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24.小华在学完了八下2.3《一元二次方程根与系数的关系》一节内容后,对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣,决定一探究竟。下面是他收集的素材,汇总如下,请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素材1
一元三次方程的定义
我们把两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程,它的一般形式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$)。
素材2
一元三次方程的解法
若一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a≠0$)的左边在实数范围内可因式分解为$a(x-p)(x-q)(x-r)$($p,q,r$为实数),即原方程化为$a(x-p)(x-q)(x-r)=0$,则得方程的根为$x_1=p$,$x_2=q$,$x_3=r$。
素材3
一元二次方程根与系数的关系的探究过程
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a≠0$)有两个根$x_1,x_2$,则方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$,即$ax^2 -a(x_1+x_2)x +ax_1x_2=0$,与原方程系数进行比较,可得根与系数的等量关系为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
问题解决
(1)若关于$x$的一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$)的左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$,则方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根分别为$x_1=$
(2)若关于$x$的一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根为$x_1,x_2,x_3$,请探究$x_1+x_2+x_3$,$x_1· x_2· x_3$与系数$a,b,c,d$之间的等量关系。
(3)利用上一任务的结论解决:若方程$2x^3+x^2-7x-6=0$的三个根为$α,β,\gamma$,求$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}$的值。
探究一元三次方程根与系数的关系
素材1
一元三次方程的定义
我们把两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程,它的一般形式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$)。
素材2
一元三次方程的解法
若一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a≠0$)的左边在实数范围内可因式分解为$a(x-p)(x-q)(x-r)$($p,q,r$为实数),即原方程化为$a(x-p)(x-q)(x-r)=0$,则得方程的根为$x_1=p$,$x_2=q$,$x_3=r$。
素材3
一元二次方程根与系数的关系的探究过程
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a≠0$)有两个根$x_1,x_2$,则方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$,即$ax^2 -a(x_1+x_2)x +ax_1x_2=0$,与原方程系数进行比较,可得根与系数的等量关系为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
问题解决
(1)若关于$x$的一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$)的左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$,则方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根分别为$x_1=$
1
,$x_2=$-2
,$x_3=$3
。(2)若关于$x$的一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根为$x_1,x_2,x_3$,请探究$x_1+x_2+x_3$,$x_1· x_2· x_3$与系数$a,b,c,d$之间的等量关系。
(3)利用上一任务的结论解决:若方程$2x^3+x^2-7x-6=0$的三个根为$α,β,\gamma$,求$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}$的值。
答案
24.(1)1 -2 3 解析:因为$a(x-1)(x+2)(x-3)=0$,且$a≠0$,所以$x-1=0$或$x+2=0$或$x-3=0$,$x_1=1$,$x_2=-2$,$x_3=3$,故答案为:1;-2;3。
(2)由题意可知,原方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,展开整理得$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3=0$,与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$比较,可得$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,$x_1·x_2·x_3=-\frac{d}{a}$。
(3)利用上题结论可知:$α+β+γ=-\frac{1}{2}$,$αβγ=-\frac{-6}{2}=3$,所以$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{βγ}+\frac{1}{αγ}=\frac{α+β+γ}{αβγ}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$。
(2)由题意可知,原方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,展开整理得$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3=0$,与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$比较,可得$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,$x_1·x_2·x_3=-\frac{d}{a}$。
(3)利用上题结论可知:$α+β+γ=-\frac{1}{2}$,$αβγ=-\frac{-6}{2}=3$,所以$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{βγ}+\frac{1}{αγ}=\frac{α+β+γ}{αβγ}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
本题分三个问题逐步探究：1. 第(1)题依据素材2中一元三次方程因式分解后的根的定义，直接对应因式的解得到根；2. 第(2)题类比一元二次方程根与系数关系的探究方法，展开分解后的三次式，与原方程对比系数推导等量关系；3. 第(3)题利用第(2)题的结论，先求出根的和与积，再将所求分式通分变形后代入计算。
【解析】
(1) 根据素材2，一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)=0$（$a≠0$），则方程的根满足$x-1=0$或$x+2=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$，$x_3=3$。
(2) 已知一元三次方程的三个根为$x_1,x_2,x_3$，则原方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$，将左边展开：
$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=ax^3 - a(x_1+x_2+x_3)x^2 + a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$
与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比系数，可得：
$-a(x_1+x_2+x_3)=b$，即$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$；
$-ax_1x_2x_3=d$，即$x_1·x_2·x_3=-\frac{d}{a}$。
(3) 对于方程$2x^3+x^2-7x-6=0$，其中$a=2$，$b=1$，$d=-6$，三个根为$α,β,γ$，根据第(2)题结论：
$α+β+γ=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$αβγ=-\frac{d}{a}=3$；
对$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{βγ}+\frac{1}{αγ}$通分得$\frac{α+β+γ}{αβγ}$，代入得：
原式$=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $1$；$-2$；$3$
(2) $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2·x_3=-\frac{d}{a}$
(3) $-\frac{1}{6}$
【知识点】
一元三次方程解法；根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程韦达定理的拓展探究题，通过类比推理推导一元三次方程根与系数的关系，既考查因式分解解方程的方法，又锻炼知识迁移能力，属于探究性拓展题型，有助于培养逻辑思维。
【难度系数】
0.5
本题分三个问题逐步探究：1. 第(1)题依据素材2中一元三次方程因式分解后的根的定义，直接对应因式的解得到根；2. 第(2)题类比一元二次方程根与系数关系的探究方法，展开分解后的三次式，与原方程对比系数推导等量关系；3. 第(3)题利用第(2)题的结论，先求出根的和与积，再将所求分式通分变形后代入计算。
【解析】
(1) 根据素材2，一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)=0$（$a≠0$），则方程的根满足$x-1=0$或$x+2=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$，$x_3=3$。
(2) 已知一元三次方程的三个根为$x_1,x_2,x_3$，则原方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$，将左边展开：
$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=ax^3 - a(x_1+x_2+x_3)x^2 + a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$
与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比系数，可得：
$-a(x_1+x_2+x_3)=b$，即$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$；
$-ax_1x_2x_3=d$，即$x_1·x_2·x_3=-\frac{d}{a}$。
(3) 对于方程$2x^3+x^2-7x-6=0$，其中$a=2$，$b=1$，$d=-6$，三个根为$α,β,γ$，根据第(2)题结论：
$α+β+γ=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$αβγ=-\frac{d}{a}=3$；
对$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{βγ}+\frac{1}{αγ}$通分得$\frac{α+β+γ}{αβγ}$，代入得：
原式$=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $1$；$-2$；$3$
(2) $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2·x_3=-\frac{d}{a}$
(3) $-\frac{1}{6}$
【知识点】
一元三次方程解法；根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程韦达定理的拓展探究题，通过类比推理推导一元三次方程根与系数的关系，既考查因式分解解方程的方法，又锻炼知识迁移能力，属于探究性拓展题型，有助于培养逻辑思维。
【难度系数】
0.5
