|x_1-x_2|=1$,$x_1x_2=c$,$x_1+x_2=b$,因为$|x_1-x_2|^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$,所以$b^2-4c=1$,即$4c=b^2-1$,所以$b+2c+1=b+\frac{b^2-1}{2}+1=\frac{1}{2}(b^2+2b+1)=\frac{1}{2}(b+1)^2≥0$。
(2)解方程得$x_1=m$,$x_2=-3$,因为方程$(x-m)(x+3)=0$是“邻根方程”,所以$|m+3|=1$,解得$m=-2$或$m=-4$。
(3)证明:设$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-bx+c=0$的两个根,所以$|x_1-x_2|=1$,$x_1x_2=c$,$x_1+x_2=b$,因为$|x_1-x_2|^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$,所以$b^2-4c=1$,即$4c=b^2-1$,所以$b+2c+1=b+\frac{b^2-1}{2}+1=\frac{1}{2}(b^2+2b+1)=\frac{1}{2}(b+1)^2≥0$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确“邻根方程”的定义：一元二次方程的两个根满足两根差的绝对值为1。解题时，第一问需分别求出三个方程的根，计算两根差的绝对值，判断是否符合定义；第二问先求出给定方程的两根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的绝对值方程，求解即可；第三问利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合|x₁ - x₂|=1的变形，得到b与c的关系，再代入待证式子，通过配方利用完全平方的非负性完成证明。
【解析】
(1) 判断“邻根方程”
分别求解三个方程的根：
① 解方程$x^2 = 1$，得$x_1=1$，$x_2=-1$，则$|x_1 - x_2|=|1 - (-1)|=2≠1$，不是“邻根方程”；
② 解方程$4x^2 + 4x + 1 = 0$，即$(2x+1)^2=0$，得$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$，则$|x_1 - x_2|=0≠1$，不是“邻根方程”；
③ 解方程$x^2 - x = 0$，即$x(x-1)=0$，得$x_1=0$，$x_2=1$，则$|x_1 - x_2|=|0 - 1|=1$，是“邻根方程”。
故答案为③。
(2) 求m的值
解方程$(x - m)(x + 3)=0$，得两根为$x_1=m$，$x_2=-3$。
因为该方程是“邻根方程”，所以$|m - (-3)|=1$，即$|m + 3|=1$。
解得$m + 3=1$或$m + 3=-1$，即$m=-2$或$m=-4$。
(3) 证明$b + 2c + 1 ≥ 0$
设$x_1,x_2$是方程$x^2 - bx + c = 0$的两个根，由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = b$，$x_1x_2 = c$。
因为该方程是“邻根方程”，所以$|x_1 - x_2|=1$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = 1$，即$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 1$。
代入韦达定理的结果，得$b^2 - 4c = 1$，整理得$4c = b^2 - 1$，即$c = \frac{b^2 - 1}{4}$。
将$c = \frac{b^2 - 1}{4}$代入$b + 2c + 1$：
$\begin{aligned}b + 2c + 1&=b + 2×\frac{b^2 - 1}{4} + 1\\&=b + \frac{b^2 - 1}{2} + 1\\&=\frac{2b + b^2 - 1 + 2}{2}\\&=\frac{b^2 + 2b + 1}{2}\\&=\frac{1}{2}(b + 1)^2\end{aligned}$
因为$(b + 1)^2 ≥ 0$，所以$\frac{1}{2}(b + 1)^2 ≥ 0$，即$b + 2c + 1 ≥ 0$，得证。
【答案】
(1)③；(2)m的值为-2或-4；(3)证明成立。
【知识点】
一元二次方程的根，根与系数的关系（韦达定理），完全平方公式
【点评】
本题是新定义类题型，核心是理解“邻根方程”的定义，将新定义转化为一元二次方程的相关知识（求根、韦达定理等）进行解题，综合考查了学生对新信息的处理能力和代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先需明确“邻根方程”的定义：一元二次方程的两个根满足两根差的绝对值为1。解题时，第一问需分别求出三个方程的根，计算两根差的绝对值，判断是否符合定义；第二问先求出给定方程的两根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的绝对值方程，求解即可；第三问利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合|x₁ - x₂|=1的变形，得到b与c的关系，再代入待证式子，通过配方利用完全平方的非负性完成证明。
【解析】
(1) 判断“邻根方程”
分别求解三个方程的根：
① 解方程$x^2 = 1$，得$x_1=1$，$x_2=-1$，则$|x_1 - x_2|=|1 - (-1)|=2≠1$，不是“邻根方程”；
② 解方程$4x^2 + 4x + 1 = 0$，即$(2x+1)^2=0$，得$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$，则$|x_1 - x_2|=0≠1$，不是“邻根方程”；
③ 解方程$x^2 - x = 0$，即$x(x-1)=0$，得$x_1=0$，$x_2=1$，则$|x_1 - x_2|=|0 - 1|=1$，是“邻根方程”。
故答案为③。
(2) 求m的值
解方程$(x - m)(x + 3)=0$，得两根为$x_1=m$，$x_2=-3$。
因为该方程是“邻根方程”，所以$|m - (-3)|=1$，即$|m + 3|=1$。
解得$m + 3=1$或$m + 3=-1$，即$m=-2$或$m=-4$。
(3) 证明$b + 2c + 1 ≥ 0$
设$x_1,x_2$是方程$x^2 - bx + c = 0$的两个根，由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = b$，$x_1x_2 = c$。
因为该方程是“邻根方程”，所以$|x_1 - x_2|=1$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = 1$，即$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 1$。
代入韦达定理的结果，得$b^2 - 4c = 1$，整理得$4c = b^2 - 1$，即$c = \frac{b^2 - 1}{4}$。
将$c = \frac{b^2 - 1}{4}$代入$b + 2c + 1$：
$\begin{aligned}b + 2c + 1&=b + 2×\frac{b^2 - 1}{4} + 1\\&=b + \frac{b^2 - 1}{2} + 1\\&=\frac{2b + b^2 - 1 + 2}{2}\\&=\frac{b^2 + 2b + 1}{2}\\&=\frac{1}{2}(b + 1)^2\end{aligned}$
因为$(b + 1)^2 ≥ 0$，所以$\frac{1}{2}(b + 1)^2 ≥ 0$，即$b + 2c + 1 ≥ 0$，得证。
【答案】
(1)③；(2)m的值为-2或-4；(3)证明成立。
【知识点】
一元二次方程的根，根与系数的关系（韦达定理），完全平方公式
【点评】
本题是新定义类题型，核心是理解“邻根方程”的定义，将新定义转化为一元二次方程的相关知识（求根、韦达定理等）进行解题，综合考查了学生对新信息的处理能力和代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
