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8.(真题·嘉兴)已知关于$ x $的方程$ a(x - m)^2 + k = 0 $（$ a,m,k $均为常数，且$ a≠0 $）的两个解是$ x_1 = 1,x_2 = 4 $，则方程$ a(x - m - 2)^2 + k = 0 $的解是………………………………………………（
A.$ x_1 = 1,x_2 = -2 $
B.$ x_1 = 3,x_2 = 6 $
C.$ x_1 = 1,x_2 = 4 $
D.$ x_1 = -1,x_2 = 2 $
B
）A.$ x_1 = 1,x_2 = -2 $
B.$ x_1 = 3,x_2 = 6 $
C.$ x_1 = 1,x_2 = 4 $
D.$ x_1 = -1,x_2 = 2 $
答案
B 解析:因为关于x的方程$a(x-m)^2 +k=0$(a,m,k均为常数,且a≠0)的两个解是$x_1=1,x_2=4$,所以方程$a(x-m-2)^2 +k=0$中$x-2=1$或$x-2=4$,解得$x_1=3,x_2=6$,故选:B。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可利用整体代换的思想，对比两个方程的结构差异。已知方程$a(x - m)^2 + k = 0$的解，观察所求方程$a(x - m - 2)^2 + k = 0$，发现两个方程仅括号内的常数项不同：所求方程括号内是$(x - m - 2)$，相当于原方程括号内的$(x - m)$整体减去2，因此只需将原方程的解分别加2，即可快速得到所求方程的解。
【解析】
1. 对已知方程变形：由$a(x - m)^2 + k = 0$（$a≠0$），移项得$(x - m)^2 = -\frac{k}{a}$，因此该方程的解满足$x - m = ±\sqrt{-\frac{k}{a}}$，即原方程的解为$x = m ± \sqrt{-\frac{k}{a}}$，已知解为$x_1=1$、$x_2=4$。
2. 对所求方程变形：方程$a(x - m - 2)^2 + k = 0$移项得$(x - m - 2)^2 = -\frac{k}{a}$，因此该方程的解满足$x - m - 2 = ±\sqrt{-\frac{k}{a}}$，整理得$x = m + 2 ± \sqrt{-\frac{k}{a}}$。
3. 代入求解：将原方程的解代入，取正号时$x = (m + \sqrt{-\frac{k}{a}}) + 2 = 4 + 2 = 6$，取负号时$x = (m - \sqrt{-\frac{k}{a}}) + 2 = 1 + 2 = 3$，故所求方程的解为$x_1=3$、$x_2=6$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；整体代换思想
【点评】
本题考查一元二次方程解的性质，核心是利用整体代换简化运算，无需计算参数的具体值，体现了数学整体思想的应用，属于基础题型，侧重考查学生对方程结构的观察能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可利用整体代换的思想，对比两个方程的结构差异。已知方程$a(x - m)^2 + k = 0$的解，观察所求方程$a(x - m - 2)^2 + k = 0$，发现两个方程仅括号内的常数项不同：所求方程括号内是$(x - m - 2)$，相当于原方程括号内的$(x - m)$整体减去2，因此只需将原方程的解分别加2，即可快速得到所求方程的解。
【解析】
1. 对已知方程变形：由$a(x - m)^2 + k = 0$（$a≠0$），移项得$(x - m)^2 = -\frac{k}{a}$，因此该方程的解满足$x - m = ±\sqrt{-\frac{k}{a}}$，即原方程的解为$x = m ± \sqrt{-\frac{k}{a}}$，已知解为$x_1=1$、$x_2=4$。
2. 对所求方程变形：方程$a(x - m - 2)^2 + k = 0$移项得$(x - m - 2)^2 = -\frac{k}{a}$，因此该方程的解满足$x - m - 2 = ±\sqrt{-\frac{k}{a}}$，整理得$x = m + 2 ± \sqrt{-\frac{k}{a}}$。
3. 代入求解：将原方程的解代入，取正号时$x = (m + \sqrt{-\frac{k}{a}}) + 2 = 4 + 2 = 6$，取负号时$x = (m - \sqrt{-\frac{k}{a}}) + 2 = 1 + 2 = 3$，故所求方程的解为$x_1=3$、$x_2=6$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；整体代换思想
【点评】
本题考查一元二次方程解的性质，核心是利用整体代换简化运算，无需计算参数的具体值，体现了数学整体思想的应用，属于基础题型，侧重考查学生对方程结构的观察能力。
【难度系数】
0.7
9.(真题·金华永康)写一个二次项系数为1，两根分别为-2和3的一元二次方程：______。
答案
$(x+2)(x-3)=0$或$x^2-x-6=0$
解析
【分析】
