登录
14.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + 2m + 1 = 0$有实数根。
(1)求$m$的取值范围。
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$，且$2x_1x_2 + x_1 + x_2 = 20$，求$m$的值。
(1)求$m$的取值范围。
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$，且$2x_1x_2 + x_1 + x_2 = 20$，求$m$的值。
答案
(1)根据题意,得$\Delta=(-6)^2-4(2m+1)≥0$,解得$m≤4$。
(2)根据题意,得$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=2m+1$。因为$2x_1x_2+x_1+x_2=20$,所以$2(2m+1)+6=20$,解得$m=3$。因为$m≤4$,所以$m$的值为3。
(2)根据题意,得$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=2m+1$。因为$2x_1x_2+x_1+x_2=20$,所以$2(2m+1)+6=20$,解得$m=3$。因为$m≤4$,所以$m$的值为3。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程有实数根的条件（判别式Δ≥0）求m的取值范围；第(2)问需结合韦达定理（根与系数的关系），将已知的两根和与积的等式转化为关于m的方程，求解后再结合第(1)问的m范围确定最终值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），有实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。本题方程为$x^2 - 6x + 2m + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=2m+1$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m + 1) ≥ 0$
计算得：$36 - 8m - 4 ≥ 0$，即$32 - 8m ≥ 0$，解得$m ≤ 4$。
(2) 根据韦达定理，一元二次方程的两根$x_1, x_2$满足$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，因此本题中：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$。
将其代入$2x_1x_2 + x_1 + x_2 = 20$，得：
$2(2m + 1) + 6 = 20$
展开计算：$4m + 2 + 6 = 20$，即$4m + 8 = 20$，解得$m = 3$。
结合第(1)问中$m ≤ 4$，可知$m=3$符合条件。
【答案】
(1) $m ≤ 4$；(2) $m = 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程的基础知识点，通过判别式判断根的情况，结合韦达定理求解参数，步骤清晰，是常规基础题型，适合巩固一元二次方程的核心考点。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程有实数根的条件（判别式Δ≥0）求m的取值范围；第(2)问需结合韦达定理（根与系数的关系），将已知的两根和与积的等式转化为关于m的方程，求解后再结合第(1)问的m范围确定最终值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），有实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。本题方程为$x^2 - 6x + 2m + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=2m+1$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m + 1) ≥ 0$
计算得：$36 - 8m - 4 ≥ 0$，即$32 - 8m ≥ 0$，解得$m ≤ 4$。
(2) 根据韦达定理，一元二次方程的两根$x_1, x_2$满足$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，因此本题中：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$。
将其代入$2x_1x_2 + x_1 + x_2 = 20$，得：
$2(2m + 1) + 6 = 20$
展开计算：$4m + 2 + 6 = 20$，即$4m + 8 = 20$，解得$m = 3$。
结合第(1)问中$m ≤ 4$，可知$m=3$符合条件。
【答案】
(1) $m ≤ 4$；(2) $m = 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程的基础知识点，通过判别式判断根的情况，结合韦达定理求解参数，步骤清晰，是常规基础题型，适合巩固一元二次方程的核心考点。
【难度系数】
0.7
15.(真题·绍兴新昌)某农户的西瓜,除了销售到县城,消费者还可以直接去农田采摘。该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了 600 千克,其中在县城销售了 200 千克,单价为 8 元/千克,剩余部分在农田采摘销售,单价为 6 元/千克。
(1)求该农户这一天销售西瓜的总收入。
(2)为扩大销售,该农户准备在县城适当降价,据测算,在县城销售的西瓜单价每降价 1 元,平均每天可多售出 60 千克。已知在农田采摘的单价和销售量保持不变,若要使该农户一天的销售总收入为 4300 元,则在县城销售的单价应降价多少元?
(1)求该农户这一天销售西瓜的总收入。
(2)为扩大销售,该农户准备在县城适当降价,据测算,在县城销售的西瓜单价每降价 1 元,平均每天可多售出 60 千克。已知在农田采摘的单价和销售量保持不变,若要使该农户一天的销售总收入为 4300 元,则在县城销售的单价应降价多少元?
