22.(真题·嘉兴)形如$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a}-\sqrt{b}$($a,b$为正有理数)的两个代数式,它们的积不含有根号,我们称这两个代数式互为有理化因式。
例如:因为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=1$,所以$\sqrt{3}+\sqrt{2}$与$\sqrt{3}-\sqrt{2}$互为有理化因式。
(1)判断$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是不是互为有理化因式,并说明理由。
(2)请直接写出与$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$互为有理化因式的代数式。
(3)请比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小。

(1)是。理由如下:因为$(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{7})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2=-2$,所以$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是互为有理化因式。
(2)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$。
(3)因为$(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})=1$,$(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})=1$,而$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$,所以$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。

【分析】
首先明确有理化因式的定义：两个代数式相乘结果为有理数，则互为有理化因式。解题思路：(1)利用平方差公式计算两个代数式的乘积，判断结果是否为有理数；(2)根据平方差公式的特征，直接写出对应有理化因式；(3)比较两个正数的大小，采用倒数法，将两个数的倒数有理化后，通过比较倒数大小得到原数的大小关系。
【解析】
(1) 判断是否互为有理化因式，需计算乘积：
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2=5-7=-2$，$-2$是有理数，因此$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$互为有理化因式。
(2) 根据平方差公式：$(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=(n+1)-n=1$（有理数），故互为有理化因式的代数式为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$）。
(3) 比较两个正数的大小用倒数法：
$\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}=\frac{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}{(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})}=\sqrt{2025}+\sqrt{2024}$，
$\frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}}=\frac{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}{(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})}=\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
因为$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，正数的倒数越大，原数越小，所以$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；(3) $\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$
【知识点】
有理化因式、平方差公式、实数大小比较
【点评】
本题围绕有理化因式的定义展开，考查平方差公式的应用和实数大小比较的倒数法，属于基础题型，核心是掌握定义和公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6

23.（真题·台州天台）【阅读感悟】李林在计算$\sqrt{5+\sqrt{21}} - \sqrt{5-\sqrt{21}}$时，采用了如下方法。
$(\sqrt{5+\sqrt{21}} - \sqrt{5-\sqrt{21}})^2 = (5 + \sqrt{21}) - 2\sqrt{5+\sqrt{21}} × \sqrt{5-\sqrt{21}} + (5 - \sqrt{21}) = 10 - 2 × 2 = 6$，
因为$\sqrt{5+\sqrt{21}} ＞ \sqrt{5-\sqrt{21}}$，
所以$\sqrt{5+\sqrt{21}} - \sqrt{5+\sqrt{21}} = \sqrt{6}$。
【迁移应用】计算下列两个式子：
(1)$\sqrt{7+3\sqrt{5}} + \sqrt{7-3\sqrt{5}}$；
(2)$\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}$。

(1)$(\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2=(\sqrt{7+3\sqrt{5}})^2-2\sqrt{7+3\sqrt{5}}×\sqrt{7-3\sqrt{5}}+(\sqrt{7-3\sqrt{5}})^2=7+3\sqrt{5}-2×\sqrt{49-45}+7-3\sqrt{5}=10$,因为$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}＞0$,所以$\sqrt{7+3\sqrt{5}}+\sqrt{7-3\sqrt{5}}=\sqrt{10}$。
(2)$(\dfrac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}})^3=\dfrac{2+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^3}=\dfrac{2+\sqrt{5}}{16+8\sqrt{5}}=\dfrac{1}{8}$,所以$\dfrac{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$。