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1.(真题·杭州滨江)下列方程中,属于一元二次方程的是 (
A.$(3x-1)(x+2)=1$
B.$3x+2=0$
C.$3x+y=0$
D.$2x^2-\dfrac{1}{x}=0$
A
)A.$(3x-1)(x+2)=1$
B.$3x+2=0$
C.$3x+y=0$
D.$2x^2-\dfrac{1}{x}=0$
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程，需先明确其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。需从“一个未知数”“最高次数2”“整式方程”三个条件逐一排查选项。
【解析】
根据一元二次方程的定义分析各选项：
选项A：将左边展开并整理，$(3x-1)(x+2)=3x^2+6x-x-2=3x^2+5x-2$，原方程为$3x^2+5x-2=1$，即$3x^2+5x-3=0$，满足“一个未知数、最高次数2、整式方程”，属于一元二次方程；
选项B：$3x+2=0$中未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除；
选项C：$3x+y=0$含有两个未知数，是二元一次方程，排除；
选项D：$2x^2-\dfrac{1}{x}=0$的分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，排除。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的基础定义，需准确把握定义的三个核心要素，逐一排查即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程，需先明确其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。需从“一个未知数”“最高次数2”“整式方程”三个条件逐一排查选项。
【解析】
根据一元二次方程的定义分析各选项：
选项A：将左边展开并整理，$(3x-1)(x+2)=3x^2+6x-x-2=3x^2+5x-2$，原方程为$3x^2+5x-2=1$，即$3x^2+5x-3=0$，满足“一个未知数、最高次数2、整式方程”，属于一元二次方程；
选项B：$3x+2=0$中未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除；
选项C：$3x+y=0$含有两个未知数，是二元一次方程，排除；
选项D：$2x^2-\dfrac{1}{x}=0$的分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，排除。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的基础定义，需准确把握定义的三个核心要素，逐一排查即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2.(真题·杭州拱墅)关于$x$的方程$x^2 - mx - 1 = 0$根的情况是
…………………………………………………………………………（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
…………………………………………………………………………（
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式规则：$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。接下来确定本题方程的$a、b、c$值，代入计算判别式并判断符号，即可得出根的情况，选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。本题方程$x^2 - mx - 1 = 0$中，$a=1$，$b=-m$，$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta=(-m)^2 - 4×1×(-1)=m^2 + 4$
因为任何实数的平方均为非负数，即$m^2≥0$，所以$m^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，解题关键是牢记判别式公式并准确计算，难度较低，适合初中学生巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式规则：$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。接下来确定本题方程的$a、b、c$值，代入计算判别式并判断符号，即可得出根的情况，选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。本题方程$x^2 - mx - 1 = 0$中，$a=1$，$b=-m$，$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta=(-m)^2 - 4×1×(-1)=m^2 + 4$
因为任何实数的平方均为非负数，即$m^2≥0$，所以$m^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，解题关键是牢记判别式公式并准确计算，难度较低，适合初中学生巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
3.(真题·舟山定海)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + 2 = 0$的一个根是$x = -2$，则$a = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$（
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义：若一个数是一元二次方程的根，将其代入方程后等式成立。因此，只需把已知根$x=-2$代入给定方程，得到关于$a$的一元一次方程，解此方程即可求出$a$的值，进而选出正确选项。