要构造二次项系数为1、两根为-2和3的一元二次方程，可利用一元二次方程的根与因式分解的关系：若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$(x - x_1)(x - x_2)=0$，代入两根后即可构造出方程，展开后也可得到一般形式，且二次项系数为1，符合题目要求。
【解析】
已知一元二次方程的两根为$-2$和$3$，根据根与因式的对应关系，将$x_1=-2$，$x_2=3$代入$(x - x_1)(x - x_2)=0$，可得：
$(x - (-2))(x - 3)=0$，即$(x + 2)(x - 3)=0$；
将其展开为一般形式：$x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 = 0$，该方程二次项系数为1，满足题目条件。
【答案】
$(x+2)(x-3)=0$或$x^2 - x - 6 = 0$
【知识点】
一元二次方程的构造；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的构造，利用根与因式的对应关系即可快速求解，属于基础题型，侧重对基础知识的应用。
【难度系数】
0.8
要构造二次项系数为1、两根为-2和3的一元二次方程，可利用一元二次方程的根与因式分解的关系：若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$(x - x_1)(x - x_2)=0$，代入两根后即可构造出方程，展开后也可得到一般形式，且二次项系数为1，符合题目要求。
【解析】
已知一元二次方程的两根为$-2$和$3$，根据根与因式的对应关系，将$x_1=-2$，$x_2=3$代入$(x - x_1)(x - x_2)=0$，可得：
$(x - (-2))(x - 3)=0$，即$(x + 2)(x - 3)=0$；
将其展开为一般形式：$x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 = 0$，该方程二次项系数为1，满足题目条件。
【答案】
$(x+2)(x-3)=0$或$x^2 - x - 6 = 0$
【知识点】
一元二次方程的构造；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的构造，利用根与因式的对应关系即可快速求解，属于基础题型，侧重对基础知识的应用。
【难度系数】
0.8
10.已知两个连续正奇数的积是143,设其中较小的正奇数是x,可列方程为________。
答案
$x(x+2)=143$
解析
【分析】
要列出方程，需先明确连续正奇数的数量关系：相邻的两个正奇数相差2。已知较小的正奇数是x，那么较大的连续正奇数为x+2，再根据“两个数的积是143”这一等量关系即可列出方程。
【解析】
设较小的正奇数为x，因为两个数是连续正奇数，所以较大的正奇数为x+2，根据它们的积为143，可列方程为x(x+2)=143。
【答案】
$x(x+2)=143$
【知识点】
一元二次方程应用、奇数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的实际应用，核心是掌握连续奇数的差值规律，属于基础题型，侧重考查学生对等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.8
要列出方程，需先明确连续正奇数的数量关系：相邻的两个正奇数相差2。已知较小的正奇数是x，那么较大的连续正奇数为x+2，再根据“两个数的积是143”这一等量关系即可列出方程。
【解析】
设较小的正奇数为x，因为两个数是连续正奇数，所以较大的正奇数为x+2，根据它们的积为143，可列方程为x(x+2)=143。
【答案】
$x(x+2)=143$
【知识点】
一元二次方程应用、奇数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的实际应用，核心是掌握连续奇数的差值规律，属于基础题型，侧重考查学生对等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.8
11.已知方程$x^2 - 4x + 1 = 0$的两根为$x_1,x_2$，则$(2+x_1)(2+x_2)=$
13
。答案
13
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路为：①根据韦达定理求出已知方程两根的和与积；②将所求代数式展开变形，转化为用两根和与积表示的形式；③代入数值计算得出结果。
【解析】解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 -4x +1=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
将代数式$(2+x_1)(2+x_2)$展开：
$(2+x_1)(2+x_2)=4 + 2x_1 + 2x_2 + x_1x_2=4 + 2(x_1+x_2) + x_1x_2$。
代入$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=1$计算：
原式$=4 + 2×4 +1=13$。
【答案】13
【知识点】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代数式求值
