12. (2025·重庆月考) 设 $x,y$ 为实数, 且 $y=21-$ $\sqrt{3x-18}-\sqrt{18-3x}$, 则 $x+y$ 的立方根是.

12. 3 解析: 根据题意, 得 3 x-18 ≥ 0,18-3 x ≥ 0, 解得 x=6,
∴ y=21,
∴ x+y=27,
∴ x+y 的立方根是 ∛27=3.

13. 如图,点 $O$ 在 $△ ABC$ 内且到三边的距离相等.
若 $∠ A=58°$,则 $∠ BOC=$ $°$.

13. 119 解析:
∵ 点 O 在 △A B C 内且到三边的距离相等,
∴ B O 平分 ∠A B C, C O 平分 ∠A C B,
∴ ∠O B C=1/2 ∠A B C,∠O C B=1/2 ∠A C B.
∵ ∠B O C=180^°-∠O B C-∠O C B,
∴ ∠B O C=180^°-1/2(∠A B C+∠A C B).
∵ ∠A B C+∠A C B=180^°-∠A,
∴ ∠B O C=180^°-1/2(180^°-∠A)=90^°+1/2 ∠A=90^°+1/2 × 58^°=119^°.

14. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90^{ \circ },AB=15,AC=$$20,AD ⊥ BC$,垂足为$D$,则$AD+BD=$.

14. 21 解析:
∵ ∠B A C=90^°, A B=15, A C=20,
∴$ B C=√(A B^2+A C^2)=25. $
∵ A D ⊥ B C,
∴ S_△A C B=1/2 B C · A D=1/2 A B · A C, 即 25 × A D=15 × 20, 解得 A D=12, 由勾股定理得$ B D=√(A B^2-A D^2)=9, $
∴ A D+B D=12+9=21.

15. (2025·无锡期末) 如图，$∠ B=45°$，$BC=2$，在射线 $BM$ 上取一点 $A$，设 $AC=d$，若对于 $d$ 的一个数值，只能作出唯一一个 $△ ABC$，则 $d$ 的取值范围是
.

15. d=√2 或 d ≥ 2 解析: 由题意可知, 当 C A ⊥ B A 时,
∵ B C=2,
∴ A C=A B=√2, 即 d=√2 时, 能作出唯一一个△A B C; 当 C A=B C 时,
∵ ∠B=45^°, B C=2,
∴ A C=B C=2,即 d ≥ 2 时能作出唯一一个 △A B C. 综上所述, 当 d=√2 或d ≥ 2 时能作出唯一一个 △A B C, 故 d=√2 或 d ≥ 2.

16. (2026·深圳期中)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程所画出来的图形,假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推,如果第一个正方形面积为1,则第2 026代勾股树中所有正方形的面积为.

16. 2 027 解析: 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为 a 和 b, 斜边长为 c, 根据勾股定理可得$ a^2+b^2=c^2, $
∵$ c^2=1, $
∴ 第一代勾股树中所有正方形的面积为$ a^2+b^2+c^2=c^2+c^2=2; $同理可得第二代勾股树中所有正方形的面积为$ 2 a^2+2 b^2+c^2=3 c^2=3; $第三代勾股树中所有正方形的面积为$ 4 c^2=4; $第 n 代勾股树中所有正方形的面积为$ (n+1) c^2=n+1; $
∴ 第 2026 代勾股树中所有正方形的面积为 2 027.

17. (2026·安阳期中) 如图,在$△ ABC$中,$AB=$$AC$,延长$AB$至$D$,使得$BD=AB$,$P$为$△ ABC$外一点且$PB=PC$,连接$PD$,$PA$,$PA$交$BC$于点$F$,$AF:FP=2:1$.点$E$为$AD$上一动点,当$△ ABC$的面积为12,$AD=12$时,$PE$的最小值为.

17. 3 解析: 当 P E ⊥ A D 时, P E 最小,
∵ A B=A C, P B=P C,
∴ A P 垂直平分 B C,
∴ S_△A B F=S_△A C F=1/2 S_△A B C=6.
∵ A F: F P=2: 1, △A B C 的面积为 12,
∴ △P B C 的面积为6,
∴ S_△P B F=S_△P C F=1/2 S_△P B C=3,
∴ S_△P A B=S_△A B F+S_△P B F=9.
∵ B D=A B, A D=12,
∴ B D=A B=6,
∴ S_△P A B=1/2 A B · P E=9,
∴ 1/2 × 6 × P E=9,
∴ P E=3,
∴ P E 的最小值为 3.

18. (2026·宿迁校级月考)如图,C 为线段 AE上一动点(不与 A,E 重合),在 AE 同侧分别作等边$△ ABC$和等边$△ CDE$,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点Q,连接 PQ,CO,以下 4 个结论:①$PQ// AE$;②$CP=CQ$; ③$∠ DOB=120°$; ④$CO$ 平分$∠ BCD$.恒成立的结论有.(填序号)

18. ①②③ 解析:
∵ △A B C 和△C D E 都是等边三角形,
∴ A C=B C, C D=C E, ∠A C B=∠E C D=60^°,
∴ 180^°-∠E C D=180^°-∠A C B, 即 ∠A C D=∠B C E,
∴ △A C D ≅ △B C E(S A S),
∴ ∠C A D=∠C B E.
∵ ∠A C B=∠E C D=60^°,
∴ ∠B C Q=180^°-60^° × 2=60^°,
∴ ∠A C B=∠B C Q=60^°,
∴ △A C P ≅ △B C Q(A S A),
∴ A P=B Q, C P=C Q, 故 ② 正确;
∴ △P C Q 是等边三角形,
∴ ∠C P Q=60^°,
∴ ∠A C B=∠C P Q,
∴ P Q / / A E, 故 ① 正确;
∵ ∠C A D+∠A C B+∠A P C=180^°, ∠C B E+∠A O B+∠B P O=180^°, 且 ∠C A D=∠C B E,∠A P C=∠B P O,
∴ ∠A O B=∠A C B=60^°,
∴ ∠D O B=120^°,故 ③ 正确; 如图, 过 C 点作 C F ⊥ A D 于 F, C G ⊥ B E 于 G,
∵ △A C D ≅ △B C E,
∴ A D=B E, S_△A C D=S_△B C E,
∴ 1/2 · A D ·C F=1/2 · B E · C G,
∴ C F=C G,
∴ 点 C 在 ∠A O E 的平分线上,
∴ O C 平分 ∠A O E.
∵ C B ≠ C E,
∴ ∠E B C ≠ ∠B E C.
∵ ∠D A C=∠E B C,
∴ ∠D A C ≠ ∠B E C. 又
∵ O C 平分∠A O E,
∴ ∠A O C=∠E O C,
∴ ∠A C O ≠ ∠E C O.
∵ ∠B C A=∠D C E,
∴ ∠A C O-∠B C A ≠ ∠E C O-∠D C E, 即 ∠P C O ≠∠Q C O,
∴ C O 不平分 ∠B C D,
∴ 结论 ④ 不正确. 故答案为①②③.

三、解答题(共66分)
19. (6分)(2025·泰州期末)
(1)计算:$\sqrt{9}+(-2)^2+\sqrt[3]{-64}$;
(2)求$(x-1)^2=9$中$x$的值.

19. (1) 原式 =3+4+(-4)=3.
(2)
∵$(x-1)^2=9, $
∴ x-1=3 或 x-1=-3, 解得 x=4 或x=-2.