【解析】
将$x=-2$代入方程$x^2 + ax + 2 = 0$，得：
$(-2)^2 + a×(-2) + 2 = 0$
计算化简：
$4 - 2a + 2 = 0$
合并同类项：
$6 - 2a = 0$
移项得：
$2a = 6$
解得：
$a = 3$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根、代入法求参数
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，解题思路直接，仅需代入计算即可，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义：若一个数是一元二次方程的根，将其代入方程后等式成立。因此，只需把已知根$x=-2$代入给定方程，得到关于$a$的一元一次方程，解此方程即可求出$a$的值，进而选出正确选项。
【解析】
将$x=-2$代入方程$x^2 + ax + 2 = 0$，得：
$(-2)^2 + a×(-2) + 2 = 0$
计算化简：
$4 - 2a + 2 = 0$
合并同类项：
$6 - 2a = 0$
移项得：
$2a = 6$
解得：
$a = 3$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根、代入法求参数
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，解题思路直接，仅需代入计算即可，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
4.(真题·温州苍南)用配方法解方程$x^2 - 6x + 5 = 0$时,配方结果正确的是 ……………………………………………………（
A.$(x - 3)^2 = 14$
B.$(x - 3)^2 = 4$
C.$(x + 3)^2 = 14$
D.$(x + 3)^2 = 4$
B
）A.$(x - 3)^2 = 14$
B.$(x - 3)^2 = 4$
C.$(x + 3)^2 = 14$
D.$(x + 3)^2 = 4$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需掌握配方法解一元二次方程的核心步骤：先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左侧转化为完全平方式，最后对比选项确定正确结果。
【解析】
用配方法解方程$x^2 -6x +5=0$，步骤如下：
1. 移项：把常数项$5$移到等号右边，得到$x^2 -6x = -5$；
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半是$-3$，平方为$(-3)^2=9$，在方程两边同时加$9$，得$x^2 -6x +9 = -5 +9$；
3. 化简：左侧根据完全平方公式化为$(x-3)^2$，右侧计算结果为$4$，即$(x-3)^2=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础操作，属于一元二次方程解法的核心基础题，只要熟练掌握配方法的基本步骤，就能快速得出正确答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需掌握配方法解一元二次方程的核心步骤：先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左侧转化为完全平方式，最后对比选项确定正确结果。
【解析】
用配方法解方程$x^2 -6x +5=0$，步骤如下：
1. 移项：把常数项$5$移到等号右边，得到$x^2 -6x = -5$；
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半是$-3$，平方为$(-3)^2=9$，在方程两边同时加$9$，得$x^2 -6x +9 = -5 +9$；
3. 化简：左侧根据完全平方公式化为$(x-3)^2$，右侧计算结果为$4$，即$(x-3)^2=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础操作，属于一元二次方程解法的核心基础题，只要熟练掌握配方法的基本步骤，就能快速得出正确答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 6x + 3 = 0$的两个实数根，则$x_1x_2$的值为 ……………………………………………………………（
A.6
B.$-6$
C.$-3$
D.3
D
）A.6
B.$-6$
C.$-3$
D.3
答案
D
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路是：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$，只需确定题目中方程的二次项系数$a$和常数项$c$，代入公式计算即可得到结果。
【解析】对于一元二次方程$x^2 -6x +3=0$，其中二次项系数$a=1$，常数项$c=3$。根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题直接考查韦达定理的基础应用，属于一元二次方程章节的基础题型，只要牢记公式就能快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$x^2 -6x +3=0$，其中二次项系数$a=1$，常数项$c=3$。根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题直接考查韦达定理的基础应用，属于一元二次方程章节的基础题型，只要牢记公式就能快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8
6.(真题·金华义乌)据相关统计,2022年中国新能源汽车销售量约688万辆,2024年中国新能源汽车销售量约1286万辆。设从2022年至2024年的年平均增长率为$ x $,则所列方程正确的是