【点评】本题是一元二次方程章节的基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是正确展开代数式并准确运用韦达定理，整体难度较低，属于学生需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】0.7
【解析】解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 -4x +1=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
将代数式$(2+x_1)(2+x_2)$展开：
$(2+x_1)(2+x_2)=4 + 2x_1 + 2x_2 + x_1x_2=4 + 2(x_1+x_2) + x_1x_2$。
代入$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=1$计算：
原式$=4 + 2×4 +1=13$。
【答案】13
【知识点】一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代数式求值
【点评】本题是一元二次方程章节的基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是正确展开代数式并准确运用韦达定理，整体难度较低，属于学生需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】0.7
12.(真题·宁波镇海)某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件。据此，当销售单价为
80
元时，网店该商品每天盈利最多。答案
80 解析:设销售单价为x元(x＞60),销售量为100-2(x-60)=(220-2x)件,则每天盈利为:
$(x-50)(220-2x)=-2x^2+320x-11000=-2(x-80)^2+1800$,因为$-2(x-80)^2≤0$,所以$-2(x-80)^2+1800≤1800$,所以当x=80时,网店该商品每天盈利最多,即销售单价为80元时,网店该商品每天盈利最多。故答案为:80。
$(x-50)(220-2x)=-2x^2+320x-11000=-2(x-80)^2+1800$,因为$-2(x-80)^2≤0$,所以$-2(x-80)^2+1800≤1800$,所以当x=80时,网店该商品每天盈利最多,即销售单价为80元时,网店该商品每天盈利最多。故答案为:80。
解析
【分析】
要解决这个问题，需紧扣“每天盈利=每件利润×日销售量”的核心关系。首先设销售单价为$x$元（$x＞60$），根据题目中“售价高于60元时，每涨价1元日销量减少2件”的条件，先推导日销售量的表达式；再结合每件利润（售价-成本），建立每天盈利的函数；最后利用二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值），求出盈利最大时的销售单价。
【解析】
设销售单价为$x$元（$x＞60$），
1. 计算日销售量：售价从60元涨到$x$元，涨价了$(x-60)$元，每涨价1元销量减少2件，因此日销售量为$100 - 2(x-60) = 220 - 2x$件；
2. 建立盈利函数：每件利润为$(x - 50)$元，故每天盈利$y = (x - 50)(220 - 2x)$；
3. 化简函数并求最大值：
$\begin{aligned}y&=(x - 50)(220 - 2x)\\&=-2x^2 + 320x - 11000\\&=-2(x - 80)^2 + 1800\end{aligned}$
由于二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，当$x=80$时，$y$取得最大值。
【答案】
80
【知识点】
二次函数的应用；利润问题
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的典型应用，核心是正确推导盈利的函数关系式，需熟练掌握利润公式和二次函数最值的求解方法，属于中考常见的基础应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需紧扣“每天盈利=每件利润×日销售量”的核心关系。首先设销售单价为$x$元（$x＞60$），根据题目中“售价高于60元时，每涨价1元日销量减少2件”的条件，先推导日销售量的表达式；再结合每件利润（售价-成本），建立每天盈利的函数；最后利用二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值），求出盈利最大时的销售单价。
【解析】
设销售单价为$x$元（$x＞60$），
1. 计算日销售量：售价从60元涨到$x$元，涨价了$(x-60)$元，每涨价1元销量减少2件，因此日销售量为$100 - 2(x-60) = 220 - 2x$件；
2. 建立盈利函数：每件利润为$(x - 50)$元，故每天盈利$y = (x - 50)(220 - 2x)$；
3. 化简函数并求最大值：
$\begin{aligned}y&=(x - 50)(220 - 2x)\\&=-2x^2 + 320x - 11000\\&=-2(x - 80)^2 + 1800\end{aligned}$