答案
(1)$200×8+(600-200)×6=4000$(元),答:该农户这一天销售的总收入为4000元。
(2)设在县城销售的单价降价x元,则由题意得:$(8-x)(200+60x)+400×6=4300$,化简整理得:$3x^2-14x+15=0$,解得$x_1=3$,$x_2=\frac{5}{3}$,当$x_1=3$时,销售量为$200+60×3=380$(千克);当$x_2=\frac{5}{3}$时,销售量为$200+60×\frac{5}{3}=300$(千克),$380＞300$。因为要扩大销售,所以$x=3$。答:在县城销售的单价应降价3元。
(2)设在县城销售的单价降价x元,则由题意得:$(8-x)(200+60x)+400×6=4300$,化简整理得:$3x^2-14x+15=0$,解得$x_1=3$,$x_2=\frac{5}{3}$,当$x_1=3$时,销售量为$200+60×3=380$(千克);当$x_2=\frac{5}{3}$时,销售量为$200+60×\frac{5}{3}=300$(千克),$380＞300$。因为要扩大销售,所以$x=3$。答:在县城销售的单价应降价3元。
解析
【分析】
第(1)问：总收入由县城销售西瓜的收入和农田采摘销售西瓜的收入两部分构成，分别用“销量×单价”计算两部分收入，再求和即可得到总销售收入。
第(2)问：设县城销售的单价降价x元，此时县城的销售单价变为(8-x)元，因单价每降1元多售60千克，故县城销量为(200+60x)千克；农田采摘的单价和销量不变，仍为6元/千克、400千克。根据“一天销售总收入为4300元”的等量关系列方程，解方程后需结合“扩大销售”的要求，选择销量更大的解。
【解析】
(1) 县城销售西瓜的收入：$200×8 = 1600$（元）
农田采摘销售西瓜的收入：$(600 - 200)×6 = 2400$（元）
总收入：$1600 + 2400 = 4000$（元）
(2) 设在县城销售的单价降价$x$元，根据题意列方程：
$(8 - x)(200 + 60x) + 400×6 = 4300$
展开并整理方程：
$1600 + 480x - 200x - 60x² + 2400 = 4300$
$-60x² + 280x + 4000 = 4300$
$3x² - 14x + 15 = 0$
因式分解得：$(3x - 5)(x - 3) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{5}{3}$
当$x = 3$时，县城销量为$200 + 60×3 = 380$千克；当$x = \frac{5}{3}$时，县城销量为$200 + 60×\frac{5}{3} = 300$千克。
因要扩大销售，需选择销量更大的解，故$x = 3$。
【答案】
(1) 该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元；(2) 在县城销售的单价应降价3元。
【知识点】
一元二次方程的应用、销售问题
【点评】
本题结合实际销售场景考查数学应用能力，第(1)问为基础计算，难度较低；第(2)问需建立一元二次方程求解，关键在于理解“单价降价与销量的关联”，且需根据题目“扩大销售”的要求筛选合适的解，是易错点，整体考查学生的方程建模与实际问题分析能力。
【难度系数】
0.5
第(1)问：总收入由县城销售西瓜的收入和农田采摘销售西瓜的收入两部分构成，分别用“销量×单价”计算两部分收入，再求和即可得到总销售收入。
第(2)问：设县城销售的单价降价x元，此时县城的销售单价变为(8-x)元，因单价每降1元多售60千克，故县城销量为(200+60x)千克；农田采摘的单价和销量不变，仍为6元/千克、400千克。根据“一天销售总收入为4300元”的等量关系列方程，解方程后需结合“扩大销售”的要求，选择销量更大的解。
【解析】
(1) 县城销售西瓜的收入：$200×8 = 1600$（元）
农田采摘销售西瓜的收入：$(600 - 200)×6 = 2400$（元）
总收入：$1600 + 2400 = 4000$（元）
(2) 设在县城销售的单价降价$x$元，根据题意列方程：
$(8 - x)(200 + 60x) + 400×6 = 4300$
展开并整理方程：
$1600 + 480x - 200x - 60x² + 2400 = 4300$
$-60x² + 280x + 4000 = 4300$
$3x² - 14x + 15 = 0$
因式分解得：$(3x - 5)(x - 3) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{5}{3}$
当$x = 3$时，县城销量为$200 + 60×3 = 380$千克；当$x = \frac{5}{3}$时，县城销量为$200 + 60×\frac{5}{3} = 300$千克。
因要扩大销售，需选择销量更大的解，故$x = 3$。
【答案】
(1) 该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元；(2) 在县城销售的单价应降价3元。
【知识点】
一元二次方程的应用、销售问题
【点评】
本题结合实际销售场景考查数学应用能力，第(1)问为基础计算，难度较低；第(2)问需建立一元二次方程求解，关键在于理解“单价降价与销量的关联”，且需根据题目“扩大销售”的要求筛选合适的解，是易错点，整体考查学生的方程建模与实际问题分析能力。
【难度系数】
0.5