…………………………………………………………（
A.$ 688(1+x)^2 = 1286 $
B.$ 688(1-x)^2 = 1286 $
C.$ 1286(1+x)^2 = 688 $
D.$ 1286(1-x)^2 = 688 $
…………………………………………………………（
A
）A.$ 688(1+x)^2 = 1286 $
B.$ 688(1-x)^2 = 1286 $
C.$ 1286(1+x)^2 = 688 $
D.$ 1286(1-x)^2 = 688 $
答案
A
解析
【分析】本题是增长率相关的一元二次方程应用题，解题思路是：首先明确年平均增长率的含义，以及从2022年到2024年的时间间隔（共2年）；再根据“初始量×(1+增长率)^年数=最终量”的公式，结合题目给出的2022年和2024年的销售量，列出对应方程，最后匹配选项得出答案。
【解析】设年平均增长率为$x$，2022年销售量为688万辆，经过1年（2023年）的销售量为$688(1+x)$万辆；再经过1年（2024年），销售量为$688(1+x)(1+x)=688(1+x)^2$万辆。已知2024年销售量约1286万辆，因此所列方程为$688(1+x)^2=1286$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查一元二次方程在增长率问题中的基础应用，核心是掌握“增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的公式，需注意区分增长与减少的表达式（本题为增长率，用$(1+x)$而非$(1-x)$），属于易得分的基础题型。
【难度系数】0.3
【解析】设年平均增长率为$x$，2022年销售量为688万辆，经过1年（2023年）的销售量为$688(1+x)$万辆；再经过1年（2024年），销售量为$688(1+x)(1+x)=688(1+x)^2$万辆。已知2024年销售量约1286万辆，因此所列方程为$688(1+x)^2=1286$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查一元二次方程在增长率问题中的基础应用，核心是掌握“增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的公式，需注意区分增长与减少的表达式（本题为增长率，用$(1+x)$而非$(1-x)$），属于易得分的基础题型。
【难度系数】0.3
7.(真题·舟山定海)《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地，
抵地处离竹子底部4尺远(如图),则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈＝10尺)如果我们假设折断后的竹子高度为x尺,根据题意,可列方程为 …………………………（
A.$x^{2}+4^{2}=10^{2}$
B.$(10-x)^{2}+4^{2}=10^{2}$
C.$(10-x)^{2}+4^{2}=x^{2}$
D.$x^{2}+4^{2}=(10-x)^{2}$
抵地处离竹子底部4尺远(如图),则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈＝10尺)如果我们假设折断后的竹子高度为x尺,根据题意,可列方程为 …………………………（
D
）A.$x^{2}+4^{2}=10^{2}$
B.$(10-x)^{2}+4^{2}=10^{2}$
C.$(10-x)^{2}+4^{2}=x^{2}$
D.$x^{2}+4^{2}=(10-x)^{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题是勾股定理的实际应用问题，核心是将“折竹抵地”的实际场景转化为直角三角形模型。首先明确各边的长度：竹子原高1丈=10尺，设折断后的垂直高度为x尺，则折断部分为斜边，长度为(10-x)尺；竹子底部到抵地处的距离是另一条直角边，长度为4尺。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此可列出对应方程，进而选出正确选项。
【解析】
已知1丈=10尺，设折断后的竹子高度为x尺，则折断部分（直角三角形的斜边）长度为(10-x)尺；竹子底部到抵地处的距离（直角三角形的一条直角边）为4尺，折断后的竹子（另一条直角边）为x尺。根据勾股定理：直角边² + 直角边² = 斜边²，代入得方程：$x^2 + 4^2 = (10-x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理应用、实际问题建模
【点评】
本题是经典的“折竹抵地”问题，属于勾股定理在实际生活中的基础应用，关键在于将实际场景转化为直角三角形模型，明确各边的对应关系，难度较低，是初中数学的常考基础题。
【难度系数】
0.6
本题是勾股定理的实际应用问题，核心是将“折竹抵地”的实际场景转化为直角三角形模型。首先明确各边的长度：竹子原高1丈=10尺，设折断后的垂直高度为x尺，则折断部分为斜边，长度为(10-x)尺；竹子底部到抵地处的距离是另一条直角边，长度为4尺。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此可列出对应方程，进而选出正确选项。
【解析】
已知1丈=10尺，设折断后的竹子高度为x尺，则折断部分（直角三角形的斜边）长度为(10-x)尺；竹子底部到抵地处的距离（直角三角形的一条直角边）为4尺，折断后的竹子（另一条直角边）为x尺。根据勾股定理：直角边² + 直角边² = 斜边²，代入得方程：$x^2 + 4^2 = (10-x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理应用、实际问题建模
【点评】
本题是经典的“折竹抵地”问题，属于勾股定理在实际生活中的基础应用，关键在于将实际场景转化为直角三角形模型，明确各边的对应关系，难度较低，是初中数学的常考基础题。
【难度系数】
0.6
