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24.(真题·舟山定海)观察以下式子:记$ x_n^2=(1+n\sqrt{2})^2 $,则
①$ x_1^2 - x_0^2=(1+\sqrt{2})^2 - 1^2=(1+\sqrt{2}+1)(1+\sqrt{2}-1)=2+2\sqrt{2} $;
②$ x_2^2 - x_1^2=(1+2\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{2} $;……
(1)【计算观察】$ x_3^2 - x_2^2=\_\_\_\_\_\_ $;$ x_4^2 - x_3^2=\_\_\_\_\_\_ $。(直接写出结果即可)
(2)【归纳验证】猜想:$ x_n^2 - x_{n-1}^2=\_\_\_\_\_\_ $(n为正整数);并证明。
(3)【应用推广】令$ M_n=x_n^2 - x_{n-1}^2 $,计算$ M_1+M_2+M_3+\dots+M_{20} $的值。
①$ x_1^2 - x_0^2=(1+\sqrt{2})^2 - 1^2=(1+\sqrt{2}+1)(1+\sqrt{2}-1)=2+2\sqrt{2} $;
②$ x_2^2 - x_1^2=(1+2\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{2} $;……
(1)【计算观察】$ x_3^2 - x_2^2=\_\_\_\_\_\_ $;$ x_4^2 - x_3^2=\_\_\_\_\_\_ $。(直接写出结果即可)
(2)【归纳验证】猜想:$ x_n^2 - x_{n-1}^2=\_\_\_\_\_\_ $(n为正整数);并证明。
(3)【应用推广】令$ M_n=x_n^2 - x_{n-1}^2 $,计算$ M_1+M_2+M_3+\dots+M_{20} $的值。
答案
(1)$10+2\sqrt{2}$ $14+2\sqrt{2}$ 解析:$x_3^2-x_2^2=(1+3\sqrt{2})^2-(1+2\sqrt{2})^2=(1+3\sqrt{2}+1+2\sqrt{2})(1+3\sqrt{2}-1-2\sqrt{2})=(2+5\sqrt{2})×\sqrt{2}=10+2\sqrt{2}$;$x_4^2-x_3^2=(1+4\sqrt{2})^2-(1+3\sqrt{2})^2=(1+4\sqrt{2}+1+3\sqrt{2})(1+4\sqrt{2}-1-3\sqrt{2})=(2+7\sqrt{2})×\sqrt{2}=14+2\sqrt{2}$。
(2)$4n-2+2\sqrt{2}$ 证明如下:$x_n^2-x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2-[1+(n-1)\sqrt{2}]^2=[1+n\sqrt{2}+1+(n-1)\sqrt{2}][1+n\sqrt{2}-1-(n-1)\sqrt{2}]=[2+(2n-1)\sqrt{2}]×\sqrt{2}=4n-2+2\sqrt{2}$。
(3)$M_1+M_2+M_3+\dots+M_{20}=2+2\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}+10+2\sqrt{2}+\dots+78+2\sqrt{2}=\dfrac{(2+78)×20}{2}+20×2\sqrt{2}=40\sqrt{2}+800$。
(2)$4n-2+2\sqrt{2}$ 证明如下:$x_n^2-x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2-[1+(n-1)\sqrt{2}]^2=[1+n\sqrt{2}+1+(n-1)\sqrt{2}][1+n\sqrt{2}-1-(n-1)\sqrt{2}]=[2+(2n-1)\sqrt{2}]×\sqrt{2}=4n-2+2\sqrt{2}$。
(3)$M_1+M_2+M_3+\dots+M_{20}=2+2\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}+10+2\sqrt{2}+\dots+78+2\sqrt{2}=\dfrac{(2+78)×20}{2}+20×2\sqrt{2}=40\sqrt{2}+800$。
解析
【分析】
首先观察题目给出的示例，计算平方差时均采用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$简化运算。对于(1)，将$n=3、n=4$代入$x_n=1+n\sqrt{2}$，用平方差公式直接计算；对于(2)，代入$n$和$n-1$的表达式，通过平方差公式推导通项；对于(3)，发现$M_n$为通项，求和时拆分为含$n$的等差数列求和与常数项求和，分别计算后相加即可。
【解析】
(1) 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$：
$x_3^2 - x_2^2=(1+3\sqrt{2})^2 - (1+2\sqrt{2})^2=(1+3\sqrt{2}+1+2\sqrt{2})(1+3\sqrt{2}-1-2\sqrt{2})=(2+5\sqrt{2})×\sqrt{2}=10+2\sqrt{2}$；
$x_4^2 - x_3^2=(1+4\sqrt{2})^2 - (1+3\sqrt{2})^2=(1+4\sqrt{2}+1+3\sqrt{2})(1+4\sqrt{2}-1-3\sqrt{2})=(2+7\sqrt{2})×\sqrt{2}=14+2\sqrt{2}$。
(2) 猜想：$x_n^2 - x_{n-1}^2=4n-2+2\sqrt{2}$，证明如下：