由于二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，当$x=80$时，$y$取得最大值。
【答案】
80
【知识点】
二次函数的应用；利润问题
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的典型应用，核心是正确推导盈利的函数关系式，需熟练掌握利润公式和二次函数最值的求解方法，属于中考常见的基础应用题。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.小李与小王两位同学解方程$2(x-2)=(x-2)^2$的过程如下框：
小李：
解:两边同除以$(x-2)$,得
$2=x-2$,则$x=4$。
小王：
解:移项,得$2(x-2)-(x-2)^2=0$,
提公因式,得$(x-2)(2-x-2)=0$。
则$x-2=0$或$2-x-2=0$,
解得$x_1=2,x_2=0$。
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程。
13.小李与小王两位同学解方程$2(x-2)=(x-2)^2$的过程如下框：
小李：
解:两边同除以$(x-2)$,得
$2=x-2$,则$x=4$。
小王：
解:移项,得$2(x-2)-(x-2)^2=0$,
提公因式,得$(x-2)(2-x-2)=0$。
则$x-2=0$或$2-x-2=0$,
解得$x_1=2,x_2=0$。
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程。
答案
小李和小王的解法都错误。
解答过程:移项,得$2(x-2)-(x-2)^2=0$,
提取公因式,得$(x-2)[2-(x-2)]=0$,
整理,得$(x-2)(4-x)=0$,
则$x-2=0$或$4-x=0$,
解得$x_1=2,x_2=4$。
解答过程:移项,得$2(x-2)-(x-2)^2=0$,
提取公因式,得$(x-2)[2-(x-2)]=0$,
整理,得$(x-2)(4-x)=0$,
则$x-2=0$或$4-x=0$,
解得$x_1=2,x_2=4$。
解析
【分析】
首先判断小李和小王的解法：小李直接在方程两边除以含未知数的式子$(x-2)$，忽略了$x-2$可能为0的情况，此时除以0无意义，会丢失根，故小李错误；小王提取公因式时变形错误，将$2-(x-2)$错算为$2-x-2$，导致根计算错误，故小王也错误。正确思路是：先移项，再提取公因式转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别求解一次方程得到原方程的根。
【解析】
小李的解法错误，错误原因：方程两边不能直接除以含未知数的整式$(x-2)$，当$x-2=0$时该式无意义，会丢失$x=2$这个根；
小王的解法错误，错误原因：提取公因式时对括号内的式子变形错误，正确应为$[2-(x-2)]$，而非$(2-x-2)$，导致根计算错误；
正确解答过程：
移项，得：$2(x-2)-(x-2)^2=0$，
提取公因式$(x-2)$，得：$(x-2)[2-(x-2)]=0$，
整理括号内式子：$(x-2)(4-x)=0$，
则$x-2=0$或$4-x=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=4$。
【答案】
小李：×；小王：×；正确解为$x_1=2$，$x_2=4$
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）、公因式的提取
【点评】
解一元二次方程时，采用因式分解法需注意不能随意除以含未知数的整式，避免丢失使该整式为0的根；提取公因式时要准确处理括号内的符号，是此类题的易错点，需仔细计算。
【难度系数】
0.5
首先判断小李和小王的解法：小李直接在方程两边除以含未知数的式子$(x-2)$，忽略了$x-2$可能为0的情况，此时除以0无意义，会丢失根，故小李错误；小王提取公因式时变形错误，将$2-(x-2)$错算为$2-x-2$，导致根计算错误，故小王也错误。正确思路是：先移项，再提取公因式转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别求解一次方程得到原方程的根。
【解析】
小李的解法错误，错误原因：方程两边不能直接除以含未知数的整式$(x-2)$，当$x-2=0$时该式无意义，会丢失$x=2$这个根；
小王的解法错误，错误原因：提取公因式时对括号内的式子变形错误，正确应为$[2-(x-2)]$，而非$(2-x-2)$，导致根计算错误；
正确解答过程：
移项，得：$2(x-2)-(x-2)^2=0$，
提取公因式$(x-2)$，得：$(x-2)[2-(x-2)]=0$，
整理括号内式子：$(x-2)(4-x)=0$，
则$x-2=0$或$4-x=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=4$。
【答案】
小李：×；小王：×；正确解为$x_1=2$，$x_2=4$
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）、公因式的提取
【点评】
解一元二次方程时，采用因式分解法需注意不能随意除以含未知数的整式，避免丢失使该整式为0的根；提取公因式时要准确处理括号内的符号，是此类题的易错点，需仔细计算。
【难度系数】
0.5