$x_n^2 - x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2 - [1+(n-1)\sqrt{2}]^2$
$=[1+n\sqrt{2}+1+(n-1)\sqrt{2}][1+n\sqrt{2}-1-(n-1)\sqrt{2}]$（平方差公式）
$=(2+2n\sqrt{2}-\sqrt{2})×\sqrt{2}$（合并同类项）
$=2\sqrt{2}+2n×2 -2$（乘法分配律，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$）
$=4n-2+2\sqrt{2}$，猜想成立。
(3) 计算$M_1+M_2+…+M_{20}$：
$M_n=4n-2+2\sqrt{2}$，则：
$M_1+M_2+…+M_{20}=\sum_{n=1}^{20}(4n-2+2\sqrt{2})=\sum_{n=1}^{20}(4n-2) + \sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}$
第一部分：$\sum_{n=1}^{20}(4n-2)=4\sum_{n=1}^{20}n - 2×20=4×\frac{(1+20)×20}{2} -40=840-40=800$；
第二部分：$\sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}=20×2\sqrt{2}=40\sqrt{2}$；
总和为$800+40\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$10+2\sqrt{2}$；$14+2\sqrt{2}$
(2)$4n-2+2\sqrt{2}$
(3)$800+40\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式；代数式归纳；等差数列求和
【点评】
本题为代数规律探究题，核心考查平方差公式的应用、归纳推理能力与等差数列求和，通过拆分求和简化计算，是中等难度的代数综合题，能有效考查学生的代数运算与规律总结能力。
【难度系数】
0.5
首先观察题目给出的示例，计算平方差时均采用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$简化运算。对于(1)，将$n=3、n=4$代入$x_n=1+n\sqrt{2}$，用平方差公式直接计算；对于(2)，代入$n$和$n-1$的表达式，通过平方差公式推导通项；对于(3)，发现$M_n$为通项，求和时拆分为含$n$的等差数列求和与常数项求和，分别计算后相加即可。
【解析】
(1) 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$：
$x_3^2 - x_2^2=(1+3\sqrt{2})^2 - (1+2\sqrt{2})^2=(1+3\sqrt{2}+1+2\sqrt{2})(1+3\sqrt{2}-1-2\sqrt{2})=(2+5\sqrt{2})×\sqrt{2}=10+2\sqrt{2}$；
$x_4^2 - x_3^2=(1+4\sqrt{2})^2 - (1+3\sqrt{2})^2=(1+4\sqrt{2}+1+3\sqrt{2})(1+4\sqrt{2}-1-3\sqrt{2})=(2+7\sqrt{2})×\sqrt{2}=14+2\sqrt{2}$。
(2) 猜想：$x_n^2 - x_{n-1}^2=4n-2+2\sqrt{2}$，证明如下：
$x_n^2 - x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2 - [1+(n-1)\sqrt{2}]^2$
$=[1+n\sqrt{2}+1+(n-1)\sqrt{2}][1+n\sqrt{2}-1-(n-1)\sqrt{2}]$（平方差公式）
$=(2+2n\sqrt{2}-\sqrt{2})×\sqrt{2}$（合并同类项）
$=2\sqrt{2}+2n×2 -2$（乘法分配律，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$）
$=4n-2+2\sqrt{2}$，猜想成立。
(3) 计算$M_1+M_2+…+M_{20}$：
$M_n=4n-2+2\sqrt{2}$，则：
$M_1+M_2+…+M_{20}=\sum_{n=1}^{20}(4n-2+2\sqrt{2})=\sum_{n=1}^{20}(4n-2) + \sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}$
第一部分：$\sum_{n=1}^{20}(4n-2)=4\sum_{n=1}^{20}n - 2×20=4×\frac{(1+20)×20}{2} -40=840-40=800$；
第二部分：$\sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}=20×2\sqrt{2}=40\sqrt{2}$；
总和为$800+40\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$10+2\sqrt{2}$；$14+2\sqrt{2}$
(2)$4n-2+2\sqrt{2}$
(3)$800+40\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式；代数式归纳；等差数列求和
【点评】
本题为代数规律探究题，核心考查平方差公式的应用、归纳推理能力与等差数列求和，通过拆分求和简化计算，是中等难度的代数综合题，能有效考查学生的代数运算与规律总结能力。
【难度系数】
0.5
